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* Page found: Formaler Aufbau der Quantenmechanik (eq math.2709.44)

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\begin{align}
& \left| \Phi  \right\rangle =\sum\limits_{n}{\left\langle  n | \Phi  \right\rangle \left| n \right\rangle } \\
& \left| \Phi  \right\rangle =\sum\limits_{n}{\underbrace{\left| n \right\rangle \left\langle  n \right|}_{{\underline{1}}}\left. \Phi  \right\rangle } \\
\end{align}

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MathML (12.138 KB / 1.753 KB) :

| Φ ⟩ = ∑ n ⟨ n | Φ ⟩ ⁢ | n ⟩ | Φ ⟩ = ∑ n | n ⟩ ⁢ ⟨ n | ⏟ 1 ¯ Φ ⟩ missing-subexpression ket Φ subscript 𝑛 inner-product 𝑛 Φ ket 𝑛 missing-subexpression fragments fragments | Φ ⟩ subscript 𝑛 subscript ⏟ ket 𝑛 bra 𝑛 ¯ 1 Φ ⟩ {\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &\displaystyle\left|\Phi\right% \rangle=\sum\limits_{n}{\left\langle n|\Phi\right\rangle\left|n\right\rangle}% \\ &\displaystyle\left|\Phi\right\rangle=\sum\limits_{n}{\underbrace{\left|n% \right\rangle\left\langle n\right|}_{{\underline{1}}}\left.\Phi\right\rangle}% \\ \end{aligned}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &amp;\displaystyle\left|\Phi\right%&#10;\rangle=\sum\limits_{n}{\left\langle n|\Phi\right\rangle\left|n\right\rangle}%&#10;\\&#10;&amp;\displaystyle\left|\Phi\right\rangle=\sum\limits_{n}{\underbrace{\left|n%&#10;\right\rangle\left\langle n\right|}_{{\underline{1}}}\left.\Phi\right\rangle}%&#10;\\&#10;\end{aligned}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
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              <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.1.1.cmml">|</mo>
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">Φ</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.1.1.cmml">⟩</mo>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.cmml">
                <munder id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.cmml">
                  <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml">∑</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.cmml">n</mi>
                </munder>
              </mstyle>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.2.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.2.1.1.cmml">⟨</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml">n</mi>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.2.1.1.cmml">|</mo>
                  <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml">Φ</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.2.1.1.cmml">⟩</mo>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.3.1.cmml">
                  <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.3.1.1.cmml">|</mo>
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                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.3.1.1.cmml">⟩</mo>
                </mrow>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">|</mo>
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              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml">⟩</mo>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml">=</mo>
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">
              <munder id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">
                <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml">∑</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.cmml">n</mi>
              </munder>
            </mstyle>
            <munder id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.cmml">
              <munder accentunder="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.8.1.cmml">
                    <mo fence="true" movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.8.1.1.cmml">|</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.2.cmml">n</mi>
                    <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.8.1.1.cmml">⟩</mo>
                  </mrow>
                  <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.7.cmml">⁢</mo>
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                    <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.9.1.1.cmml">⟨</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.5.cmml">n</mi>
                    <mo fence="true" movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.9.1.1.cmml">|</mo>
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                <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.cmml">⏟</mo>
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              <munder accentunder="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.1.cmml">
                <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.1.1.2.cmml">1</mn>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.1.1.1.cmml">¯</mo>
              </munder>
            </munder>
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          <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
            <eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15">
              <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1">ket</csymbol>
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            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16">
              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1">
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                <sum id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1">𝑛</ci>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2">
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                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.2">
                  <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7">inner-product</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8">𝑛</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10">Φ</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.3">
                  <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12">ket</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13">𝑛</ci>
                </apply>
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        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
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          <cerror id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
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              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6">fragments</csymbol>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1">|</ci>
              <csymbol cd="unknown" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2">Φ</csymbol>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3">⟩</ci>
            </cerror>
            <eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12">subscript</csymbol>
              <sum id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1">𝑛</ci>
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