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* Page found: Formaler Aufbau der Quantenmechanik (eq math.2709.38)

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\Phi =\sum\limits_{n}{\left\langle  {{\Psi }_{n}} | \Phi  \right\rangle {{\Psi }_{n}}\Leftrightarrow {{\left\| \Phi  \right\|}^{2}}=\sum\limits_{n}{{{\left| \left\langle  {{\Psi }_{n}} | \Phi  \right\rangle  \right|}^{2}}}}

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Φ = ∑ n ⟨ Ψ n | Φ ⟩ ⁢ Ψ n ⇔ ∥ Φ ∥ 2 = ∑ n | ⟨ Ψ n | Φ ⟩ | 2 ⇔ Φ subscript 𝑛 inner-product subscript Ψ 𝑛 Φ subscript Ψ 𝑛 superscript norm Φ 2 subscript 𝑛 superscript inner-product subscript Ψ 𝑛 Φ 2 {\displaystyle{\displaystyle\Phi=\sum\limits_{n}{\left\langle{{\Psi}_{n}}|\Phi% \right\rangle{{\Psi}_{n}}\Leftrightarrow{{\left\|\Phi\right\|}^{2}}=\sum% \limits_{n}{{{\left|\left\langle{{\Psi}_{n}}|\Phi\right\rangle\right|}^{2}}}}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\Phi=\sum\limits_{n}{\left\langle{{\Psi}_{n}}|\Phi%&#10;\right\rangle{{\Psi}_{n}}\Leftrightarrow{{\left\|\Phi\right\|}^{2}}=\sum%&#10;\limits_{n}{{{\left|\left\langle{{\Psi}_{n}}|\Phi\right\rangle\right|}^{2}}}}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.30" xref="p1.1.m1.1.30.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.30.1" xref="p1.1.m1.1.30.1.cmml">
        <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">Φ</mi>
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        <mrow id="p1.1.m1.1.30.1.1" xref="p1.1.m1.1.30.1.1.cmml">
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.30.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.30.1.1.1.cmml">
            <munder id="p1.1.m1.1.30.1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.30.1.1.1.cmml">
              <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">∑</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.4.1.cmml">n</mi>
            </munder>
          </mstyle>
          <mrow id="p1.1.m1.1.30.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.30.1.1.2.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.30.1.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.30.1.1.2.2.1.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.30.1.1.2.2.1.1.cmml">⟨</mo>
              <msub id="p1.1.m1.1.30.1.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.30.1.1.2.2.2.cmml">
                <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">Ψ</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.7.1.cmml">n</mi>
              </msub>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.30.1.1.2.2.1.1.cmml">|</mo>
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">Φ</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.30.1.1.2.2.1.1.cmml">⟩</mo>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.30.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.30.1.1.2.1.cmml">⁢</mo>
            <msub id="p1.1.m1.1.30.1.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.30.1.1.2.3.cmml">
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">Ψ</mi>
              <mi id="p1.1.m1.1.12.1" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">n</mi>
            </msub>
          </mrow>
        </mrow>
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      <mo id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">⇔</mo>
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        <msup id="p1.1.m1.1.30.2.1" xref="p1.1.m1.1.30.2.1.cmml">
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            <mo id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.30.2.1.2.1.1.cmml">∥</mo>
            <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">Φ</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.30.2.1.2.1.1.cmml">∥</mo>
          </mrow>
          <mn id="p1.1.m1.1.17.1" xref="p1.1.m1.1.17.1.cmml">2</mn>
        </msup>
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          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.30.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.1.cmml">
            <munder id="p1.1.m1.1.30.2.2.1a" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.1.cmml">
              <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.19.cmml">∑</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.20.1" xref="p1.1.m1.1.20.1.cmml">n</mi>
            </munder>
          </mstyle>
          <msup id="p1.1.m1.1.30.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.2.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.30.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.2.2.1.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.2.2.1.1.cmml">|</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.30.2.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.2.2.2.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.22" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.2.2.2.1.1.cmml">⟨</mo>
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                  <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.23" xref="p1.1.m1.1.23.cmml">Ψ</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.24.1" xref="p1.1.m1.1.24.1.cmml">n</mi>
                </msub>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.25" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.2.2.2.1.1.cmml">|</mo>
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                <mo id="p1.1.m1.1.27" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.2.2.2.1.1.cmml">⟩</mo>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.28" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.2.2.1.1.cmml">|</mo>
            </mrow>
            <mn id="p1.1.m1.1.29.1" xref="p1.1.m1.1.29.1.cmml">2</mn>
          </msup>
        </mrow>
      </mrow>
    </mrow>
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        <ci id="p1.1.m1.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.13">⇔</ci>
        <apply id="p1.1.m1.1.30.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.30.1">
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              <ci id="p1.1.m1.1.20.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.1">𝑛</ci>
            </apply>
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              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.30.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.2">superscript</csymbol>
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                <apply id="p1.1.m1.1.30.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.2.2.2">
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                  <apply id="p1.1.m1.1.30.2.2.2.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.30.2.2.2.2.2.2">
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</math>

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Φ=∑n⟨Ψn|Φ⟩Ψn⇔‖Φ‖2=∑n|⟨Ψn|Φ⟩|2
<math class="mwe-math-element" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi mathvariant="normal">&#x03A6;</mi><mo>=</mo><munder><mo form="prefix" texclass="OP">&#x2211;</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>n</mi></mrow></munder><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">&#x27E8;</mo><msub><mi mathvariant="normal">&#x03A8;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>n</mi></mrow></msub><mo>|</mo><mi mathvariant="normal">&#x03A6;</mi><mo data-mjx-texclass="CLOSE">&#x27E9;</mo></mrow><msub><mi mathvariant="normal">&#x03A8;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>n</mi></mrow></msub><mo>&#x21D4;</mo><msup><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">&#x2016;</mo><mi mathvariant="normal">&#x03A6;</mi><mo data-mjx-texclass="CLOSE">&#x2016;</mo></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><munder><mo form="prefix" texclass="OP">&#x2211;</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>n</mi></mrow></munder><msup><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">|</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">&#x27E8;</mo><msub><mi mathvariant="normal">&#x03A8;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>n</mi></mrow></msub><mo>|</mo><mi mathvariant="normal">&#x03A6;</mi><mo data-mjx-texclass="CLOSE">&#x27E9;</mo></mrow><mo data-mjx-texclass="CLOSE">|</mo></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mstyle></mrow></math>

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