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Display information for equation id:math.2583.51 on revision:2583

* Page found: Paramagnetismus (eq math.2583.51)

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TeX (original user input): 

\begin{align}

& T\to \infty  \\

& \Rightarrow S\left( T \right)=kN\ln 2 \\

&  \\

& T->0 \\

& \Rightarrow S(T)\to kN\left[ \ln 2+\ln \frac{{{e}^{x}}}{2}-x\left( 1-2{{e}^{-2x}} \right) \right]=2kNx{{e}^{-2x}}\to 0 \\

& x:=\frac{\mu B}{2kT}\to \infty  \\

\end{align}

TeX (checked): 

{\begin{aligned}&T\to \infty \\&\Rightarrow S\left(T\right)=kN\ln 2\\&\\&T->0\\&\Rightarrow S(T)\to kN\left[\ln 2+\ln {\frac {{e}^{x}}{2}}-x\left(1-2{{e}^{-2x}}\right)\right]=2kNx{{e}^{-2x}}\to 0\\&x:={\frac {\mu B}{2kT}}\to \infty \\\end{aligned}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (28.366 KB / 3.302 KB) :

T → ∞ ⇒ S ⁢ ( T ) = k ⁢ N ⁢ ln ⁡ 2 T - > 0 ⇒ S ⁢ ( T ) → k ⁢ N ⁢ [ ln ⁡ 2 + ln ⁡ e x 2 - x ⁢ ( 1 - 2 ⁢ e - 2 ⁢ x ) ] = 2 ⁢ k ⁢ N ⁢ x ⁢ e - 2 ⁢ x → 0 x := μ ⁢ B 2 ⁢ k ⁢ T → ∞ absent → 𝑇 absent ⇒ absent 𝑆 𝑇 𝑘 𝑁 2 absent missing-subexpression absent limit-from 𝑇 0 absent ⇒ absent 𝑆 𝑇 → 𝑘 𝑁 delimited-[] 2 superscript 𝑒 𝑥 2 𝑥 1 2 superscript 𝑒 2 𝑥 2 𝑘 𝑁 𝑥 superscript 𝑒 2 𝑥 → 0 absent assign 𝑥 𝜇 𝐵 2 𝑘 𝑇 → {\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&\displaystyle T\to\infty\\ \par&\displaystyle\Rightarrow S\left(T\right)=kN\ln 2\\ \par&\\ \par&\displaystyle T->0\\ \par&\displaystyle\Rightarrow S(T)\to kN\left[\ln 2+\ln\frac{{{e}^{x}}}{2}-x% \left(1-2{{e}^{-2x}}\right)\right]=2kNx{{e}^{-2x}}\to 0\\ \par&\displaystyle x:=\frac{\mu B}{2kT}\to\infty\\ \par\end{aligned}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&amp;\displaystyle T\to\infty\\&#10;\par&amp;\displaystyle\Rightarrow S\left(T\right)=kN\ln 2\\&#10;\par&amp;\\&#10;\par&amp;\displaystyle T-&gt;0\\&#10;\par&amp;\displaystyle\Rightarrow S(T)\to kN\left[\ln 2+\ln\frac{{{e}^{x}}}{2}-x%&#10;\left(1-2{{e}^{-2x}}\right)\right]=2kNx{{e}^{-2x}}\to 0\\&#10;\par&amp;\displaystyle x:=\frac{\mu B}{2kT}\to\infty\\&#10;\par\end{aligned}}}" display="inline">
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          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"/>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1c" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">T</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">→</mo>
            <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml">∞</mi>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1d" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1e" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml"/>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1f" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">⇒</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.cmml">
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                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.cmml">(</mo>
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              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml">k</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml">N</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml">ln</mi>
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                <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml">2</mn>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
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          <mi id="p1.1.m1.1.1.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.1.1.cmml"/>
        </mtd>
        <mtd id="p1.1.m1.1.1i" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1j" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1k" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.4.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.1.1.cmml"/>
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            </mrow>
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        </mtd>
      </mtr>
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              <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.36.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.36.1.cmml">⁢</mo>
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              </mrow>
            </mrow>
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              <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.7.cmml">k</mi>
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              <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.8.cmml">N</mi>
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                <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.37.2.1.1.cmml">[</mo>
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                      <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.10.cmml">ln</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.37.2.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.37.2.2.1.1.cmml">⁡</mo>
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.11.cmml">2</mn>
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                      <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.13.cmml">ln</mi>
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                      <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.14.cmml">
                        <mfrac id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.14a" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.14.cmml">
                          <msup id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.14.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.14.2.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.14.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.14.2.1.cmml">e</mi>
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                        <mn id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.18.cmml">1</mn>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.19.cmml">-</mo>
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                          <mn id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.20.cmml">2</mn>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.37.2.2.2.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.37.2.2.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                          <msup id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.37.2.2.2.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.37.2.2.2.2.2.1.2.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.21.cmml">e</mi>
                            <mrow id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.22.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.22.1.cmml">
                              <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.22.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.22.1.1.cmml">-</mo>
                              <mrow id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.22.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.22.1.4.cmml">
                                <mn id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.22.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.22.1.2.cmml">2</mn>
                                <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.22.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.22.1.4.1.cmml">⁢</mo>
                                <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.22.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.22.1.3.cmml">x</mi>
                              </mrow>
                            </mrow>
                          </msup>
                        </mrow>
                      </mrow>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.37.2.2.2.2.2.cmml">)</mo>
                    </mrow>
                  </mrow>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.24" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.37.2.1.1.cmml">]</mo>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.25" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.25.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.38" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.38.cmml">
              <mn id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.26" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.26.cmml">2</mn>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.38.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.38.1.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.27" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.27.cmml">k</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.38.1a" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.38.1.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.28" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.28.cmml">N</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.38.1b" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.38.1.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.29" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.29.cmml">x</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.38.1c" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.38.1.cmml">⁢</mo>
              <msup id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.38.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.38.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.30" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.30.cmml">e</mi>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.31.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.31.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.31.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.31.1.1.cmml">-</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.31.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.31.1.4.cmml">
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.31.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.31.1.2.cmml">2</mn>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.31.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.31.1.4.1.cmml">⁢</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.31.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.31.1.3.cmml">x</mi>
                  </mrow>
                </mrow>
              </msup>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.32" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.32.cmml">→</mo>
            <mn id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.33" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.33.cmml">0</mn>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1p" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1q" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.6.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.6.1.1.cmml"/>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.1.6.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.1.cmml">x</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.3.cmml">:=</mo>
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4a" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.2" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.2.1.cmml">μ</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.2.3.cmml">⁢</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.2.2.cmml">B</mi>
                </mrow>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.3" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.3.cmml">
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.3.1.cmml">2</mn>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.3.4.cmml">⁢</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.3.2.cmml">k</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.3.4a" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.3.4.cmml">⁢</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.3.3.cmml">T</mi>
                </mrow>
              </mfrac>
            </mstyle>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.5.cmml">→</mo>
            <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.6.cmml">∞</mi>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
    </mtable>
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          <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1">absent</csymbol>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
            <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2">→</ci>
            <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1">𝑇</ci>
            <infinity id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3"/>
          </apply>
        </matrixrow>
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          <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1">absent</csymbol>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
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            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1">⇒</ci>
              <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12">absent</csymbol>
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                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2">𝑆</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4">𝑇</ci>
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                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10">2</cn>
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          <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.1.1">absent</csymbol>
          <cerror id="p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1e.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1f.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.4.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.1.1">absent</csymbol>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1">
            <gt id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.5">
              <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.5">limit-from</csymbol>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1">𝑇</ci>
              <minus id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2"/>
            </apply>
            <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4">0</cn>
          </apply>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1g.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.5.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.1.1">absent</csymbol>
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                <ci id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.2">𝑆</ci>
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                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.3.1">2</cn>
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    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&amp;\displaystyle T\to\infty\\
\par&amp;\displaystyle\Rightarrow S\left(T\right)=kN\ln 2\\
\par&amp;\\
\par&amp;\displaystyle T-&gt;0\\
\par&amp;\displaystyle\Rightarrow S(T)\to kN\left[\ln 2+\ln\frac{{{e}^{x}}}{2}-x%
\left(1-2{{e}^{-2x}}\right)\right]=2kNx{{e}^{-2x}}\to 0\\
\par&amp;\displaystyle x:=\frac{\mu B}{2kT}\to\infty\\
\par\end{aligned}}}</annotation>
  </semantics>
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T → ∞ ⇒ S ( T ) = k N ln ⁡ 2 T − > 0 ⇒ S ( T ) → k N [ ln ⁡ 2 + ln ⁡ e x 2 − x ( 1 − 2 e − 2 x ) ] = 2 k N x e − 2 x → 0 x := μ B 2 k T → ∞ {\displaystyle {\begin{aligned}&T\to \infty \\&\Rightarrow S\left(T\right)=kN\ln 2\\&\\&T->0\\&\Rightarrow S(T)\to kN\left[\ln 2+\ln {\frac {{e}^{x}}{2}}-x\left(1-2{{e}^{-2x}}\right)\right]=2kNx{{e}^{-2x}}\to 0\\&x:={\frac {\mu B}{2kT}}\to \infty \\\end{aligned}}} 
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