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Display information for equation id:math.2582.6 on revision:2582

* Page found: Paramagnetismus (eq math.2582.6)

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TeX (original user input): 

\begin{align}

& Z=\sum\limits_{{{m}_{l}}=-l}^{l}{{}}\exp \left( \beta \mu B{{m}_{l}} \right) \\

& \nu :={{m}_{l}}+l \\

& \Rightarrow Z=\exp \left( -\beta \mu Bl \right)\sum\limits_{\nu =0}^{2l}{{}}{{\left( \exp \left( \beta \mu B \right) \right)}^{\nu }}=\exp \left( -\beta \mu Bl \right)\frac{\exp \left( \beta \mu B\left( 2l+1 \right) \right)-1}{\exp \left( \beta \mu B \right)-1}=\frac{\sinh \left( \beta \mu B\left( l+\frac{1}{2} \right) \right)}{\sinh \left( \frac{1}{2}\beta \mu B \right)} \\

\end{align}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (40.075 KB / 4.292 KB) :

Z = ∑ m l = - l l exp ⁡ ( β ⁢ μ ⁢ B ⁢ m l ) ν := m l + l ⇒ Z = exp ⁡ ( - β ⁢ μ ⁢ B ⁢ l ) ⁢ ∑ ν = 0 2 ⁢ l ( exp ⁡ ( β ⁢ μ ⁢ B ) ) ν = exp ⁡ ( - β ⁢ μ ⁢ B ⁢ l ) ⁢ exp ⁡ ( β ⁢ μ ⁢ B ⁢ ( 2 ⁢ l + 1 ) ) - 1 exp ⁡ ( β ⁢ μ ⁢ B ) - 1 = sinh ⁡ ( β ⁢ μ ⁢ B ⁢ ( l + 1 2 ) ) sinh ⁡ ( 1 2 ⁢ β ⁢ μ ⁢ B ) absent 𝑍 superscript subscript subscript 𝑚 𝑙 𝑙 𝑙 𝛽 𝜇 𝐵 subscript 𝑚 𝑙 absent assign 𝜈 subscript 𝑚 𝑙 𝑙 absent ⇒ absent 𝑍 𝛽 𝜇 𝐵 𝑙 superscript subscript 𝜈 0 2 𝑙 superscript 𝛽 𝜇 𝐵 𝜈 𝛽 𝜇 𝐵 𝑙 𝛽 𝜇 𝐵 2 𝑙 1 1 𝛽 𝜇 𝐵 1 𝛽 𝜇 𝐵 𝑙 1 2 1 2 𝛽 𝜇 𝐵 {\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&\displaystyle Z=\sum\limits_{% {{m}_{l}}=-l}^{l}{{}}\exp\left(\beta\mu B{{m}_{l}}\right)\\ \par&\displaystyle\nu:={{m}_{l}}+l\\ \par&\displaystyle\Rightarrow Z=\exp\left(-\beta\mu Bl\right)\sum\limits_{\nu=% 0}^{2l}{{}}{{\left(\exp\left(\beta\mu B\right)\right)}^{\nu}}=\exp\left(-\beta% \mu Bl\right)\frac{\exp\left(\beta\mu B\left(2l+1\right)\right)-1}{\exp\left(% \beta\mu B\right)-1}=\frac{\sinh\left(\beta\mu B\left(l+\frac{1}{2}\right)% \right)}{\sinh\left(\frac{1}{2}\beta\mu B\right)}\\ \par\end{aligned}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&amp;\displaystyle Z=\sum\limits_{%&#10;{{m}_{l}}=-l}^{l}{{}}\exp\left(\beta\mu B{{m}_{l}}\right)\\&#10;\par&amp;\displaystyle\nu:={{m}_{l}}+l\\&#10;\par&amp;\displaystyle\Rightarrow Z=\exp\left(-\beta\mu Bl\right)\sum\limits_{\nu=%&#10;0}^{2l}{{}}{{\left(\exp\left(\beta\mu B\right)\right)}^{\nu}}=\exp\left(-\beta%&#10;\mu Bl\right)\frac{\exp\left(\beta\mu B\left(2l+1\right)\right)-1}{\exp\left(%&#10;\beta\mu B\right)-1}=\frac{\sinh\left(\beta\mu B\left(l+\frac{1}{2}\right)%&#10;\right)}{\sinh\left(\frac{1}{2}\beta\mu B\right)}\\&#10;\par\end{aligned}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
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      <mtr id="p1.1.m1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
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          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"/>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1c" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">Z</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.cmml">
                <munderover id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.cmml">
                  <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml">∑</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.cmml">
                    <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.6.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.1.cmml">m</mi>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.2.1.cmml">l</mi>
                    </msub>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.3.cmml">=</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.7.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.4.cmml">-</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.5.cmml">l</mi>
                    </mrow>
                  </mrow>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1.cmml">l</mi>
                </munderover>
              </mstyle>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">exp</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2.1.cmml">⁡</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2.1.cmml">(</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2.2.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml">β</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">μ</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml">B</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2.2.1.1b" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                    <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2.2.1.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.cmml">m</mi>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.1.cmml">l</mi>
                    </msub>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2.1.cmml">)</mo>
                </mrow>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1d" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1e" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml"/>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1f" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">ν</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml">:=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml">
              <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml">m</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.cmml">l</mi>
              </msub>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">+</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml">l</mi>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
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          <mi id="p1.1.m1.1.1.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.1.1.cmml"/>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1i" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.37" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.37.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml">⇒</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.cmml">Z</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.2.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.cmml">exp</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.2.1.cmml">⁡</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.2.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.2.1.cmml">(</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.2.2.1.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.cmml">-</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.2.2.1.1.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.cmml">β</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.2.2.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.cmml">μ</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.2.2.1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.cmml">B</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.2.2.1.1.1b" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.cmml">l</mi>
                    </mrow>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.2.1.cmml">)</mo>
                </mrow>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.3.cmml">
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.3.1.cmml">
                  <munderover id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.3.1a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.3.1.cmml">
                    <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.cmml">∑</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.1.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.1.1.cmml">ν</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.1.2.cmml">=</mo>
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.1.3.cmml">0</mn>
                    </mrow>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.1.cmml">
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.1.1.cmml">2</mn>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.1.3.cmml">⁢</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.1.2.cmml">l</mi>
                    </mrow>
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                    <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.3.2.cmml">(</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.3.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.3.2.2.2.1.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.cmml">exp</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.3.2.2.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.3.2.2.2.1.cmml">⁡</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.3.2.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.3.2.2.2.1.cmml">
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.3.2.2.2.1.cmml">(</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.3.2.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.3.2.2.2.2.1.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.cmml">β</mi>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.3.2.2.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.3.2.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.cmml">μ</mi>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.3.2.2.2.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.3.2.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.cmml">B</mi>
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                      </mrow>
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              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.cmml">=</mo>
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                <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.39.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.39.2.1.cmml">⁡</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.39.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.39.2.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.26" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.39.2.1.cmml">(</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.39.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.39.2.2.1.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.cmml">-</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.39.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.39.2.2.1.1.cmml">
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                      <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.39.2.2.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.39.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29.cmml">μ</mi>
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              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.33" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.33.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.33a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.33.cmml">
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                      </mfrac>
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                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.3.4.cmml">β</mi>
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                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.3.1">superscript</csymbol>
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                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.3.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.3.1">subscript</csymbol>
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{{m}_{l}}=-l}^{l}{{}}\exp\left(\beta\mu B{{m}_{l}}\right)\\
\par&amp;\displaystyle\nu:={{m}_{l}}+l\\
\par&amp;\displaystyle\Rightarrow Z=\exp\left(-\beta\mu Bl\right)\sum\limits_{\nu=%
0}^{2l}{{}}{{\left(\exp\left(\beta\mu B\right)\right)}^{\nu}}=\exp\left(-\beta%
\mu Bl\right)\frac{\exp\left(\beta\mu B\left(2l+1\right)\right)-1}{\exp\left(%
\beta\mu B\right)-1}=\frac{\sinh\left(\beta\mu B\left(l+\frac{1}{2}\right)%
\right)}{\sinh\left(\frac{1}{2}\beta\mu B\right)}\\
\par\end{aligned}}}</annotation>
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Z = ∑ m l = − l l exp ⁡ ( β μ B m l ) ν := m l + l ⇒ Z = exp ⁡ ( − β μ B l ) ∑ ν = 0 2 l ( exp ⁡ ( β μ B ) ) ν = exp ⁡ ( − β μ B l ) exp ⁡ ( β μ B ( 2 l + 1 ) ) − 1 exp ⁡ ( β μ B ) − 1 = sinh ⁡ ( β μ B ( l + 1 2 ) ) sinh ⁡ ( 1 2 β μ B ) {\displaystyle {\begin{aligned}&Z=\sum \limits _{{{m}_{l}}=-l}^{l}{}\exp \left(\beta \mu B{{m}_{l}}\right)\\&\nu :={{m}_{l}}+l\\&\Rightarrow Z=\exp \left(-\beta \mu Bl\right)\sum \limits _{\nu =0}^{2l}{}{{\left(\exp \left(\beta \mu B\right)\right)}^{\nu }}=\exp \left(-\beta \mu Bl\right){\frac {\exp \left(\beta \mu B\left(2l+1\right)\right)-1}{\exp \left(\beta \mu B\right)-1}}={\frac {\sinh \left(\beta \mu B\left(l+{\frac {1}{2}}\right)\right)}{\sinh \left({\frac {1}{2}}\beta \mu B\right)}}\\\end{aligned}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}&amp;Z=\sum \limits _{{{m}_{l}}=-l}^{l}{}\exp \left(\beta \mu B{{m}_{l}}\right)\\&amp;\nu :={{m}_{l}}+l\\&amp;\Rightarrow Z=\exp \left(-\beta \mu Bl\right)\sum \limits _{\nu =0}^{2l}{}{{\left(\exp \left(\beta \mu B\right)\right)}^{\nu }}=\exp \left(-\beta \mu Bl\right){\frac {\exp \left(\beta \mu B\left(2l+1\right)\right)-1}{\exp \left(\beta \mu B\right)-1}}={\frac {\sinh \left(\beta \mu B\left(l+{\frac {1}{2}}\right)\right)}{\sinh \left({\frac {1}{2}}\beta \mu B\right)}}\\\end{aligned}}}">
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