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Display information for equation id:math.2572.25 on revision:2572

* Page found: Spezifische Wärme zweiatomiger idealer Gase (eq math.2572.25)

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Spezifische Wärme zweiatomiger idealer Gase Eq: math.2573.25

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TeX (original user input):

\begin{align}

& {{Z}_{r}}\approx \int_{0}^{\infty }{{}}dl(2l+1)\exp \left( -\frac{{{\Theta }_{r}}}{T}l(l+1) \right) \\

& \frac{{{\Theta }_{r}}}{T}l(l+1):=x \\

& \Rightarrow {{Z}_{r}}\approx \frac{T}{{{\Theta }_{r}}}\int_{0}^{\infty }{{}}dx{{e}^{-x}}=\frac{T}{{{\Theta }_{r}}} \\

& \Rightarrow {{U}_{r}}=-N\frac{\partial }{\partial \beta }\ln {{Z}_{r}}=Nk{{T}^{2}}\frac{\partial }{\partial T}\ln {{Z}_{r}}\approx NkT \\

& \Rightarrow {{c}_{vr}}={{N}_{A}}k=R \\

\end{align}

TeX (checked):

{\begin{aligned}&{{Z}_{r}}\approx \int _{0}^{\infty }{}dl(2l+1)\exp \left(-{\frac {{\Theta }_{r}}{T}}l(l+1)\right)\\&{\frac {{\Theta }_{r}}{T}}l(l+1):=x\\&\Rightarrow {{Z}_{r}}\approx {\frac {T}{{\Theta }_{r}}}\int _{0}^{\infty }{}dx{{e}^{-x}}={\frac {T}{{\Theta }_{r}}}\\&\Rightarrow {{U}_{r}}=-N{\frac {\partial }{\partial \beta }}\ln {{Z}_{r}}=Nk{{T}^{2}}{\frac {\partial }{\partial T}}\ln {{Z}_{r}}\approx NkT\\&\Rightarrow {{c}_{vr}}={{N}_{A}}k=R\\\end{aligned}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (41.808 KB / 4.9 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&\displaystyle{{Z}_{r}}\approx% \int_{0}^{\infty}{{}}dl(2l+1)\exp\left(-\frac{{{\Theta}_{r}}}{T}l(l+1)\right)% \\ \par&\displaystyle\frac{{{\Theta}_{r}}}{T}l(l+1):=x\\ \par&\displaystyle\Rightarrow{{Z}_{r}}\approx\frac{T}{{{\Theta}_{r}}}\int_{0}^% {\infty}{{}}dx{{e}^{-x}}=\frac{T}{{{\Theta}_{r}}}\\ \par&\displaystyle\Rightarrow{{U}_{r}}=-N\frac{\partial}{\partial\beta}\ln{{Z}% _{r}}=Nk{{T}^{2}}\frac{\partial}{\partial T}\ln{{Z}_{r}}\approx NkT\\ \par&\displaystyle\Rightarrow{{c}_{vr}}={{N}_{A}}k=R\\ \par\end{aligned}}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&amp;\displaystyle{{Z}_{r}}\approx%&#10;\int_{0}^{\infty}{{}}dl(2l+1)\exp\left(-\frac{{{\Theta}_{r}}}{T}l(l+1)\right)%&#10;\\&#10;\par&amp;\displaystyle\frac{{{\Theta}_{r}}}{T}l(l+1):=x\\&#10;\par&amp;\displaystyle\Rightarrow{{Z}_{r}}\approx\frac{T}{{{\Theta}_{r}}}\int_{0}^%&#10;{\infty}{{}}dx{{e}^{-x}}=\frac{T}{{{\Theta}_{r}}}\\&#10;\par&amp;\displaystyle\Rightarrow{{U}_{r}}=-N\frac{\partial}{\partial\beta}\ln{{Z}%&#10;_{r}}=Nk{{T}^{2}}\frac{\partial}{\partial T}\ln{{Z}_{r}}\approx NkT\\&#10;\par&amp;\displaystyle\Rightarrow{{c}_{vr}}={{N}_{A}}k=R\\&#10;\par\end{aligned}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
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        </mtd>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">
            <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">Z</mi>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.cmml">r</mi>
            </msub>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml">≈</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.1.cmml">
                <msubsup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.1.cmml">
                  <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">∫</mo>
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1.cmml">0</mn>
                  <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.cmml">∞</mi>
                </msubsup>
              </mstyle>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.2.cmml">
                  <mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.cmml">𝑑</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml">l</mi>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2.cmml">
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2.cmml">(</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2.1.cmml">
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml">2</mn>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.cmml">l</mi>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml">+</mo>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml">1</mn>
                  </mrow>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2.cmml">)</mo>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.4.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.4.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.cmml">exp</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.4.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.4.1.cmml">⁡</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.4.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.4.1.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.4.1.cmml">(</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.4.2.1.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.cmml">-</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.4.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.4.2.1.1.cmml">
                        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml">
                          <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml">
                            <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.cmml">
                              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.1.cmml">Θ</mi>
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.2.1.cmml">r</mi>
                            </msub>
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3.cmml">T</mi>
                          </mfrac>
                        </mstyle>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.4.2.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.4.2.1.1.1.cmml">⁢</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.cmml">l</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.4.2.1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.4.2.1.1.1.cmml">⁢</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.4.2.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.4.2.1.1.2.2.cmml">
                          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.4.2.1.1.2.2.cmml">(</mo>
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.4.2.1.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.4.2.1.1.2.2.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.cmml">l</mi>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.cmml">+</mo>
                            <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.cmml">1</mn>
                          </mrow>
                          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.4.2.1.1.2.2.cmml">)</mo>
                        </mrow>
                      </mrow>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.4.1.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                </mrow>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1d" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1e" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml"/>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1f" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">
                  <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.2.cmml">
                    <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml">Θ</mi>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.2.2.1.cmml">r</mi>
                  </msub>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.3.cmml">T</mi>
                </mfrac>
              </mstyle>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">l</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.2.2.cmml">
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.2.2.cmml">(</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.2.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml">l</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml">+</mo>
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">1</mn>
                </mrow>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.2.2.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml">:=</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml">x</mi>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1g" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1h" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.1.1.cmml"/>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1i" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml">⇒</mo>
            <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.cmml">Z</mi>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.cmml">r</mi>
            </msub>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.cmml">≈</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.2.cmml">T</mi>
                  <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.3.cmml">
                    <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.3.1.cmml">Θ</mi>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.3.2.1.cmml">r</mi>
                  </msub>
                </mfrac>
              </mstyle>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.2.cmml">
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.2.1.cmml">
                  <msubsup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.2.1.cmml">
                    <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.cmml">∫</mo>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.cmml">0</mn>
                    <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.cmml">∞</mi>
                  </msubsup>
                </mstyle>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.2.2.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.2.2.2.cmml">
                    <mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.cmml">𝑑</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.cmml">x</mi>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                  <msup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.2.2.3.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.cmml">e</mi>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.1.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.1.1.cmml">-</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.1.2.cmml">x</mi>
                    </mrow>
                  </msup>
                </mrow>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.cmml">=</mo>
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.2.cmml">T</mi>
                <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.3.cmml">
                  <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.3.1.cmml">Θ</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.3.2.1.cmml">r</mi>
                </msub>
              </mfrac>
            </mstyle>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1j" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1k" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.4.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.1.1.cmml"/>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1l" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.25" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.25.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1.cmml">⇒</mo>
            <msub id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.26" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.26.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.cmml">U</mi>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.1.cmml">r</mi>
            </msub>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.27" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.27.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.5.cmml">-</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.27.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.27.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.cmml">N</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.27.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.27.1.1.cmml">⁢</mo>
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.cmml">
                  <mfrac id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7a" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.2.cmml">∂</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.3" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.3.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.3.1.cmml">∂</mo>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.3a" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.3.cmml">⁡</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.3.2.cmml">β</mi>
                    </mrow>
                  </mfrac>
                </mstyle>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.27.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.27.1.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.27.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.27.1.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.8.cmml">ln</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.27.1.2a" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.27.1.2.cmml">⁡</mo>
                  <msub id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.27.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.27.1.2.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.cmml">Z</mi>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.10.1.cmml">r</mi>
                  </msub>
                </mrow>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.12.cmml">N</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.13.cmml">k</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1a" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.cmml">⁢</mo>
              <msup id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.14.cmml">T</mi>
                <mn id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.15.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.15.1.cmml">2</mn>
              </msup>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1b" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.cmml">⁢</mo>
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.16.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.16a" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.16.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.16.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.16.2.cmml">∂</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.16.3" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.16.3.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.16.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.16.3.1.cmml">∂</mo>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.16.3a" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.16.3.cmml">⁡</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.16.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.16.3.2.cmml">T</mi>
                  </mrow>
                </mfrac>
              </mstyle>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1c" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.3" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.3.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.17.cmml">ln</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.3a" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.3.cmml">⁡</mo>
                <msub id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.3.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.18.cmml">Z</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.19.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.19.1.cmml">r</mi>
                </msub>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20.cmml">≈</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.29" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.29.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.21.cmml">N</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.29.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.29.1.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.22.cmml">k</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.29.1a" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.29.1.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.23.cmml">T</mi>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1m" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1n" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.5.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.1.1.cmml"/>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1o" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.5.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.11.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.1.cmml">⇒</mo>
            <msub id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.12.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.2.cmml">c</mi>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.1.1.cmml">v</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.1.3.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.1.2.cmml">r</mi>
              </mrow>
            </msub>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.4.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.13.cmml">
              <msub id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.13.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.13.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.5.cmml">N</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.6.1.cmml">A</mi>
              </msub>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.13.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.13.1.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.7.cmml">k</mi>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.8.cmml">=</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.9.cmml">R</mi>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
    </mtable>
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      <matrix id="p1.1.m1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1">absent</csymbol>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
            <approx id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3"/>
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              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26">subscript</csymbol>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1">𝑍</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1">𝑟</ci>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27">
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                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.1">superscript</csymbol>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.1">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.1">subscript</csymbol>
                  <int id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4"/>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1">0</cn>
                </apply>
                <infinity id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1"/>
              </apply>
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                  <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7">differential-d</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8">𝑙</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3">
                  <plus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2.1">
                    <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3.2.1.1"/>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10">2</cn>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11">𝑙</ci>
                  </apply>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13">1</cn>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.4.2">
                  <exp id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.4.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.4.2.1">
                    <minus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17"/>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.4.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.4.2.1.1">
                      <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.4.2.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.4.2.1.1.1"/>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18">
                        <divide id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18"/>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2">
                          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2">subscript</csymbol>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.1">Θ</ci>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.2.1">𝑟</ci>
                        </apply>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3">𝑇</ci>
                      </apply>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19">𝑙</ci>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.4.2.1.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.4.2.1.1.2">
                        <plus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22"/>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21">𝑙</ci>
                        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23">1</cn>
                      </apply>
                    </apply>
                  </apply>
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        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1">absent</csymbol>
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                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.2">subscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.2.1">Θ</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.2.2.1">𝑟</ci>
                </apply>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.3">𝑇</ci>
              </apply>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2">𝑙</ci>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.2">
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                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4">𝑙</ci>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6">1</cn>
              </apply>
            </apply>
            <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10">𝑥</ci>
          </apply>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
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            <and id="p1.1.m1.1.1.3.2.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1">
              <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1">⇒</ci>
              <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16">absent</csymbol>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17">subscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2">𝑍</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1">𝑟</ci>
              </apply>
            </apply>
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                  <divide id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.2">𝑇</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.3">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.3">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.3.1">Θ</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.3.2.1">𝑟</ci>
                  </apply>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.2">
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.2.1">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.2.1">superscript</csymbol>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.2.1">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.2.1">subscript</csymbol>
                      <int id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6"/>
                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1">0</cn>
                    </apply>
                    <infinity id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1"/>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.2.2">
                    <times id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.2.2.1"/>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.2.2.2">
                      <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9">differential-d</csymbol>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10">𝑥</ci>
                    </apply>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.2.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.2.2.3">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.2.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.2.2.3">superscript</csymbol>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11">𝑒</ci>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.1">
                        <minus id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.1.1"/>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.1.2">𝑥</ci>
                      </apply>
                    </apply>
                  </apply>
                </apply>
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            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1e.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13"/>
              <share href="#p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.cmml" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1f.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14">
                <divide id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.2">𝑇</ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.3">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.3">subscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.3.1">Θ</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.3.2.1">𝑟</ci>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.4.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.1.1">absent</csymbol>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1">
            <and id="p1.1.m1.1.1.4.2.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1">
              <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1">⇒</ci>
              <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.25.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.25">absent</csymbol>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.26.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.26">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.26.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.26">subscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2">𝑈</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.1">𝑟</ci>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4"/>
              <share href="#p1.1.m1.1.1.4.2.1.26.cmml" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.27.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.27">
                <minus id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.5"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.27.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.27.1">
                  <times id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.27.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.27.1.1"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6">𝑁</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7">
                    <divide id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7"/>
                    <partialdiff id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.2"/>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.3">
                      <partialdiff id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.3.1"/>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.3.2">𝛽</ci>
                    </apply>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.27.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.27.1.2">
                    <ln id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.8"/>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.27.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.27.1.2.1">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.27.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.27.1.2.1">subscript</csymbol>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9">𝑍</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.10.1">𝑟</ci>
                    </apply>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1e.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11"/>
              <share href="#p1.1.m1.1.1.4.2.1.27.cmml" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1f.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28">
                <times id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.12">𝑁</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.13">𝑘</ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2">superscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.14">𝑇</ci>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.15.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.15.1">2</cn>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.16">
                  <divide id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.16.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.16"/>
                  <partialdiff id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.16.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.16.2"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.16.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.16.3">
                    <partialdiff id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.16.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.16.3.1"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.16.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.16.3.2">𝑇</ci>
                  </apply>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.3">
                  <ln id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.17"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.3.1">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.3.1">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.18">𝑍</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.19.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.19.1">𝑟</ci>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1g.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1">
              <approx id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20"/>
              <share href="#p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.cmml" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1h.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.29.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.29">
                <times id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.29.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.29.1"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.21">𝑁</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.22.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.22">𝑘</ci>
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\\
\par&amp;\displaystyle\frac{{{\Theta}_{r}}}{T}l(l+1):=x\\
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{\infty}{{}}dx{{e}^{-x}}=\frac{T}{{{\Theta}_{r}}}\\
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\begin{aligned} Z_{r} \approx \int_{0}^{\infty} d l (2 l + 1) \exp (- \frac{Θ_{r}}{T} l (l + 1)) \\ \frac{Θ_{r}}{T} l (l + 1) : = x \\ \Rightarrow Z_{r} \approx \frac{T}{Θ_{r}} \int_{0}^{\infty} d x e^{- x} = \frac{T}{Θ_{r}} \\ \Rightarrow U_{r} = - N \frac{\partial}{\partial β} \ln Z_{r} = N k T^{2} \frac{\partial}{\partial T} \ln Z_{r} \approx N k T \\ \Rightarrow c_{v r} = N_{A} k = R \end{aligned}

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