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Display information for equation id:math.2570.28 on revision:2570
* Page found: Spezifische Wärme zweiatomiger idealer Gase (eq math.2570.28)
(force rerendering)Occurrences on the following pages:
Hash: 1ad67d92e7b1a4e449d97f6422b36314
TeX (original user input):
\begin{align}
& {{Z}_{r}}\approx 1+3\exp \left( -\frac{2{{\Theta }_{r}}}{T} \right) \\
& \ln {{Z}_{r}}\approx 3\exp \left( -\frac{2{{\Theta }_{r}}}{T} \right) \\
& \Rightarrow {{U}_{r}}\approx Nk{{T}^{2}}\frac{\partial }{\partial T}\left( 3\exp \left( -\frac{2{{\Theta }_{r}}}{T} \right) \right)=6Nk{{\Theta }_{r}}\left( \exp \left( -\frac{2{{\Theta }_{r}}}{T} \right) \right) \\
& \Rightarrow {{c}_{vr}}=12R{{\left( \frac{{{\Theta }_{r}}}{T} \right)}^{2}}\exp \left( -\frac{2{{\Theta }_{r}}}{T} \right) \\
\end{align}
TeX (checked):
{\begin{aligned}&{{Z}_{r}}\approx 1+3\exp \left(-{\frac {2{{\Theta }_{r}}}{T}}\right)\\&\ln {{Z}_{r}}\approx 3\exp \left(-{\frac {2{{\Theta }_{r}}}{T}}\right)\\&\Rightarrow {{U}_{r}}\approx Nk{{T}^{2}}{\frac {\partial }{\partial T}}\left(3\exp \left(-{\frac {2{{\Theta }_{r}}}{T}}\right)\right)=6Nk{{\Theta }_{r}}\left(\exp \left(-{\frac {2{{\Theta }_{r}}}{T}}\right)\right)\\&\Rightarrow {{c}_{vr}}=12R{{\left({\frac {{\Theta }_{r}}{T}}\right)}^{2}}\exp \left(-{\frac {2{{\Theta }_{r}}}{T}}\right)\\\end{aligned}}
LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering
MathML (38.014 KB / 4.282 KB) :
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&\displaystyle{{Z}_{r}}\approx 1% +3\exp\left(-\frac{2{{\Theta}_{r}}}{T}\right)\\ \par&\displaystyle\ln{{Z}_{r}}\approx 3\exp\left(-\frac{2{{\Theta}_{r}}}{T}% \right)\\ \par&\displaystyle\Rightarrow{{U}_{r}}\approx Nk{{T}^{2}}\frac{\partial}{% \partial T}\left(3\exp\left(-\frac{2{{\Theta}_{r}}}{T}\right)\right)=6Nk{{% \Theta}_{r}}\left(\exp\left(-\frac{2{{\Theta}_{r}}}{T}\right)\right)\\ \par&\displaystyle\Rightarrow{{c}_{vr}}=12R{{\left(\frac{{{\Theta}_{r}}}{T}% \right)}^{2}}\exp\left(-\frac{2{{\Theta}_{r}}}{T}\right)\\ \par\end{aligned}}}" display="inline">
<semantics id="p1.1.m1.1a">
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</mtd>
<mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1c" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
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<msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">Z</mi>
<mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.cmml">r</mi>
</msub>
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml">≈</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">1</mn>
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml">+</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">3</mn>
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.1.cmml"></mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2.1.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.cmml">exp</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2.1.cmml"></mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2.1.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2.1.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2.2.1.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">-</mo>
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.1.cmml">2</mn>
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.4.cmml"></mo>
<msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.5.cmml">
<mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.2.cmml">Θ</mi>
<mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.3.1.cmml">r</mi>
</msub>
</mrow>
<mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3.cmml">T</mi>
</mfrac>
</mstyle>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2.1.cmml">)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
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</mtr>
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<mtd id="p1.1.m1.1.1e" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml"/>
</mtd>
<mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1f" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">ln</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.cmml"></mo>
<msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">Z</mi>
<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.cmml">r</mi>
</msub>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml">≈</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml">3</mn>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.cmml"></mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">exp</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.cmml"></mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.2.1.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml">-</mo>
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.1.cmml">2</mn>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.4.cmml"></mo>
<msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.5.cmml">
<mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.2.cmml">Θ</mi>
<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.3.1.cmml">r</mi>
</msub>
</mrow>
<mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.cmml">T</mi>
</mfrac>
</mstyle>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.cmml">)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr id="p1.1.m1.1.1g" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
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<mi id="p1.1.m1.1.1.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.1.1.cmml"/>
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<mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1i" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml">
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<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml">⇒</mo>
<msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.33" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.33.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.cmml">U</mi>
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.cmml">r</mi>
</msub>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.cmml">≈</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.cmml">N</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.1.cmml"></mo>
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.cmml">k</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.1a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.1.cmml"></mo>
<msup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.2.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.cmml">T</mi>
<mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.cmml">2</mn>
</msup>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.1b" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.1.cmml"></mo>
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.2.cmml">∂</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.3.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.3.1.cmml">∂</mo>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.3a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.3.cmml"></mo>
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.3.2.cmml">T</mi>
</mrow>
</mfrac>
</mstyle>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.1c" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.1.cmml"></mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.3.2.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.3.2.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.3.2.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.cmml">3</mn>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.3.2.1.cmml"></mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.3.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.3.2.2.1.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.cmml">exp</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.3.2.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.3.2.2.1.cmml"></mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.3.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.3.2.2.1.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.3.2.2.1.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.3.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.3.2.2.2.1.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.cmml">-</mo>
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.2.cmml">
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</msub>
</mrow>
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.3.cmml">T</mi>
</mfrac>
</mstyle>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.3.2.2.1.cmml">)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.34.3.2.cmml">)</mo>
</mrow>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.cmml">=</mo>
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<mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.cmml">6</mn>
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<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.1a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.1.cmml"></mo>
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.cmml">k</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.1b" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.1.cmml"></mo>
<msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.2.cmml">
<mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.cmml">Θ</mi>
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.23.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.23.1.cmml">r</mi>
</msub>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.1c" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.1.cmml"></mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.3.2.1.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.cmml">exp</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.3.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.3.2.1.cmml"></mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.3.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.3.2.1.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.26" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.3.2.1.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.3.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.3.2.2.1.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.cmml">-</mo>
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.28" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.28.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.28a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.28.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.28.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.28.2.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.28.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.28.2.1.cmml">2</mn>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.28.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.28.2.4.cmml"></mo>
<msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.28.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.28.2.5.cmml">
<mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.28.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.28.2.2.cmml">Θ</mi>
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.28.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.28.2.3.1.cmml">r</mi>
</msub>
</mrow>
<mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.28.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.28.3.cmml">T</mi>
</mfrac>
</mstyle>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.29" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.3.2.1.cmml">)</mo>
</mrow>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.30" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.cmml">)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr id="p1.1.m1.1.1j" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
<mtd id="p1.1.m1.1.1k" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.4.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.1.1.cmml"/>
</mtd>
<mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1l" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.18.cmml"/>
<mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1.cmml">⇒</mo>
<msub id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.19.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.cmml">c</mi>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.1.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.1.1.cmml">v</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.1.3.cmml"></mo>
<mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.1.2.cmml">r</mi>
</mrow>
</msub>
<mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.cmml">=</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.cmml">12</mn>
<mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20.1.cmml"></mo>
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<mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20.1a" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20.1.cmml"></mo>
<msup id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20.2.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.cmml">(</mo>
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9a" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.cmml">
<msub id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.2.cmml">
<mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.2.1.cmml">Θ</mi>
<mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.2.2.1.cmml">r</mi>
</msub>
<mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.3" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.3.cmml">T</mi>
</mfrac>
</mstyle>
<mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.cmml">)</mo>
</mrow>
<mn id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.cmml">2</mn>
</msup>
<mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20.1b" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20.1.cmml"></mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20.3.1.cmml">
<mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.12.cmml">exp</mi>
<mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20.3.2a" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20.3.1.cmml"></mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20.3.1.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20.3.1.cmml">(</mo>
<mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20.3.2.1.cmml">
<mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.14.cmml">-</mo>
<mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.15.cmml">
<mfrac id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.15a" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.15.cmml">
<mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.15.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.15.2.cmml">
<mn id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.15.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.15.2.1.cmml">2</mn>
<mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.15.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.15.2.4.cmml"></mo>
<msub id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.15.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.15.2.5.cmml">
<mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.15.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.15.2.2.cmml">Θ</mi>
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</msub>
</mrow>
<mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.15.3" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.15.3.cmml">T</mi>
</mfrac>
</mstyle>
</mrow>
<mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20.3.1.cmml">)</mo>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
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<approx id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3"/>
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<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12">subscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1">𝑍</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1">𝑟</ci>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13">
<plus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4">1</cn>
<apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1">
<times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.1"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6">3</cn>
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<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.1">2</cn>
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<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.5">subscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.2">Θ</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.3.1">𝑟</ci>
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</apply>
<ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3">𝑇</ci>
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</matrixrow>
<matrixrow id="p1.1.m1.1.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
<csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1">absent</csymbol>
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<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1">subscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2">𝑍</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1">𝑟</ci>
</apply>
</apply>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12">
<times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5">3</cn>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.2">
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<times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.4"/>
<cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.1">2</cn>
<apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.5">
<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.5">subscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.2">Θ</ci>
<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.3.1">𝑟</ci>
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<ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3">𝑇</ci>
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</matrixrow>
<matrixrow id="p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
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<csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.33.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.33">subscript</csymbol>
<ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2">𝑈</ci>
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<ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7">𝑅</ci>
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\partial T}\left(3\exp\left(-\frac{2{{\Theta}_{r}}}{T}\right)\right)=6Nk{{%
\Theta}_{r}}\left(\exp\left(-\frac{2{{\Theta}_{r}}}{T}\right)\right)\\
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\right)}^{2}}\exp\left(-\frac{2{{\Theta}_{r}}}{T}\right)\\
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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}&{{Z}_{r}}\approx 1+3\exp \left(-{\frac {2{{\Theta }_{r}}}{T}}\right)\\&\ln {{Z}_{r}}\approx 3\exp \left(-{\frac {2{{\Theta }_{r}}}{T}}\right)\\&\Rightarrow {{U}_{r}}\approx Nk{{T}^{2}}{\frac {\partial }{\partial T}}\left(3\exp \left(-{\frac {2{{\Theta }_{r}}}{T}}\right)\right)=6Nk{{\Theta }_{r}}\left(\exp \left(-{\frac {2{{\Theta }_{r}}}{T}}\right)\right)\\&\Rightarrow {{c}_{vr}}=12R{{\left({\frac {{\Theta }_{r}}{T}}\right)}^{2}}\exp \left(-{\frac {2{{\Theta }_{r}}}{T}}\right)\\\end{aligned}}}</annotation>
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