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Display information for equation id:math.2568.20 on revision:2568

* Page found: Das Photonengas im Strahlungshohlraum (eq math.2568.20)

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TeX (original user input): 

\begin{align}

& U\left( T \right):=V\int_{{}}^{{}}{{}}d\nu \frac{1}{V}D\left( \nu  \right)h\nu \left\langle {{N}_{\nu }} \right\rangle =\frac{8\pi hV}{{{c}^{3}}}\int_{0}^{\infty }{{}}d\nu \frac{{{\nu }^{3}}}{{{e}^{\frac{h\nu }{kT}}}-1} \\

& =\frac{8\pi V}{{{\left( ch \right)}^{3}}}{{\left( kT \right)}^{4}}\int_{0}^{\infty }{{}}dx\frac{{{x}^{3}}}{{{e}^{x}}-1} \\

& \int_{0}^{\infty }{{}}dx\frac{{{x}^{3}}}{{{e}^{x}}-1}=\frac{{{\pi }^{4}}}{15} \\

& U\left( T \right)=\frac{8{{\pi }^{5}}V}{15{{\left( ch \right)}^{3}}}{{\left( kT \right)}^{4}} \\

\end{align}

TeX (checked): 

{\begin{aligned}&U\left(T\right):=V\int _{}^{}{}d\nu {\frac {1}{V}}D\left(\nu \right)h\nu \left\langle {{N}_{\nu }}\right\rangle ={\frac {8\pi hV}{{c}^{3}}}\int _{0}^{\infty }{}d\nu {\frac {{\nu }^{3}}{{{e}^{\frac {h\nu }{kT}}}-1}}\\&={\frac {8\pi V}{{\left(ch\right)}^{3}}}{{\left(kT\right)}^{4}}\int _{0}^{\infty }{}dx{\frac {{x}^{3}}{{{e}^{x}}-1}}\\&\int _{0}^{\infty }{}dx{\frac {{x}^{3}}{{{e}^{x}}-1}}={\frac {{\pi }^{4}}{15}}\\&U\left(T\right)={\frac {8{{\pi }^{5}}V}{15{{\left(ch\right)}^{3}}}}{{\left(kT\right)}^{4}}\\\end{aligned}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (47.29 KB / 5.182 KB) :

U ⁢ ( T ) := V ⁢ ∫ 𝑑 ν ⁢ 1 V ⁢ D ⁢ ( ν ) ⁢ h ⁢ ν ⁢ ⟨ N ν ⟩ = 8 ⁢ π ⁢ h ⁢ V c 3 ⁢ ∫ 0 ∞ 𝑑 ν ⁢ ν 3 e h ⁢ ν k ⁢ T - 1 = 8 ⁢ π ⁢ V ( c ⁢ h ) 3 ⁢ ( k ⁢ T ) 4 ⁢ ∫ 0 ∞ 𝑑 x ⁢ x 3 e x - 1 ∫ 0 ∞ 𝑑 x ⁢ x 3 e x - 1 = π 4 15 U ⁢ ( T ) = 8 ⁢ π 5 ⁢ V 15 ⁢ ( c ⁢ h ) 3 ⁢ ( k ⁢ T ) 4 absent assign 𝑈 𝑇 𝑉 differential-d 𝜈 1 𝑉 𝐷 𝜈 ℎ 𝜈 delimited-⟨⟩ subscript 𝑁 𝜈 8 𝜋 ℎ 𝑉 superscript 𝑐 3 superscript subscript 0 differential-d 𝜈 superscript 𝜈 3 superscript 𝑒 ℎ 𝜈 𝑘 𝑇 1 absent absent 8 𝜋 𝑉 superscript 𝑐 ℎ 3 superscript 𝑘 𝑇 4 superscript subscript 0 differential-d 𝑥 superscript 𝑥 3 superscript 𝑒 𝑥 1 absent superscript subscript 0 differential-d 𝑥 superscript 𝑥 3 superscript 𝑒 𝑥 1 superscript 𝜋 4 15 absent 𝑈 𝑇 8 superscript 𝜋 5 𝑉 15 superscript 𝑐 ℎ 3 superscript 𝑘 𝑇 4 {\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&\displaystyle U\left(T\right)% :=V\int{{}}d\nu\frac{1}{V}D\left(\nu\right)h\nu\left\langle{{N}_{\nu}}\right% \rangle=\frac{8\pi hV}{{{c}^{3}}}\int_{0}^{\infty}{{}}d\nu\frac{{{\nu}^{3}}}{{% {e}^{\frac{h\nu}{kT}}}-1}\\ \par&\displaystyle=\frac{8\pi V}{{{\left(ch\right)}^{3}}}{{\left(kT\right)}^{4% }}\int_{0}^{\infty}{{}}dx\frac{{{x}^{3}}}{{{e}^{x}}-1}\\ \par&\displaystyle\int_{0}^{\infty}{{}}dx\frac{{{x}^{3}}}{{{e}^{x}}-1}=\frac{{% {\pi}^{4}}}{15}\\ \par&\displaystyle U\left(T\right)=\frac{8{{\pi}^{5}}V}{15{{\left(ch\right)}^{% 3}}}{{\left(kT\right)}^{4}}\\ \par\end{aligned}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&amp;\displaystyle U\left(T\right)%&#10;:=V\int{{}}d\nu\frac{1}{V}D\left(\nu\right)h\nu\left\langle{{N}_{\nu}}\right%&#10;\rangle=\frac{8\pi hV}{{{c}^{3}}}\int_{0}^{\infty}{{}}d\nu\frac{{{\nu}^{3}}}{{%&#10;{e}^{\frac{h\nu}{kT}}}-1}\\&#10;\par&amp;\displaystyle=\frac{8\pi V}{{{\left(ch\right)}^{3}}}{{\left(kT\right)}^{4%&#10;}}\int_{0}^{\infty}{{}}dx\frac{{{x}^{3}}}{{{e}^{x}}-1}\\&#10;\par&amp;\displaystyle\int_{0}^{\infty}{{}}dx\frac{{{x}^{3}}}{{{e}^{x}}-1}=\frac{{%&#10;{\pi}^{4}}}{15}\\&#10;\par&amp;\displaystyle U\left(T\right)=\frac{8{{\pi}^{5}}V}{15{{\left(ch\right)}^{%&#10;3}}}{{\left(kT\right)}^{4}}\\&#10;\par\end{aligned}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
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        <mtd id="p1.1.m1.1.1b" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"/>
        </mtd>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">U</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.cmml">(</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml">T</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">:=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.cmml">V</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.1.cmml">⁢</mo>
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.cmml">
                  <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml">∫</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.1.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.1.2.cmml">
                      <mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">𝑑</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml">ν</mi>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                    <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.cmml">
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.cmml">1</mn>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.3.cmml">V</mi>
                    </mfrac>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml">D</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.1.1b" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.1.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.1.cmml">(</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.cmml">ν</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.1.cmml">)</mo>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.1.1c" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml">h</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.1.1d" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.cmml">ν</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.1.1e" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.1.4.1.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.1.4.1.1.cmml">⟨</mo>
                      <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.1.4.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.1.4.2.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.cmml">N</mi>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1.cmml">ν</mi>
                      </msub>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.1.4.1.1.cmml">⟩</mo>
                    </mrow>
                  </mrow>
                </mrow>
              </mstyle>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.2.cmml">
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.2.1.cmml">8</mn>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.2.5.cmml">⁢</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.2.2.cmml">π</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.2.5a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.2.5.cmml">⁢</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.2.3.cmml">h</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.2.5b" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.2.5.cmml">⁢</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.2.4.cmml">V</mi>
                  </mrow>
                  <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.3.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.3.1.cmml">c</mi>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.3.2.1.cmml">3</mn>
                  </msup>
                </mfrac>
              </mstyle>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.cmml">
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.1.cmml">
                  <msubsup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.1.cmml">
                    <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.cmml">∫</mo>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.1.cmml">0</mn>
                    <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.1.cmml">∞</mi>
                  </msubsup>
                </mstyle>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.2.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.2.2.cmml">
                    <mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.cmml">𝑑</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.cmml">ν</mi>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.cmml">
                    <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.cmml">
                      <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.2.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.2.1.cmml">ν</mi>
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.2.2.1.cmml">3</mn>
                      </msup>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.cmml">
                        <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.5.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.1.cmml">e</mi>
                          <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.2.1.cmml">
                            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.2.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.2.1.1.2.cmml">
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.2.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.2.1.1.2.1.cmml">h</mi>
                              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.2.1.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.2.1.1.2.3.cmml">⁢</mo>
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.2.1.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.2.1.1.2.2.cmml">ν</mi>
                            </mrow>
                            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.2.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.2.1.1.3.cmml">
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.2.1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.2.1.1.3.1.cmml">k</mi>
                              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.2.1.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.2.1.1.3.3.cmml">⁢</mo>
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.2.1.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.2.1.1.3.2.cmml">T</mi>
                            </mrow>
                          </mfrac>
                        </msup>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.3.cmml">-</mo>
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.4.cmml">1</mn>
                      </mrow>
                    </mfrac>
                  </mstyle>
                </mrow>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1d" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1e" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml"/>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1f" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.cmml">
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.1.cmml">8</mn>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.4.cmml">⁢</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.2.cmml">π</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.4a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.4.cmml">⁢</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.3.cmml">V</mi>
                  </mrow>
                  <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.7.2.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.7.2.cmml">(</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.7.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.7.2.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.2.cmml">c</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.7.2.1.cmml">⁢</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.3.cmml">h</mi>
                      </mrow>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.7.2.cmml">)</mo>
                    </mrow>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.5.1.cmml">3</mn>
                  </msup>
                </mfrac>
              </mstyle>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1.cmml">⁢</mo>
              <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2.2.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2.2.cmml">(</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml">k</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml">T</mi>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2.2.cmml">)</mo>
                </mrow>
                <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.cmml">4</mn>
              </msup>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.cmml">
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.1.cmml">
                  <msubsup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.1.cmml">
                    <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml">∫</mo>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.1.cmml">0</mn>
                    <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1.cmml">∞</mi>
                  </msubsup>
                </mstyle>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.2.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.2.2.cmml">
                    <mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.cmml">𝑑</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">x</mi>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.2.1.cmml">⁢</mo>
                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.cmml">
                    <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.cmml">
                      <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.1.cmml">x</mi>
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.2.1.cmml">3</mn>
                      </msup>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.3.cmml">
                        <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.3.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.3.5.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.3.1.cmml">e</mi>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.3.2.1.cmml">x</mi>
                        </msup>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.3.3.cmml">-</mo>
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.3.4.cmml">1</mn>
                      </mrow>
                    </mfrac>
                  </mstyle>
                </mrow>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1g" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1h" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.1.1.cmml"/>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1i" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.1.cmml">
                <msubsup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.1a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.1.cmml">
                  <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml">∫</mo>
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.1.cmml">0</mn>
                  <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.cmml">∞</mi>
                </msubsup>
              </mstyle>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.2.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.2.2.cmml">
                  <mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.cmml">𝑑</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.cmml">x</mi>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.cmml">
                  <mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.cmml">
                    <msup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.2.1.cmml">x</mi>
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.2.2.1.cmml">3</mn>
                    </msup>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.3.cmml">
                      <msup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.3.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.3.5.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.3.1.cmml">e</mi>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.3.2.1.cmml">x</mi>
                      </msup>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.3.3.cmml">-</mo>
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.3.4.cmml">1</mn>
                    </mrow>
                  </mfrac>
                </mstyle>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.cmml">=</mo>
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.cmml">
                <msup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.1.cmml">π</mi>
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.2.1.cmml">4</mn>
                </msup>
                <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.3.cmml">15</mn>
              </mfrac>
            </mstyle>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1j" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1k" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.4.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.1.1.cmml"/>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1l" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.12.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1.cmml">U</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.12.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.12.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.12.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.12.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.12.cmml">(</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.cmml">T</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.12.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.5.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.13.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6a" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.2.cmml">
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.2.1.cmml">8</mn>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.2.5.cmml">⁢</mo>
                    <msup id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.2.6" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.2.6.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.2.2.cmml">π</mi>
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.2.3.1.cmml">5</mn>
                    </msup>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.2.5a" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.2.5.cmml">⁢</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.2.4.cmml">V</mi>
                  </mrow>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.3" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.3.cmml">
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.3.2.cmml">15</mn>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.3.8" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.3.8.cmml">⁢</mo>
                    <msup id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.3.9" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.3.9.cmml">
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.3.9.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.3.9.2.2.cmml">
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.3.9.2.2.cmml">(</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.3.9.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.3.9.2.2.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.3.4.cmml">c</mi>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.3.9.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.3.9.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.3.5" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.3.5.cmml">h</mi>
                        </mrow>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.3.6" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.3.9.2.2.cmml">)</mo>
                      </mrow>
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.3.7.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.3.7.1.cmml">3</mn>
                    </msup>
                  </mrow>
                </mfrac>
              </mstyle>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.13.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.13.1.cmml">⁢</mo>
              <msup id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.13.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.13.2.cmml">
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                  <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.13.2.2.2.cmml">(</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.13.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.13.2.2.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.8.cmml">k</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.13.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.13.2.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.cmml">T</mi>
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                  <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.13.2.2.2.cmml">)</mo>
                </mrow>
                <mn id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.cmml">4</mn>
              </msup>
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      </mtr>
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                    </apply>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12">𝐷</ci>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16">ℎ</ci>
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                      <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.1.4.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18">delimited-⟨⟩</csymbol>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.1.4.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.1.4.2">
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                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.2.1">8</cn>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.2.2">𝜋</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.2.3">ℎ</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.2.4">𝑉</ci>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.3">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.3">superscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.3.1">𝑐</ci>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.3.2.1">3</cn>
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                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.1">superscript</csymbol>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.1">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.1">subscript</csymbol>
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                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.1">0</cn>
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                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.2.2">
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                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28">𝜈</ci>
                    </apply>
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                      <divide id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29"/>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.2">
                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.2">superscript</csymbol>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.2.1">𝜈</ci>
                        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.2.2.1">3</cn>
                      </apply>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3">
                        <minus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.3"/>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.5">
                          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.5">superscript</csymbol>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.1">𝑒</ci>
                          <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.2.1">
                            <divide id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.2.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.2.1"/>
                            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.2.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.2.1.1.2">
                              <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.2.1.1.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.2.1.1.2.3"/>
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                              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.2.1.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.2.1.1.2.2">𝜈</ci>
                            </apply>
                            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.2.1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.2.1.1.3">
                              <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.2.1.1.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.2.1.1.3.3"/>
                              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.2.1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.2.1.1.3.1">𝑘</ci>
                              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.2.1.1.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.2.1.1.3.2">𝑇</ci>
                            </apply>
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                        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.3.4">1</cn>
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                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.1">8</cn>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.2">𝜋</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.3">𝑉</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3">superscript</csymbol>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.2">𝑐</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.3">ℎ</ci>
                  </apply>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.5.1">3</cn>
                </apply>
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                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2">superscript</csymbol>
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                  <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2.2.1"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4">𝑘</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5">𝑇</ci>
                </apply>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1">4</cn>
              </apply>
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                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.1">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.1">superscript</csymbol>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.1">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.1">subscript</csymbol>
                    <int id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8"/>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.1">0</cn>
                  </apply>
                  <infinity id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1"/>
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                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.2.1">3</cn>
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                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1">4</cn>
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:=V\int{{}}d\nu\frac{1}{V}D\left(\nu\right)h\nu\left\langle{{N}_{\nu}}\right%
\rangle=\frac{8\pi hV}{{{c}^{3}}}\int_{0}^{\infty}{{}}d\nu\frac{{{\nu}^{3}}}{{%
{e}^{\frac{h\nu}{kT}}}-1}\\
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}}\int_{0}^{\infty}{{}}dx\frac{{{x}^{3}}}{{{e}^{x}}-1}\\
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{\pi}^{4}}}{15}\\
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3}}}{{\left(kT\right)}^{4}}\\
\par\end{aligned}}}</annotation>
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U(T):=V∫dν1VD(ν)hν⟨Nν⟩=8πhVc3∫0∞dνν3ehνkT−1=8πV(ch)3(kT)4∫0∞dxx3ex−1∫0∞dxx3ex−1=π415U(T)=8π5V15(ch)3(kT)4
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Identifiers

  • U
  • T
  • V
  • ν
  • V
  • D
  • ν
  • h
  • ν
  • Nν
  • π
  • h
  • V
  • c
  • ν
  • ν
  • e
  • h
  • ν
  • k
  • T
  • π
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  • c
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  • k
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  • x
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