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* Page found: Mehrkomponentige ideale Gase (eq math.2528.0)

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\begin{align}

& U=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{n}_{i}}{{u}_{i}}\left( T \right)=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{n}_{i}}\int_{{{T}_{0}}}^{T}{{}}dT\acute{\ }{{c}_{vi}}\left( T\acute{\ } \right) \\

& S=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{n}_{i}}{{s}_{i}}\left( T,{{v}_{i}} \right) \\

& {{s}_{i}}\left( T,{{v}_{i}} \right)=\int_{{{T}_{0}}}^{T}{{}}dT\acute{\ }\frac{{{c}_{vi}}\left( T\acute{\ } \right)}{T\acute{\ }}+R\ln \frac{{{v}_{i}}}{{{v}_{0}}} \\

\end{align}

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MathML (37.369 KB / 4.126 KB) :

U = ∑ i n i ⁢ u i ⁢ ( T ) = ∑ i n i ⁢ ∫ T 0 T 𝑑 T ⁢ ´ ⁢ c v ⁢ i ⁢ ( T ⁢ ´ ) S = ∑ i n i ⁢ s i ⁢ ( T , v i ) s i ⁢ ( T , v i ) = ∫ T 0 T 𝑑 T ⁢ ´ ⁢ c v ⁢ i ⁢ ( T ⁢ ´ ) T ⁢ ´ + R ⁢ ln ⁡ v i v 0 absent 𝑈 subscript 𝑖 subscript 𝑛 𝑖 subscript 𝑢 𝑖 𝑇 subscript 𝑖 subscript 𝑛 𝑖 superscript subscript subscript 𝑇 0 𝑇 differential-d 𝑇 ´ absent subscript 𝑐 𝑣 𝑖 𝑇 ´ absent absent 𝑆 subscript 𝑖 subscript 𝑛 𝑖 subscript 𝑠 𝑖 𝑇 subscript 𝑣 𝑖 absent subscript 𝑠 𝑖 𝑇 subscript 𝑣 𝑖 superscript subscript subscript 𝑇 0 𝑇 differential-d 𝑇 ´ absent subscript 𝑐 𝑣 𝑖 𝑇 ´ absent 𝑇 ´ absent 𝑅 subscript 𝑣 𝑖 subscript 𝑣 0 {\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&\displaystyle U=\sum\limits_{% i}{{}}{{n}_{i}}{{u}_{i}}\left(T\right)=\sum\limits_{i}{{}}{{n}_{i}}\int_{{{T}_% {0}}}^{T}{{}}dT\acute{\ }{{c}_{vi}}\left(T\acute{\ }\right)\\ \par&\displaystyle S=\sum\limits_{i}{{}}{{n}_{i}}{{s}_{i}}\left(T,{{v}_{i}}% \right)\\ \par&\displaystyle{{s}_{i}}\left(T,{{v}_{i}}\right)=\int_{{{T}_{0}}}^{T}{{}}dT% \acute{\ }\frac{{{c}_{vi}}\left(T\acute{\ }\right)}{T\acute{\ }}+R\ln\frac{{{v% }_{i}}}{{{v}_{0}}}\\ \par\end{aligned}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&amp;\displaystyle U=\sum\limits_{%&#10;i}{{}}{{n}_{i}}{{u}_{i}}\left(T\right)=\sum\limits_{i}{{}}{{n}_{i}}\int_{{{T}_%&#10;{0}}}^{T}{{}}dT\acute{\ }{{c}_{vi}}\left(T\acute{\ }\right)\\&#10;\par&amp;\displaystyle S=\sum\limits_{i}{{}}{{n}_{i}}{{s}_{i}}\left(T,{{v}_{i}}%&#10;\right)\\&#10;\par&amp;\displaystyle{{s}_{i}}\left(T,{{v}_{i}}\right)=\int_{{{T}_{0}}}^{T}{{}}dT%&#10;\acute{\ }\frac{{{c}_{vi}}\left(T\acute{\ }\right)}{T\acute{\ }}+R\ln\frac{{{v%&#10;}_{i}}}{{{v}_{0}}}\\&#10;\par\end{aligned}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mtable columnspacing="0pt" rowspacing="0pt" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
      <mtr id="p1.1.m1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1b" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"/>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1c" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">U</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1.cmml">
                <munder id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1.cmml">
                  <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml">∑</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.cmml">i</mi>
                </munder>
              </mstyle>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.2.cmml">
                <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.2.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml">n</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.cmml">i</mi>
                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.2.1.cmml">⁢</mo>
                <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.2.3.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.cmml">u</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1.cmml">i</mi>
                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.2.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.2.cmml">(</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml">T</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.2.cmml">)</mo>
                </mrow>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.cmml">
                <munder id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.cmml">
                  <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml">∑</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.cmml">i</mi>
                </munder>
              </mstyle>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.cmml">
                <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.cmml">n</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.cmml">i</mi>
                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.3.cmml">
                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.3.1.cmml">
                    <msubsup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.3.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.3.1.cmml">
                      <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.cmml">∫</mo>
                      <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1.1.cmml">T</mi>
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1.2.1.cmml">0</mn>
                      </msub>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1.cmml">T</mi>
                    </msubsup>
                  </mstyle>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.3.2.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.3.2.2.cmml">
                      <mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.cmml">𝑑</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.cmml">T</mi>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.3.2.1.cmml">⁢</mo>
                    <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.2.cmml"/>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.1.cmml">´</mo>
                    </mover>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.3.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.3.2.1.cmml">⁢</mo>
                    <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.3.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.3.2.3.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.cmml">c</mi>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.1.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.1.1.cmml">v</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.1.3.cmml">⁢</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.1.2.cmml">i</mi>
                      </mrow>
                    </msub>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.3.2.1b" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.3.2.1.cmml">⁢</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.3.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.3.2.4.2.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.3.2.4.2.cmml">(</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.3.2.4.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.3.2.4.2.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.cmml">T</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.3.2.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.3.2.4.2.1.cmml">⁢</mo>
                        <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.cmml"/>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.1.cmml">´</mo>
                        </mover>
                      </mrow>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2.3.2.4.2.cmml">)</mo>
                    </mrow>
                  </mrow>
                </mrow>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1d" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1e" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml"/>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1f" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">S</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1.cmml">
                <munder id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1.cmml">
                  <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml">∑</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.cmml">i</mi>
                </munder>
              </mstyle>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.cmml">
                <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml">n</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.cmml">i</mi>
                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.1.cmml">⁢</mo>
                <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.3.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml">s</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.1.cmml">i</mi>
                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.4.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.4.1.cmml">(</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml">T</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.4.1.cmml">,</mo>
                  <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.4.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.4.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">v</mi>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1.cmml">i</mi>
                  </msub>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.4.1.cmml">)</mo>
                </mrow>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1g" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1h" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.1.1.cmml"/>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1i" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.cmml">
              <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml">s</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.1.cmml">i</mi>
              </msub>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.3.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.3.1.cmml">(</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.cmml">T</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.3.1.cmml">,</mo>
                <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.3.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.cmml">v</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.cmml">i</mi>
                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.3.1.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.1.cmml">
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.1.1.cmml">
                  <msubsup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.1.1.cmml">
                    <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.cmml">∫</mo>
                    <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.1.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.1.1.cmml">T</mi>
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.1.2.1.cmml">0</mn>
                    </msub>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.1.cmml">T</mi>
                  </msubsup>
                </mstyle>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.1.2.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.1.2.2.cmml">
                    <mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.cmml">𝑑</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.cmml">T</mi>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.1.2.1.cmml">⁢</mo>
                  <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.2.cmml"/>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.1.cmml">´</mo>
                  </mover>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.1.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.1.2.1.cmml">⁢</mo>
                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.cmml">
                    <mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.cmml">
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.cmml">
                        <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.8" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.8.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.1.cmml">c</mi>
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.2.1.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.2.1.1.cmml">v</mi>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.2.1.3.cmml">⁢</mo>
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.2.1.2.cmml">i</mi>
                          </mrow>
                        </msub>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.7" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.7.cmml">⁢</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.9" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.9.2.cmml">
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.9.2.cmml">(</mo>
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.9.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.9.2.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.4.cmml">T</mi>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.9.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.9.2.1.cmml">⁢</mo>
                            <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.5.cmml">
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.5.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.5.2.cmml"/>
                              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.5.1.cmml">´</mo>
                            </mover>
                          </mrow>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.6" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.9.2.cmml">)</mo>
                        </mrow>
                      </mrow>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.3.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.3.1.cmml">T</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.3.3.cmml">⁢</mo>
                        <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.3.2.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.3.2.2.cmml"/>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.3.2.1.cmml">´</mo>
                        </mover>
                      </mrow>
                    </mfrac>
                  </mstyle>
                </mrow>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.cmml">+</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.cmml">R</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.2.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.cmml">ln</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.2.2.cmml">⁡</mo>
                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.cmml">
                    <mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.cmml">
                      <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.1.cmml">v</mi>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.1.cmml">i</mi>
                      </msub>
                      <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.3.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.3.1.cmml">v</mi>
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.3.2.1.cmml">0</mn>
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                  <sum id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1">𝑖</ci>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5">𝑛</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1">𝑖</ci>
                  </apply>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7">𝑢</ci>
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                  </apply>
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                          <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1.1">𝑇</ci>
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                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.1">´</ci>
                        <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.2">absent</csymbol>
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                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23">𝑐</ci>
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                          <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.1.2">𝑖</ci>
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            <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1">𝑆</ci>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15">
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                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1">subscript</csymbol>
                <sum id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3"/>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12">𝑣</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1">𝑖</ci>
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                </interval>
              </apply>
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        </matrixrow>
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          <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.1.1">absent</csymbol>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6">𝑣</ci>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.1">´</ci>
                    <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.2">absent</csymbol>
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                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.8">subscript</csymbol>
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                          <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.5.1">´</ci>
                          <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.5.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.5.2">absent</csymbol>
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                        <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.3.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.3.2.2">absent</csymbol>
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                <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18">𝑅</ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22.2.2">
                  <ln id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20">
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                      <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.1">𝑣</ci>
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                    </apply>
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                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.3">subscript</csymbol>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.3.1">𝑣</ci>
                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.3.2.1">0</cn>
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    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&amp;\displaystyle U=\sum\limits_{%
i}{{}}{{n}_{i}}{{u}_{i}}\left(T\right)=\sum\limits_{i}{{}}{{n}_{i}}\int_{{{T}_%
{0}}}^{T}{{}}dT\acute{\ }{{c}_{vi}}\left(T\acute{\ }\right)\\
\par&amp;\displaystyle S=\sum\limits_{i}{{}}{{n}_{i}}{{s}_{i}}\left(T,{{v}_{i}}%
\right)\\
\par&amp;\displaystyle{{s}_{i}}\left(T,{{v}_{i}}\right)=\int_{{{T}_{0}}}^{T}{{}}dT%
\acute{\ }\frac{{{c}_{vi}}\left(T\acute{\ }\right)}{T\acute{\ }}+R\ln\frac{{{v%
}_{i}}}{{{v}_{0}}}\\
\par\end{aligned}}}</annotation>
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U = ∑ i n i u i ( T ) = ∑ i n i ∫ T 0 T d T   ´ c v i ( T   ´ ) S = ∑ i n i s i ( T , v i ) s i ( T , v i ) = ∫ T 0 T d T   ´ c v i ( T   ´ ) T   ´ + R ln ⁡ v i v 0 {\displaystyle {\begin{aligned}&U=\sum \limits _{i}^{}{}{{n}_{i}}{{u}_{i}}\left(T\right)=\sum \limits _{i}^{}{}{{n}_{i}}\int _{{T}_{0}}^{T}{}dT{\acute {\ }}{{c}_{vi}}\left(T{\acute {\ }}\right)\\&S=\sum \limits _{i}^{}{}{{n}_{i}}{{s}_{i}}\left(T,{{v}_{i}}\right)\\&{{s}_{i}}\left(T,{{v}_{i}}\right)=\int _{{T}_{0}}^{T}{}dT{\acute {\ }}{\frac {{{c}_{vi}}\left(T{\acute {\ }}\right)}{T{\acute {\ }}}}+R\ln {\frac {{v}_{i}}{{v}_{0}}}\\\end{aligned}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}&amp;U=\sum \limits _{i}^{}{}{{n}_{i}}{{u}_{i}}\left(T\right)=\sum \limits _{i}^{}{}{{n}_{i}}\int _{{T}_{0}}^{T}{}dT{\acute {\ }}{{c}_{vi}}\left(T{\acute {\ }}\right)\\&amp;S=\sum \limits _{i}^{}{}{{n}_{i}}{{s}_{i}}\left(T,{{v}_{i}}\right)\\&amp;{{s}_{i}}\left(T,{{v}_{i}}\right)=\int _{{T}_{0}}^{T}{}dT{\acute {\ }}{\frac {{{c}_{vi}}\left(T{\acute {\ }}\right)}{T{\acute {\ }}}}+R\ln {\frac {{v}_{i}}{{v}_{0}}}\\\end{aligned}}}">
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