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Display information for equation id:math.2511.61 on revision:2511

* Page found: Reale Gase (eq math.2511.61)

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Occurrences on the following pages:

Hash: 53db6a2f1dc8f6c4dd58e90ba7bdfdf5

TeX (original user input): 

\begin{align}

& {{c}_{p}}-{{c}_{v}}=T{{\left( \frac{\partial p}{\partial T} \right)}_{v}}{{\left( \frac{\partial v}{\partial T} \right)}_{p}}=T\frac{R}{v-b}\frac{1}{{{\left( \frac{\partial T}{\partial v} \right)}_{p}}} \\

& RT=\left( p+\frac{a}{{{v}^{2}}} \right)\left( v-b \right) \\

& R{{\left( \frac{\partial T}{\partial v} \right)}_{p}}=\left( p+\frac{a}{{{v}^{2}}} \right)-\frac{2a}{{{v}^{3}}}\left( v-b \right) \\

& \left( p+\frac{a}{{{v}^{2}}} \right)=\frac{RT}{v-b} \\

& \Rightarrow {{c}_{p}}-{{c}_{v}}=T{{\left( \frac{\partial p}{\partial T} \right)}_{v}}{{\left( \frac{\partial v}{\partial T} \right)}_{p}}=T\frac{R}{v-b}\frac{1}{{{\left( \frac{\partial T}{\partial v} \right)}_{p}}}=\frac{R}{1-\frac{2a}{RT{{v}^{3}}}{{\left( v-b \right)}^{2}}} \\

\end{align}

TeX (checked): 

{\begin{aligned}&{{c}_{p}}-{{c}_{v}}=T{{\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)}_{v}}{{\left({\frac {\partial v}{\partial T}}\right)}_{p}}=T{\frac {R}{v-b}}{\frac {1}{{\left({\frac {\partial T}{\partial v}}\right)}_{p}}}\\&RT=\left(p+{\frac {a}{{v}^{2}}}\right)\left(v-b\right)\\&R{{\left({\frac {\partial T}{\partial v}}\right)}_{p}}=\left(p+{\frac {a}{{v}^{2}}}\right)-{\frac {2a}{{v}^{3}}}\left(v-b\right)\\&\left(p+{\frac {a}{{v}^{2}}}\right)={\frac {RT}{v-b}}\\&\Rightarrow {{c}_{p}}-{{c}_{v}}=T{{\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)}_{v}}{{\left({\frac {\partial v}{\partial T}}\right)}_{p}}=T{\frac {R}{v-b}}{\frac {1}{{\left({\frac {\partial T}{\partial v}}\right)}_{p}}}={\frac {R}{1-{\frac {2a}{RT{{v}^{3}}}}{{\left(v-b\right)}^{2}}}}\\\end{aligned}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (58.915 KB / 5.857 KB) :

c p - c v = T ⁢ ( ∂ ⁡ p ∂ ⁡ T ) v ⁢ ( ∂ ⁡ v ∂ ⁡ T ) p = T ⁢ R v - b ⁢ 1 ( ∂ ⁡ T ∂ ⁡ v ) p R ⁢ T = ( p + a v 2 ) ⁢ ( v - b ) R ⁢ ( ∂ ⁡ T ∂ ⁡ v ) p = ( p + a v 2 ) - 2 ⁢ a v 3 ⁢ ( v - b ) ( p + a v 2 ) = R ⁢ T v - b ⇒ c p - c v = T ⁢ ( ∂ ⁡ p ∂ ⁡ T ) v ⁢ ( ∂ ⁡ v ∂ ⁡ T ) p = T ⁢ R v - b ⁢ 1 ( ∂ ⁡ T ∂ ⁡ v ) p = R 1 - 2 ⁢ a R ⁢ T ⁢ v 3 ⁢ ( v - b ) 2 absent subscript 𝑐 𝑝 subscript 𝑐 𝑣 𝑇 subscript 𝑝 𝑇 𝑣 subscript 𝑣 𝑇 𝑝 𝑇 𝑅 𝑣 𝑏 1 subscript 𝑇 𝑣 𝑝 absent 𝑅 𝑇 𝑝 𝑎 superscript 𝑣 2 𝑣 𝑏 absent 𝑅 subscript 𝑇 𝑣 𝑝 𝑝 𝑎 superscript 𝑣 2 2 𝑎 superscript 𝑣 3 𝑣 𝑏 absent 𝑝 𝑎 superscript 𝑣 2 𝑅 𝑇 𝑣 𝑏 absent ⇒ absent subscript 𝑐 𝑝 subscript 𝑐 𝑣 𝑇 subscript 𝑝 𝑇 𝑣 subscript 𝑣 𝑇 𝑝 𝑇 𝑅 𝑣 𝑏 1 subscript 𝑇 𝑣 𝑝 𝑅 1 2 𝑎 𝑅 𝑇 superscript 𝑣 3 superscript 𝑣 𝑏 2 {\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&\displaystyle{{c}_{p}}-{{c}_{% v}}=T{{\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_{v}}{{\left(\frac{\partial v% }{\partial T}\right)}_{p}}=T\frac{R}{v-b}\frac{1}{{{\left(\frac{\partial T}{% \partial v}\right)}_{p}}}\\ \par&\displaystyle RT=\left(p+\frac{a}{{{v}^{2}}}\right)\left(v-b\right)\\ \par&\displaystyle R{{\left(\frac{\partial T}{\partial v}\right)}_{p}}=\left(p% +\frac{a}{{{v}^{2}}}\right)-\frac{2a}{{{v}^{3}}}\left(v-b\right)\\ \par&\displaystyle\left(p+\frac{a}{{{v}^{2}}}\right)=\frac{RT}{v-b}\\ \par&\displaystyle\Rightarrow{{c}_{p}}-{{c}_{v}}=T{{\left(\frac{\partial p}{% \partial T}\right)}_{v}}{{\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)}_{p}}=T% \frac{R}{v-b}\frac{1}{{{\left(\frac{\partial T}{\partial v}\right)}_{p}}}=% \frac{R}{1-\frac{2a}{RT{{v}^{3}}}{{\left(v-b\right)}^{2}}}\\ \par\end{aligned}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&amp;\displaystyle{{c}_{p}}-{{c}_{%&#10;v}}=T{{\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_{v}}{{\left(\frac{\partial v%&#10;}{\partial T}\right)}_{p}}=T\frac{R}{v-b}\frac{1}{{{\left(\frac{\partial T}{%&#10;\partial v}\right)}_{p}}}\\&#10;\par&amp;\displaystyle RT=\left(p+\frac{a}{{{v}^{2}}}\right)\left(v-b\right)\\&#10;\par&amp;\displaystyle R{{\left(\frac{\partial T}{\partial v}\right)}_{p}}=\left(p%&#10;+\frac{a}{{{v}^{2}}}\right)-\frac{2a}{{{v}^{3}}}\left(v-b\right)\\&#10;\par&amp;\displaystyle\left(p+\frac{a}{{{v}^{2}}}\right)=\frac{RT}{v-b}\\&#10;\par&amp;\displaystyle\Rightarrow{{c}_{p}}-{{c}_{v}}=T{{\left(\frac{\partial p}{%&#10;\partial T}\right)}_{v}}{{\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)}_{p}}=T%&#10;\frac{R}{v-b}\frac{1}{{{\left(\frac{\partial T}{\partial v}\right)}_{p}}}=%&#10;\frac{R}{1-\frac{2a}{RT{{v}^{3}}}{{\left(v-b\right)}^{2}}}\\&#10;\par\end{aligned}}}" display="inline">
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          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"/>
        </mtd>
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              <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">c</mi>
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                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">c</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1.cmml">v</mi>
              </msub>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.cmml">T</mi>
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              <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.2.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">(</mo>
                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">
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                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.cmml">
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.1.cmml">∂</mo>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.cmml">⁡</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.2.2.cmml">p</mi>
                      </mrow>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.cmml">
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.1.cmml">∂</mo>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.cmml">⁡</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.3.2.cmml">T</mi>
                      </mrow>
                    </mfrac>
                  </mstyle>
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                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.1.cmml">v</mi>
              </msub>
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                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml">
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                      </mrow>
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                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.3.1.cmml">∂</mo>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.3a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.3.cmml">⁡</mo>
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                      </mrow>
                    </mfrac>
                  </mstyle>
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                </mrow>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.1.cmml">p</mi>
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            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.cmml">T</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.1.cmml">⁢</mo>
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.cmml">R</mi>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3.1.cmml">v</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3.2.cmml">-</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3.3.cmml">b</mi>
                  </mrow>
                </mfrac>
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              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.cmml">
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.cmml">1</mn>
                  <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.3.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.3.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.3.2.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.3.2.cmml">(</mo>
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                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.3.2.2.cmml">
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                          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.3.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.3.2.2.2.cmml">T</mi>
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                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.3.2.3a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.3.2.3.cmml">⁡</mo>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.3.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.3.2.3.2.cmml">v</mi>
                        </mrow>
                      </mfrac>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.3.2.cmml">)</mo>
                    </mrow>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.3.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.3.4.1.cmml">p</mi>
                  </msub>
                </mfrac>
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          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1d" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1e" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml"/>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1f" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">R</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">T</mi>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2.cmml">(</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml">p</mi>
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                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml">
                    <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml">
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                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.3.1.cmml">v</mi>
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.3.2.1.cmml">2</mn>
                      </msup>
                    </mfrac>
                  </mstyle>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2.cmml">)</mo>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1.cmml">⁢</mo>
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                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.2.cmml">(</mo>
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                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml">v</mi>
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                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">b</mi>
                </mrow>
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          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1g" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
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        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1i" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml">
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              <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml">R</mi>
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                  <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.cmml">(</mo>
                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.cmml">
                    <mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.cmml">
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                        <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.2.1.cmml">∂</mo>
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                        <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.2.2.cmml">T</mi>
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                        <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.3.1.cmml">∂</mo>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.3a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.3.cmml">⁡</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.3.2.cmml">v</mi>
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                </mrow>
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                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.cmml">
                    <mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.2.cmml">a</mi>
                      <msup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.3.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.3.1.cmml">v</mi>
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              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.cmml">-</mo>
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                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.cmml">
                  <mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.2.cmml">
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                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.3.1.cmml">v</mi>
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.3.2.1.cmml">3</mn>
                    </msup>
                  </mfrac>
                </mstyle>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.1.cmml">⁢</mo>
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                    <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.cmml">b</mi>
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      </mtr>
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        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1l" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
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              <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.8.2.cmml">(</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.8.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.8.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.cmml">p</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.cmml">+</mo>
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.cmml">
                  <mfrac id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4a" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.2.cmml">a</mi>
                    <msup id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3.1.cmml">v</mi>
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3.2.1.cmml">2</mn>
                    </msup>
                  </mfrac>
                </mstyle>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.8.2.cmml">)</mo>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.cmml">=</mo>
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7a" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.2.1.cmml">R</mi>
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                </mrow>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.3" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.3.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.3.1.cmml">v</mi>
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                  <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.3.3.cmml">b</mi>
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              </mfrac>
            </mstyle>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1m" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
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        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1o" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.5.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.24" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.24.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.1.cmml">⇒</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.25" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.25.cmml">
              <msub id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.25.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.25.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.2.cmml">c</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.1.cmml">p</mi>
              </msub>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.4.cmml">-</mo>
              <msub id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.25.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.25.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.5.cmml">c</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.6.1.cmml">v</mi>
              </msub>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.7.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.26" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.26.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.8.cmml">T</mi>
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                  <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.10.cmml">(</mo>
                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.10.cmml">
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                        <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.10.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.10.2.1.cmml">∂</mo>
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                        <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.10.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.10.2.2.cmml">p</mi>
                      </mrow>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.10.3" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.10.3.cmml">
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.10.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.10.3.1.cmml">∂</mo>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.10.3a" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.10.3.cmml">⁡</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.10.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.10.3.2.cmml">T</mi>
                      </mrow>
                    </mfrac>
                  </mstyle>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.10.cmml">)</mo>
                </mrow>
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                  <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.14.cmml">(</mo>
                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.14.cmml">
                    <mfrac id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.14a" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.14.cmml">
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                      </mrow>
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                        <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.14.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.14.3.1.cmml">∂</mo>
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                        <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.14.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.14.3.2.cmml">T</mi>
                      </mrow>
                    </mfrac>
                  </mstyle>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.14.cmml">)</mo>
                </mrow>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.16.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.16.1.cmml">p</mi>
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            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.17.cmml">=</mo>
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              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.19.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.19a" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.19.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.19.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.19.2.cmml">R</mi>
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                    <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.19.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.19.3.1.cmml">v</mi>
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                  </mrow>
                </mfrac>
              </mstyle>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.27.1a" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.27.1.cmml">⁢</mo>
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                <mfrac id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.20a" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.20.cmml">
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.20.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.20.2.cmml">1</mn>
                  <msub id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.20.3" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.20.3.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.20.3.6" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.20.3.2.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.20.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.20.3.2.cmml">(</mo>
                      <mfrac id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.20.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.20.3.2.cmml">
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.20.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.20.3.2.2.cmml">
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.20.3.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.20.3.2.2.1.cmml">∂</mo>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.20.3.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.20.3.2.2.cmml">⁡</mo>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.20.3.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.20.3.2.2.2.cmml">T</mi>
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                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.20.3.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.20.3.2.3.cmml">
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.20.3.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.20.3.2.3.1.cmml">∂</mo>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.20.3.2.3a" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.20.3.2.3.cmml">⁡</mo>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.20.3.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.20.3.2.3.2.cmml">v</mi>
                        </mrow>
                      </mfrac>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.20.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.20.3.2.cmml">)</mo>
                    </mrow>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.20.3.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.20.3.4.1.cmml">p</mi>
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            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.22.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.22a" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.22.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.22.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.22.2.cmml">R</mi>
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                  <mn id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.22.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.22.3.1.cmml">1</mn>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.22.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.22.3.2.cmml">-</mo>
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                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.22.3.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.22.3.3.2.cmml">
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.22.3.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.22.3.3.2.1.cmml">2</mn>
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                        <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.22.3.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.22.3.3.2.2.cmml">a</mi>
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                    </mfrac>
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                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.3">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.3.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.3">subscript</csymbol>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.3.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.3.4.1">𝑝</ci>
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        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1">absent</csymbol>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
            <eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3"/>
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              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1">𝑅</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2">𝑇</ci>
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                <plus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5">𝑝</ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7">
                  <divide id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2">𝑎</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.3">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.3">superscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.3.1">𝑣</ci>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.3.2.1">2</cn>
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                <minus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11"/>
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          </apply>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.1.1">absent</csymbol>
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              <times id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.1"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1">𝑅</ci>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.2">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.2">subscript</csymbol>
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                <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.1">𝑝</ci>
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                <plus id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8">𝑝</ci>
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                  <divide id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.2">𝑎</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.3">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.3">superscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.3.1">𝑣</ci>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.3.2.1">2</cn>
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                    <times id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.2.3"/>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.2.1">2</cn>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.2.2">𝑎</ci>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.3">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.3">superscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.3.1">𝑣</ci>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.3.2.1">3</cn>
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                </apply>
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        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.4.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.1.1">absent</csymbol>
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            <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.8.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.8">
              <plus id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2">𝑝</ci>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4">
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                <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3">superscript</csymbol>
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                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.3.2.1">2</cn>
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                <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.2.1">𝑅</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.2.2">𝑇</ci>
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                <minus id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.3.2"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.3.1">𝑣</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.3.3">𝑏</ci>
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            </apply>
          </apply>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1e.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.5.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.1.1">absent</csymbol>
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            <and id="p1.1.m1.1.1.5.2.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.5.2.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1">
              <ci id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.1">⇒</ci>
              <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.24.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.24">absent</csymbol>
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                <minus id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.4"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.25.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.25.1">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.25.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.25.1">subscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.2">𝑐</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.1">𝑝</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.25.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.25.2">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.25.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.25.2">subscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.5">𝑐</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.6.1">𝑣</ci>
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                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.26.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.26.2">subscript</csymbol>
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                    <divide id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.26.2.2"/>
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                    </apply>
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                  </apply>
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                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.26.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.26.3">subscript</csymbol>
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                      <ci id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.14.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.14.2.2">𝑣</ci>
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                        <ci id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.20.3.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.20.3.2.3.2">𝑣</ci>
                      </apply>
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+\frac{a}{{{v}^{2}}}\right)-\frac{2a}{{{v}^{3}}}\left(v-b\right)\\
\par&amp;\displaystyle\left(p+\frac{a}{{{v}^{2}}}\right)=\frac{RT}{v-b}\\
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\partial T}\right)}_{v}}{{\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)}_{p}}=T%
\frac{R}{v-b}\frac{1}{{{\left(\frac{\partial T}{\partial v}\right)}_{p}}}=%
\frac{R}{1-\frac{2a}{RT{{v}^{3}}}{{\left(v-b\right)}^{2}}}\\
\par\end{aligned}}}</annotation>
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cp−cv=T(∂p∂T)v(∂v∂T)p=TRv−b1(∂T∂v)pRT=(p+av2)(v−b)R(∂T∂v)p=(p+av2)−2av3(v−b)(p+av2)=RTv−b⇒cp−cv=T(∂p∂T)v(∂v∂T)p=TRv−b1(∂T∂v)p=R1−2aRTv3(v−b)2
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