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* Page found: Reale Gase (eq math.2509.13)

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Reale Gase Eq: math.2511.13

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TeX (original user input):

\begin{align}

& \int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{f}_{ij}}(r){{d}^{3}}r=\int_{0}^{\infty }{{}}\left( {{e}^{-\beta \phi (r)}}-1 \right)4\pi {{r}^{2}}dr \\

& =\left. \left( {{e}^{-\beta \phi (r)}}-1 \right)\frac{4\pi }{3}{{r}^{3}} \right|_{0}^{\infty }+\frac{4\pi \beta }{3}\int_{0}^{\infty }{{}}\left( \frac{\partial \phi }{\partial r}r \right){{e}^{-\beta \phi (r)}}{{r}^{2}}dr \\

\end{align}

TeX (checked):

{\begin{aligned}&\int _{{R}^{3}}^{}{}{{f}_{ij}}(r){{d}^{3}}r=\int _{0}^{\infty }{}\left({{e}^{-\beta \phi (r)}}-1\right)4\pi {{r}^{2}}dr\\&=\left.\left({{e}^{-\beta \phi (r)}}-1\right){\frac {4\pi }{3}}{{r}^{3}}\right|_{0}^{\infty }+{\frac {4\pi \beta }{3}}\int _{0}^{\infty }{}\left({\frac {\partial \phi }{\partial r}}r\right){{e}^{-\beta \phi (r)}}{{r}^{2}}dr\\\end{aligned}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (34.65 KB / 3.919 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&\displaystyle\int_{{{R}^{3}}}% {{}}{{f}_{ij}}(r){{d}^{3}}r=\int_{0}^{\infty}{{}}\left({{e}^{-\beta\phi(r)}}-1% \right)4\pi{{r}^{2}}dr\\ \par&\displaystyle=\left.\left({{e}^{-\beta\phi(r)}}-1\right)\frac{4\pi}{3}{{r% }^{3}}\right|_{0}^{\infty}+\frac{4\pi\beta}{3}\int_{0}^{\infty}{{}}\left(\frac% {\partial\phi}{\partial r}r\right){{e}^{-\beta\phi(r)}}{{r}^{2}}dr\\ \par\end{aligned}}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&amp;\displaystyle\int_{{{R}^{3}}}%&#10;{{}}{{f}_{ij}}(r){{d}^{3}}r=\int_{0}^{\infty}{{}}\left({{e}^{-\beta\phi(r)}}-1%&#10;\right)4\pi{{r}^{2}}dr\\&#10;\par&amp;\displaystyle=\left.\left({{e}^{-\beta\phi(r)}}-1\right)\frac{4\pi}{3}{{r%&#10;}^{3}}\right|_{0}^{\infty}+\frac{4\pi\beta}{3}\int_{0}^{\infty}{{}}\left(\frac%&#10;{\partial\phi}{\partial r}r\right){{e}^{-\beta\phi(r)}}{{r}^{2}}dr\\&#10;\par\end{aligned}}}" display="inline">
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            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.1.cmml">
                <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.1.cmml">
                  <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">∫</mo>
                  <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.1.cmml">R</mi>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.2.1.cmml">3</mn>
                  </msup>
                </msub>
              </mstyle>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.cmml">
                <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml">f</mi>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.1.cmml">i</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.3.cmml">⁢</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.2.cmml">j</mi>
                  </mrow>
                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.cmml">
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.cmml">(</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">r</mi>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.cmml">)</mo>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.1.cmml">⁢</mo>
                <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.4.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml">d</mi>
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.1.cmml">3</mn>
                </msup>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.1b" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml">r</mi>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.cmml">
                <msubsup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.cmml">
                  <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml">∫</mo>
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.cmml">0</mn>
                  <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.cmml">∞</mi>
                </msubsup>
              </mstyle>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.2.2.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.2.2.cmml">(</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.2.2.cmml">
                    <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.2.2.1.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml">e</mi>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.1.cmml">
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.1.1.cmml">-</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.1.7.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.1.2.cmml">β</mi>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.1.7.1.cmml">⁢</mo>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.1.3.cmml">ϕ</mi>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.1.7.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.1.7.1.cmml">⁢</mo>
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.1.7.cmml">
                            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.1.7.cmml">(</mo>
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.1.5.cmml">r</mi>
                            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.1.7.cmml">)</mo>
                          </mrow>
                        </mrow>
                      </mrow>
                    </msup>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml">-</mo>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.cmml">1</mn>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.2.2.cmml">)</mo>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.cmml">4</mn>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.cmml">π</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.1b" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.1.cmml">⁢</mo>
                <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.3.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.cmml">r</mi>
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.1.cmml">2</mn>
                </msup>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.1c" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.2.4.cmml">
                  <mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.cmml">𝑑</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.cmml">r</mi>
                </mrow>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1d" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1e" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml"/>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1f" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.cmml">
              <msubsup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.1.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.1.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.2.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.2.2.2.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.2.2.2.cmml">(</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.2.2.2.cmml">
                        <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.2.2.2.1.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml">e</mi>
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.cmml">
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.1.cmml">-</mo>
                            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.7.cmml">
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.2.cmml">β</mi>
                              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.7.1.cmml">⁢</mo>
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.3.cmml">ϕ</mi>
                              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.7.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.7.1.cmml">⁢</mo>
                              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.7.cmml">
                                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.7.cmml">(</mo>
                                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.5.cmml">r</mi>
                                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.7.cmml">)</mo>
                              </mrow>
                            </mrow>
                          </mrow>
                        </msup>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">-</mo>
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml">1</mn>
                      </mrow>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.2.2.2.cmml">)</mo>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                    <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml">
                      <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml">
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.cmml">
                          <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.1.cmml">4</mn>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.3.cmml">⁢</mo>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.2.cmml">π</mi>
                        </mrow>
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.3.cmml">3</mn>
                      </mfrac>
                    </mstyle>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                    <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.2.3.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml">r</mi>
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.cmml">3</mn>
                    </msup>
                  </mrow>
                  <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.1.1.cmml">|</mo>
                </mrow>
                <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1.cmml">0</mn>
                <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1.cmml">∞</mi>
              </msubsup>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.cmml">+</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.2.cmml">
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.cmml">
                  <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.cmml">
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.1.cmml">4</mn>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.4.cmml">⁢</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.2.cmml">π</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.4a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.4.cmml">⁢</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.3.cmml">β</mi>
                    </mrow>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.cmml">3</mn>
                  </mfrac>
                </mstyle>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.2.2.cmml">
                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.2.2.1.cmml">
                    <msubsup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.2.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.2.2.1.cmml">
                      <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.cmml">∫</mo>
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.1.cmml">0</mn>
                      <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.1.cmml">∞</mi>
                    </msubsup>
                  </mstyle>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.2.2.2.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.2.2.2.2.2.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.2.2.2.2.2.cmml">(</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.2.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.2.2.2.2.2.cmml">
                        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.cmml">
                          <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.cmml">
                            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.cmml">
                              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.1.cmml">∂</mo>
                              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.cmml">⁡</mo>
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.2.cmml">ϕ</mi>
                            </mrow>
                            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.3.cmml">
                              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.3.1.cmml">∂</mo>
                              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.3a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.3.cmml">⁡</mo>
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.3.2.cmml">r</mi>
                            </mrow>
                          </mfrac>
                        </mstyle>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.2.2.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.2.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.cmml">r</mi>
                      </mrow>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.2.2.2.2.2.cmml">)</mo>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.2.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                    <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.2.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.2.2.2.3.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24.cmml">e</mi>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.1.cmml">
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.1.1.cmml">-</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.1.7.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.1.2.cmml">β</mi>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.1.7.1.cmml">⁢</mo>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.1.3.cmml">ϕ</mi>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.1.7.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.1.7.1.cmml">⁢</mo>
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.1.7.cmml">
                            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.1.7.cmml">(</mo>
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.1.5.cmml">r</mi>
                            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.1.7.cmml">)</mo>
                          </mrow>
                        </mrow>
                      </mrow>
                    </msup>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.2.2.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.2.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                    <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.2.2.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.2.2.2.4.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.cmml">r</mi>
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.cmml">2</mn>
                    </msup>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.2.2.2.1b" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.2.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.2.2.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.2.2.2.5.cmml">
                      <mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.cmml">𝑑</mo>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.1">𝑅</ci>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.2.1">3</cn>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3">𝑓</ci>
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                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.1">3</cn>
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                        </apply>
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}^{3}}\right|_{0}^{\infty}+\frac{4\pi\beta}{3}\int_{0}^{\infty}{{}}\left(\frac%
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\begin{aligned} \int_{R^{3}}^{} f_{i j} (r) d^{3} r = \int_{0}^{\infty} (e^{- β ϕ (r)} - 1) 4 π r^{2} d r \\ = {(e^{- β ϕ (r)} - 1) \frac{4 π}{3} r^{3} |}_{0}^{\infty} + \frac{4 π β}{3} \int_{0}^{\infty} (\frac{\partial ϕ}{\partial r} r) e^{- β ϕ (r)} r^{2} d r \end{aligned}

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