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Display information for equation id:math.2508.62 on revision:2508

* Page found: Reale Gase (eq math.2508.62)

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Hash: 3f151b943e14bc9950eef51814c04b1f

TeX (original user input): 

\begin{align}

& ds={{\left( \frac{\partial s}{\partial T} \right)}_{v}}dT+{{\left( \frac{\partial s}{\partial v} \right)}_{T}}dv \\

& {{\left( \frac{\partial s}{\partial T} \right)}_{v}}=\frac{{{c}_{v}}}{T} \\

& {{\left( \frac{\partial s}{\partial v} \right)}_{T}}={{\left( \frac{\partial p}{\partial T} \right)}_{v}}=\frac{R}{v-b} \\

& ds={{\left( \frac{\partial s}{\partial T} \right)}_{v}}dT+{{\left( \frac{\partial s}{\partial v} \right)}_{T}}dv=\frac{{{c}_{v}}}{T}dT+\frac{R}{v-b}dv \\

& \Rightarrow s\left( T,v \right)=\int_{{{T}_{0}}}^{T}{{}}dT\acute{\ }\frac{{{c}_{v}}(T\acute{\ })}{T\acute{\ }}+R\ln \left( v-b \right)+const. \\

\end{align}

TeX (checked): 

{\begin{aligned}&ds={{\left({\frac {\partial s}{\partial T}}\right)}_{v}}dT+{{\left({\frac {\partial s}{\partial v}}\right)}_{T}}dv\\&{{\left({\frac {\partial s}{\partial T}}\right)}_{v}}={\frac {{c}_{v}}{T}}\\&{{\left({\frac {\partial s}{\partial v}}\right)}_{T}}={{\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)}_{v}}={\frac {R}{v-b}}\\&ds={{\left({\frac {\partial s}{\partial T}}\right)}_{v}}dT+{{\left({\frac {\partial s}{\partial v}}\right)}_{T}}dv={\frac {{c}_{v}}{T}}dT+{\frac {R}{v-b}}dv\\&\Rightarrow s\left(T,v\right)=\int _{{T}_{0}}^{T}{}dT{\acute {\ }}{\frac {{{c}_{v}}(T{\acute {\ }})}{T{\acute {\ }}}}+R\ln \left(v-b\right)+const.\\\end{aligned}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (54.541 KB / 5.645 KB) :

d ⁢ s = ( ∂ ⁡ s ∂ ⁡ T ) v ⁢ d ⁢ T + ( ∂ ⁡ s ∂ ⁡ v ) T ⁢ d ⁢ v ( ∂ ⁡ s ∂ ⁡ T ) v = c v T ( ∂ ⁡ s ∂ ⁡ v ) T = ( ∂ ⁡ p ∂ ⁡ T ) v = R v - b d ⁢ s = ( ∂ ⁡ s ∂ ⁡ T ) v ⁢ d ⁢ T + ( ∂ ⁡ s ∂ ⁡ v ) T ⁢ d ⁢ v = c v T ⁢ d ⁢ T + R v - b ⁢ d ⁢ v ⇒ s ⁢ ( T , v ) = ∫ T 0 T 𝑑 T ⁢ ´ ⁢ c v ⁢ ( T ⁢ ´ ) T ⁢ ´ + R ⁢ ln ⁡ ( v - b ) + c ⁢ o ⁢ n ⁢ s ⁢ t . absent 𝑑 𝑠 subscript 𝑠 𝑇 𝑣 𝑑 𝑇 subscript 𝑠 𝑣 𝑇 𝑑 𝑣 absent subscript 𝑠 𝑇 𝑣 subscript 𝑐 𝑣 𝑇 absent subscript 𝑠 𝑣 𝑇 subscript 𝑝 𝑇 𝑣 𝑅 𝑣 𝑏 absent 𝑑 𝑠 subscript 𝑠 𝑇 𝑣 𝑑 𝑇 subscript 𝑠 𝑣 𝑇 𝑑 𝑣 subscript 𝑐 𝑣 𝑇 𝑑 𝑇 𝑅 𝑣 𝑏 𝑑 𝑣 absent ⇒ absent 𝑠 𝑇 𝑣 superscript subscript subscript 𝑇 0 𝑇 differential-d 𝑇 ´ absent subscript 𝑐 𝑣 𝑇 ´ absent 𝑇 ´ absent 𝑅 𝑣 𝑏 𝑐 𝑜 𝑛 𝑠 𝑡 {\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&\displaystyle ds={{\left(% \frac{\partial s}{\partial T}\right)}_{v}}dT+{{\left(\frac{\partial s}{% \partial v}\right)}_{T}}dv\\ \par&\displaystyle{{\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)}_{v}}=\frac{{{c% }_{v}}}{T}\\ \par&\displaystyle{{\left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)}_{T}}={{\left(% \frac{\partial p}{\partial T}\right)}_{v}}=\frac{R}{v-b}\\ \par&\displaystyle ds={{\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)}_{v}}dT+{{% \left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)}_{T}}dv=\frac{{{c}_{v}}}{T}dT+\frac% {R}{v-b}dv\\ \par&\displaystyle\Rightarrow s\left(T,v\right)=\int_{{{T}_{0}}}^{T}{{}}dT% \acute{\ }\frac{{{c}_{v}}(T\acute{\ })}{T\acute{\ }}+R\ln\left(v-b\right)+% const.\\ \par\end{aligned}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&amp;\displaystyle ds={{\left(%&#10;\frac{\partial s}{\partial T}\right)}_{v}}dT+{{\left(\frac{\partial s}{%&#10;\partial v}\right)}_{T}}dv\\&#10;\par&amp;\displaystyle{{\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)}_{v}}=\frac{{{c%&#10;}_{v}}}{T}\\&#10;\par&amp;\displaystyle{{\left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)}_{T}}={{\left(%&#10;\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_{v}}=\frac{R}{v-b}\\&#10;\par&amp;\displaystyle ds={{\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)}_{v}}dT+{{%&#10;\left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)}_{T}}dv=\frac{{{c}_{v}}}{T}dT+\frac%&#10;{R}{v-b}dv\\&#10;\par&amp;\displaystyle\Rightarrow s\left(T,v\right)=\int_{{{T}_{0}}}^{T}{{}}dT%&#10;\acute{\ }\frac{{{c}_{v}}(T\acute{\ })}{T\acute{\ }}+R\ln\left(v-b\right)+%&#10;const.\\&#10;\par\end{aligned}}}" display="inline">
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          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"/>
        </mtd>
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            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">d</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.1.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">s</mi>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1.cmml">
                <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1.2.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml">(</mo>
                    <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml">
                      <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml">
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.2.cmml">
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.2.1.cmml">∂</mo>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.2.cmml">⁡</mo>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.2.2.cmml">s</mi>
                        </mrow>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.3.cmml">
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.3.1.cmml">∂</mo>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.3a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.3.cmml">⁡</mo>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.3.2.cmml">T</mi>
                        </mrow>
                      </mfrac>
                    </mstyle>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.cmml">v</mi>
                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1.1.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml">d</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1.1.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">T</mi>
              </mrow>
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              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.cmml">
                <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.2.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml">(</mo>
                    <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml">
                      <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml">
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                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.2.1.cmml">∂</mo>
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                        </mrow>
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                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.1.cmml">∂</mo>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.cmml">⁡</mo>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.2.cmml">v</mi>
                        </mrow>
                      </mfrac>
                    </mstyle>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml">)</mo>
                  </mrow>
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                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.cmml">d</mi>
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              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
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                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">(</mo>
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                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.1.cmml">∂</mo>
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                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.2.cmml">s</mi>
                    </mrow>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.cmml">
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                  </mfrac>
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              </mrow>
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            </msub>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml">=</mo>
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">
                <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.2.cmml">
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              <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.cmml">
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.18.cmml">
                  <mfrac id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.18a" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.18.cmml">
                    <msub id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.18.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.18.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.18.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.18.2.1.cmml">c</mi>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.18.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.18.2.2.1.cmml">v</mi>
                    </msub>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.18.3" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.18.3.cmml">T</mi>
                  </mfrac>
                </mstyle>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.1.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.19.cmml">d</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.1.1.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20.cmml">T</mi>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.21.cmml">+</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.cmml">
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.22.cmml">
                  <mfrac id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.22a" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.22.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.22.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.22.2.cmml">R</mi>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.22.3" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.22.3.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.22.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.22.3.1.cmml">v</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.22.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.22.3.2.cmml">-</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.22.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.22.3.3.cmml">b</mi>
                    </mrow>
                  </mfrac>
                </mstyle>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.23.cmml">d</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.28.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.24" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.24.cmml">v</mi>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1m" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1n" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.5.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.1.1.cmml"/>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1o" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.5.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.32.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.32" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.32.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.32.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.32.2.cmml"/>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.1.cmml">⇒</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.32.3" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.32.3.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.2.cmml">s</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.32.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.32.3.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.32.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.32.3.2.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.32.3.2.1.cmml">(</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.4.cmml">T</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.32.3.2.1.cmml">,</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.6.cmml">v</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.32.3.2.1.cmml">)</mo>
                </mrow>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.8.cmml">=</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.32.4" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.32.4.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.32.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.32.4.1.cmml">
                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.32.4.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.32.4.1.1.cmml">
                    <msubsup id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.32.4.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.32.4.1.1.cmml">
                      <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.9.cmml">∫</mo>
                      <msub id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.10.1.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.10.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.10.1.1.cmml">T</mi>
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.10.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.10.1.2.1.cmml">0</mn>
                      </msub>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.11.1.cmml">T</mi>
                    </msubsup>
                  </mstyle>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.32.4.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.32.4.1.2.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.32.4.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.32.4.1.2.2.cmml">
                      <mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.12.cmml">𝑑</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.13.cmml">T</mi>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.32.4.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.32.4.1.2.1.cmml">⁢</mo>
                    <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.14.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.14.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.14.2.cmml"/>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.14.1.cmml">´</mo>
                    </mover>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.32.4.1.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.32.4.1.2.1.cmml">⁢</mo>
                    <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.15.cmml">
                      <mfrac id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.15a" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.15.cmml">
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.15.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.15.2.cmml">
                          <msub id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.15.2.8" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.15.2.8.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.15.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.15.2.1.cmml">c</mi>
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.15.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.15.2.2.1.cmml">v</mi>
                          </msub>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.15.2.7" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.15.2.7.cmml">⁢</mo>
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.15.2.9" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.15.2.9.2.cmml">
                            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.15.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.15.2.9.2.cmml">(</mo>
                            <mrow id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.15.2.9.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.15.2.9.2.cmml">
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.15.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.15.2.4.cmml">T</mi>
                              <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.15.2.9.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.15.2.9.2.1.cmml">⁢</mo>
                              <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.15.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.15.2.5.cmml">
                                <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.15.2.5.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.15.2.5.2.cmml"/>
                                <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.15.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.15.2.5.1.cmml">´</mo>
                              </mover>
                            </mrow>
                            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.15.2.6" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.15.2.9.2.cmml">)</mo>
                          </mrow>
                        </mrow>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.15.3" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.15.3.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.15.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.15.3.1.cmml">T</mi>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.15.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.15.3.3.cmml">⁢</mo>
                          <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.15.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.15.3.2.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.15.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.15.3.2.2.cmml"/>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.15.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.15.3.2.1.cmml">´</mo>
                          </mover>
                        </mrow>
                      </mfrac>
                    </mstyle>
                  </mrow>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.16.cmml">+</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.32.4.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.32.4.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.17.cmml">R</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.32.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.32.4.2.1.cmml">⁢</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.32.4.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.32.4.2.2.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.18.cmml">ln</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.32.4.2.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.32.4.2.2.1.cmml">⁡</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.32.4.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.32.4.2.2.1.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.32.4.2.2.1.cmml">(</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.32.4.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.32.4.2.2.2.1.cmml">
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                      </mrow>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.32.4.2.2.1.cmml">)</mo>
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                  <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.26" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.26.cmml">o</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.32.4.3.1a" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.32.4.3.1.cmml">⁢</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.27" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.27.cmml">n</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.32.4.3.1b" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.32.4.3.1.cmml">⁢</mo>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.3">𝑏</ci>
                </apply>
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                      </apply>
                    </apply>
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                      </apply>
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                    </apply>
                  </apply>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.23.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.23">𝑑</ci>
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    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&amp;\displaystyle ds={{\left(%
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\partial v}\right)}_{T}}dv\\
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}_{v}}}{T}\\
\par&amp;\displaystyle{{\left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)}_{T}}={{\left(%
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\par&amp;\displaystyle ds={{\left(\frac{\partial s}{\partial T}\right)}_{v}}dT+{{%
\left(\frac{\partial s}{\partial v}\right)}_{T}}dv=\frac{{{c}_{v}}}{T}dT+\frac%
{R}{v-b}dv\\
\par&amp;\displaystyle\Rightarrow s\left(T,v\right)=\int_{{{T}_{0}}}^{T}{{}}dT%
\acute{\ }\frac{{{c}_{v}}(T\acute{\ })}{T\acute{\ }}+R\ln\left(v-b\right)+%
const.\\
\par\end{aligned}}}</annotation>
  </semantics>
</math>

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ds=(∂s∂T)vdT+(∂s∂v)Tdv(∂s∂T)v=cvT(∂s∂v)T=(∂p∂T)v=Rv−bds=(∂s∂T)vdT+(∂s∂v)Tdv=cvTdT+Rv−bdv⇒s(T,v)=∫T0TdT´cv(T´)T´+Rln⁡(v−b)+const.
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