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Display information for equation id:math.2508.10 on revision:2508

* Page found: Reale Gase (eq math.2508.10)

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Reale Gase Eq: math.2511.10

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TeX (original user input):

\begin{align}

& \frac{1}{N!}\Phi {{\left( \beta  \right)}^{N}}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}{{q}_{1}}...\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}{{q}_{N}}\prod\limits_{i<j}^{{}}{{}}\left( 1+{{f}_{ij}} \right) \\

& \approx \frac{1}{N!}\Phi {{\left( \beta  \right)}^{N}}\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}{{q}_{1}}...\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}{{q}_{N}}\left( 1+\sum\limits_{i<j}^{{}}{{}}{{f}_{ij}}+\sum\limits_{\begin{smallmatrix}

i<j \\

k<l

\end{smallmatrix}}^{{}}{{}}{{f}_{ij}}{{f}_{kl}}+.... \right) \\

\end{align}

TeX (checked):

{\begin{aligned}&{\frac {1}{N!}}\Phi {{\left(\beta \right)}^{N}}\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}{{q}_{1}}...\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}{{q}_{N}}\prod \limits _{i<j}^{}{}\left(1+{{f}_{ij}}\right)\\&\approx {\frac {1}{N!}}\Phi {{\left(\beta \right)}^{N}}\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}{{q}_{1}}...\int _{V}^{}{}{{d}^{3}}{{q}_{N}}\left(1+\sum \limits _{i<j}^{}{}{{f}_{ij}}+\sum \limits _{\begin{smallmatrix}i<j\\k<l\end{smallmatrix}}^{}{}{{f}_{ij}}{{f}_{kl}}+....\right)\\\end{aligned}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (34.443 KB / 4.072 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&\displaystyle\frac{1}{N!}\Phi% {{\left(\beta\right)}^{N}}\int_{V}{{}}{{d}^{3}}{{q}_{1}}...\int_{V}{{}}{{d}^{3% }}{{q}_{N}}\prod\limits_{i<j}{{}}\left(1+{{f}_{ij}}\right)\\ \par&\displaystyle\approx\frac{1}{N!}\Phi{{\left(\beta\right)}^{N}}\int_{V}{{}% }{{d}^{3}}{{q}_{1}}...\int_{V}{{}}{{d}^{3}}{{q}_{N}}\left(1+\sum\limits_{i<j}{% {}}{{f}_{ij}}+\sum\limits_{\begin{smallmatrix}\par i<j\\ \par k<l\par\end{smallmatrix}}{{}}{{f}_{ij}}{{f}_{kl}}+....\right)\\ \par\end{aligned}}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&amp;\displaystyle\frac{1}{N!}\Phi%&#10;{{\left(\beta\right)}^{N}}\int_{V}{{}}{{d}^{3}}{{q}_{1}}...\int_{V}{{}}{{d}^{3%&#10;}}{{q}_{N}}\prod\limits_{i&lt;j}{{}}\left(1+{{f}_{ij}}\right)\\&#10;\par&amp;\displaystyle\approx\frac{1}{N!}\Phi{{\left(\beta\right)}^{N}}\int_{V}{{}%&#10;}{{d}^{3}}{{q}_{1}}...\int_{V}{{}}{{d}^{3}}{{q}_{N}}\left(1+\sum\limits_{i&lt;j}{%&#10;{}}{{f}_{ij}}+\sum\limits_{\begin{smallmatrix}\par i&lt;j\\&#10;\par k&lt;l\par\end{smallmatrix}}{{}}{{f}_{ij}}{{f}_{kl}}+....\right)\\&#10;\par\end{aligned}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
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        </mtd>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">
                <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">1</mn>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.3.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.3.1.cmml">N</mi>
                  <mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml">!</mo>
                </mrow>
              </mfrac>
            </mstyle>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.cmml">⁢</mo>
            <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">Φ</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.cmml">⁢</mo>
            <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.cmml">(</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">β</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.cmml">)</mo>
              </mrow>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.cmml">N</mi>
            </msup>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30b" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.cmml">⁢</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.1.cmml">
                <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.1.cmml">
                  <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.cmml">∫</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1.cmml">V</mi>
                </msub>
              </mstyle>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.cmml">
                <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">d</mi>
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.cmml">3</mn>
                </msup>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.1.cmml">⁢</mo>
                <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.3.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.cmml">q</mi>
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.1.cmml">1</mn>
                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.cmml">…</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.1b" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.cmml">
                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.1.cmml">
                    <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.1.cmml">
                      <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml">∫</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.1.cmml">V</mi>
                    </msub>
                  </mstyle>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.2.cmml">
                    <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.2.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml">d</mi>
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1.cmml">3</mn>
                    </msup>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.2.1.cmml">⁢</mo>
                    <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.2.3.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.cmml">q</mi>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.1.cmml">N</mi>
                    </msub>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.2.1.cmml">⁢</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.2.4.cmml">
                      <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.2.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.2.4.1.cmml">
                        <munder id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.2.4.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.2.4.1.cmml">
                          <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.cmml">∏</mo>
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.1.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.1.1.cmml">i</mi>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.1.2.cmml">&lt;</mo>
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.1.3.cmml">j</mi>
                          </mrow>
                        </munder>
                      </mstyle>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.2.4.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.2.4.2.2.cmml">
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.2.4.2.2.cmml">(</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.2.4.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.2.4.2.2.cmml">
                          <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.cmml">1</mn>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.cmml">+</mo>
                          <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.2.4.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.2.4.2.2.1.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.cmml">f</mi>
                            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.cmml">
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.1.cmml">i</mi>
                              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.3.cmml">⁢</mo>
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.2.cmml">j</mi>
                            </mrow>
                          </msub>
                        </mrow>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.2.4.2.2.cmml">)</mo>
                      </mrow>
                    </mrow>
                  </mrow>
                </mrow>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1d" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1e" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml"/>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1f" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">≈</mo>
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">
                <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.cmml">1</mn>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.1.cmml">N</mi>
                  <mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.2.cmml">!</mo>
                </mrow>
              </mfrac>
            </mstyle>
            <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml">Φ</mi>
            <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.43" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.43.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.43.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.43.2.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml">(</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml">β</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">)</mo>
              </mrow>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.cmml">N</mi>
            </msup>
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.44" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.44.cmml">
              <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.44a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.44.cmml">
                <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml">∫</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.1.cmml">V</mi>
              </msub>
            </mstyle>
            <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.45" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.45.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml">d</mi>
              <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.cmml">3</mn>
            </msup>
            <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.46" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.46.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">q</mi>
              <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1.cmml">1</mn>
            </msub>
            <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.cmml">…</mi>
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.cmml">
              <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.cmml">
                <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.cmml">∫</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.1.cmml">V</mi>
              </msub>
            </mstyle>
            <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.48" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.48.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.cmml">d</mi>
              <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20.1.cmml">3</mn>
            </msup>
            <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.49" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.49.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.cmml">q</mi>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.1.cmml">N</mi>
            </msub>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.cmml">(</mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24.cmml">1</mn>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.cmml">+</mo>
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.50" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.50.cmml">
                <munder id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.50a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.50.cmml">
                  <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.cmml">∑</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.1.cmml">i</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.2.cmml">&lt;</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.3.cmml">j</mi>
                  </mrow>
                </munder>
              </mstyle>
              <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.51" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.51.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.cmml">f</mi>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.1.1.cmml">i</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.1.3.cmml">⁢</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.1.2.cmml">j</mi>
                </mrow>
              </msub>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30.cmml">+</mo>
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.52" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.52.cmml">
                <munder id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.52a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.52.cmml">
                  <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.cmml">∑</mo>
                  <mtable rowspacing="0pt" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.1.cmml">
                    <mtr id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.1.cmml">
                      <mtd columnalign="center" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.1b" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.1.cmml">
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.1.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.1.1.1.1.1.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.1.1.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.1.1.1.1.1.1.cmml">i</mi>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.1.1.1.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.1.1.1.1.1.2.cmml">&lt;</mo>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.1.1.1.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.1.1.1.1.1.3.cmml">j</mi>
                        </mrow>
                      </mtd>
                    </mtr>
                    <mtr id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.1c" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.1.cmml">
                      <mtd columnalign="center" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.1d" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.1.cmml">
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.1.1.2.1.1.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.1.1.2.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.1.1.2.1.1.1.cmml">k</mi>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.1.1.2.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.1.1.2.1.1.2.cmml">&lt;</mo>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.1.1.2.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.1.1.2.1.1.3.cmml">l</mi>
                        </mrow>
                      </mtd>
                    </mtr>
                  </mtable>
                </munder>
              </mstyle>
              <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.53" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.53.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.33" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.33.cmml">f</mi>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34.1.1.cmml">i</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34.1.3.cmml">⁢</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34.1.2.cmml">j</mi>
                </mrow>
              </msub>
              <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.54" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.54.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.35" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.35.cmml">f</mi>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.1.1.cmml">k</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.1.3.cmml">⁢</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.1.2.cmml">l</mi>
                </mrow>
              </msub>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.cmml">+</mo>
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.cmml">…</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.cmml">.</mo>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.cmml">)</mo>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
    </mtable>
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            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32">
              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.1">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.1">subscript</csymbol>
                <int id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1">𝑉</ci>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2">
                <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.1"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.2">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.2">superscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9">𝑑</ci>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1">3</cn>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.3">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.3">subscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11">𝑞</ci>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.1">1</cn>
                </apply>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15">…</ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4">
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.1">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.1">subscript</csymbol>
                    <int id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.1">𝑉</ci>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.2">
                    <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.2.1"/>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.2.2">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.2.2">superscript</csymbol>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18">𝑑</ci>
                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1">3</cn>
                    </apply>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.2.3">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.2.3">subscript</csymbol>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20">𝑞</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.1">𝑁</ci>
                    </apply>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.2.4">
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.2.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.2.4.1">
                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.2.4.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.2.4.1">subscript</csymbol>
                        <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22">product</csymbol>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.1">
                          <lt id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.1.2"/>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.1.1">𝑖</ci>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.1.3">𝑗</ci>
                        </apply>
                      </apply>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.2.4.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.2.4.2">
                        <plus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26"/>
                        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25">1</cn>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.2.4.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.2.4.2.2.1">
                          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.2.4.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.4.2.4.2.2.1">subscript</csymbol>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27">𝑓</ci>
                          <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1">
                            <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.3"/>
                            <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.1">𝑖</ci>
                            <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.2">𝑗</ci>
                          </apply>
                        </apply>
                      </apply>
                    </apply>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1">absent</csymbol>
          <cerror id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">fragments</csymbol>
            <approx id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2">
              <divide id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2"/>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2">1</cn>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3">
                <factorial id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.2"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.1">𝑁</ci>
              </apply>
            </apply>
            <csymbol cd="unknown" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3">Φ</csymbol>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.43.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.43">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.43.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.43">superscript</csymbol>
              <cerror id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.43.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.43.2">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.43.2a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.43.2">fragments</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4">(</ci>
                <csymbol cd="unknown" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5">β</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6">)</ci>
              </cerror>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1">𝑁</ci>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.44.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.44">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.44.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.44">subscript</csymbol>
              <int id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.1">𝑉</ci>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.45.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.45">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.45.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.45">superscript</csymbol>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10">𝑑</ci>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1">3</cn>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.46.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.46">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.46.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.46">subscript</csymbol>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12">𝑞</ci>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1">1</cn>
            </apply>
            <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16">…</ci>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47">subscript</csymbol>
              <int id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.1">𝑉</ci>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.48.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.48">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.48.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.48">superscript</csymbol>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19">𝑑</ci>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20.1">3</cn>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.49.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.49">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.49.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.49">subscript</csymbol>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21">𝑞</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.1">𝑁</ci>
            </apply>
            <cerror id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7">
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              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23">(</ci>
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\begin{aligned} \frac{1}{N!} Φ {(β)}^{N} \int_{V}^{} d^{3} q_{1} . . . \int_{V}^{} d^{3} q_{N} \prod_{i < j}^{} (1 + f_{i j}) \\ \approx \frac{1}{N!} Φ {(β)}^{N} \int_{V}^{} d^{3} q_{1} . . . \int_{V}^{} d^{3} q_{N} (1 + \sum_{i < j}^{} f_{i j} + \sum_{\begin{matrix} i < j \\ k < l \end{matrix}}^{} f_{i j} f_{k l} + . . . .) \end{aligned}

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