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Display information for equation id:math.2505.58 on revision:2505

* Page found: Das ideale Gas (eq math.2505.58)

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Hash: 264559decabd183a48450bd30e915bf1

TeX (original user input): 

\begin{align}

& \Rightarrow S=k\left( \beta U-\Psi \left( \beta ,V \right) \right)=k\left( \beta U+N\ln \frac{V}{N}+N\ln \Phi \left( \beta  \right)+N \right) \\

& =kN\left( \frac{3}{2}\ln \frac{U}{N}+\ln \frac{V}{N}+\frac{5}{2}+\frac{3}{2}\ln \frac{4\pi m}{3{{\hbar }^{2}}} \right) \\

\end{align}

TeX (checked): 

{\begin{aligned}&\Rightarrow S=k\left(\beta U-\Psi \left(\beta ,V\right)\right)=k\left(\beta U+N\ln {\frac {V}{N}}+N\ln \Phi \left(\beta \right)+N\right)\\&=kN\left({\frac {3}{2}}\ln {\frac {U}{N}}+\ln {\frac {V}{N}}+{\frac {5}{2}}+{\frac {3}{2}}\ln {\frac {4\pi m}{3{{\hbar }^{2}}}}\right)\\\end{aligned}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (25.664 KB / 2.898 KB) :

⇒ S = k ⁢ ( β ⁢ U - Ψ ⁢ ( β , V ) ) = k ⁢ ( β ⁢ U + N ⁢ ln ⁡ V N + N ⁢ ln ⁡ Φ ⁢ ( β ) + N ) = k ⁢ N ⁢ ( 3 2 ⁢ ln ⁡ U N + ln ⁡ V N + 5 2 + 3 2 ⁢ ln ⁡ 4 ⁢ π ⁢ m 3 ⁢ ℏ 2 ) absent ⇒ absent 𝑆 𝑘 𝛽 𝑈 Ψ 𝛽 𝑉 𝑘 𝛽 𝑈 𝑁 𝑉 𝑁 𝑁 Φ 𝛽 𝑁 absent absent 𝑘 𝑁 3 2 𝑈 𝑁 𝑉 𝑁 5 2 3 2 4 𝜋 𝑚 3 superscript Planck-constant-over-2-pi 2 {\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&\displaystyle\Rightarrow S=k% \left(\beta U-\Psi\left(\beta,V\right)\right)=k\left(\beta U+N\ln\frac{V}{N}+N% \ln\Phi\left(\beta\right)+N\right)\\ \par&\displaystyle=kN\left(\frac{3}{2}\ln\frac{U}{N}+\ln\frac{V}{N}+\frac{5}{2% }+\frac{3}{2}\ln\frac{4\pi m}{3{{\hbar}^{2}}}\right)\\ \par\end{aligned}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&amp;\displaystyle\Rightarrow S=k%&#10;\left(\beta U-\Psi\left(\beta,V\right)\right)=k\left(\beta U+N\ln\frac{V}{N}+N%&#10;\ln\Phi\left(\beta\right)+N\right)\\&#10;\par&amp;\displaystyle=kN\left(\frac{3}{2}\ln\frac{U}{N}+\ln\frac{V}{N}+\frac{5}{2%&#10;}+\frac{3}{2}\ln\frac{4\pi m}{3{{\hbar}^{2}}}\right)\\&#10;\par\end{aligned}}}" display="inline">
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        </mtd>
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            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.36" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.36.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">⇒</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">S</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">k</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.2.2.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.2.2.cmml">(</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.2.2.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.2.2.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">β</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.cmml">U</mi>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml">-</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.2.2.2.cmml">
                    <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">Ψ</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.2.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.2.2.2.2.1.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.2.2.2.2.1.cmml">(</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.cmml">β</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.2.2.2.2.1.cmml">,</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml">V</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.2.2.2.2.1.cmml">)</mo>
                    </mrow>
                  </mrow>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.2.2.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.cmml">k</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.2.2.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.2.2.cmml">(</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.2.2.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.2.2.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.cmml">β</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.cmml">U</mi>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.cmml">+</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.2.2.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.cmml">N</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.2.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.2.2.2.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.cmml">ln</mi>
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                    </mrow>
                  </mrow>
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                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.cmml">N</mi>
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                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.cmml">ln</mi>
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                    </mrow>
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                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.2.2.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.2.2.3.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.2.2.3.cmml">(</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.cmml">β</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.2.2.3.cmml">)</mo>
                    </mrow>
                  </mrow>
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                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.cmml">N</mi>
                </mrow>
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              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
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            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">=</mo>
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                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.1.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">ln</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.1.2a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.1.2.cmml">⁡</mo>
                      <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml">
                        <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.2.cmml">U</mi>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.3.cmml">N</mi>
                        </mfrac>
                      </mstyle>
                    </mrow>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml">+</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml">ln</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.2.cmml">⁡</mo>
                    <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml">
                      <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.2.cmml">V</mi>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.3.cmml">N</mi>
                      </mfrac>
                    </mstyle>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml">+</mo>
                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">
                    <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.cmml">5</mn>
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.cmml">2</mn>
                    </mfrac>
                  </mstyle>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8b" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml">+</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.3.cmml">
                    <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.cmml">
                      <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.cmml">
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.2.cmml">3</mn>
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.3.cmml">2</mn>
                      </mfrac>
                    </mstyle>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.3.1.cmml">⁢</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.3.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.cmml">ln</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.3.2a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.3.2.cmml">⁡</mo>
                      <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.cmml">
                        <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.cmml">
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.cmml">
                            <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.1.cmml">4</mn>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.4.cmml">⁢</mo>
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.2.cmml">π</mi>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.4a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.4.cmml">⁢</mo>
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.2.3.cmml">m</mi>
                          </mrow>
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.cmml">
                            <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.1.cmml">3</mn>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.4.cmml">⁢</mo>
                            <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.5.cmml">
                              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.2.cmml">ℏ</mi>
                              <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.3.3.1.cmml">2</mn>
                            </msup>
                          </mrow>
                        </mfrac>
                      </mstyle>
                    </mrow>
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              </mrow>
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              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1">⇒</ci>
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              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2">𝑆</ci>
            </apply>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6">𝛽</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7">𝑈</ci>
                  </apply>
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                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13">𝑉</ci>
                    </interval>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20">𝑈</ci>
                  </apply>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22">𝑁</ci>
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\left(\beta U-\Psi\left(\beta,V\right)\right)=k\left(\beta U+N\ln\frac{V}{N}+N%
\ln\Phi\left(\beta\right)+N\right)\\
\par&amp;\displaystyle=kN\left(\frac{3}{2}\ln\frac{U}{N}+\ln\frac{V}{N}+\frac{5}{2%
}+\frac{3}{2}\ln\frac{4\pi m}{3{{\hbar}^{2}}}\right)\\
\par\end{aligned}}}</annotation>
  </semantics>
</math>

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⇒S=k(βU−Ψ(β,V))=k(βU+Nln⁡VN+Nln⁡Φ(β)+N)=kN(32ln⁡UN+ln⁡VN+52+32ln⁡4πm3ℏ2)
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Identifiers

  • S
  • k
  • β
  • U
  • Ψ
  • β
  • V
  • k
  • β
  • U
  • N
  • V
  • N
  • N
  • Φ
  • β
  • N
  • k
  • N
  • U
  • N
  • V
  • N
  • π
  • m

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