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* Page found: Das ideale Gas (eq math.2505.49)

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Hash: 8ebf5614a154c18ead4ee29948c30889

TeX (original user input): 

\begin{align}

& T={{\left( \frac{\partial U\left( S,V,\bar{N} \right)}{\partial S} \right)}_{V}}={{\left( {{\left( \frac{\partial S}{\partial U} \right)}^{-1}} \right)}_{V,\bar{N}}}\Rightarrow U\left( T,V,\bar{N} \right) \\

& p=-{{\left( \frac{\partial U\left( S,V,\bar{N} \right)}{\partial V} \right)}_{S}}\Rightarrow p\left( T,V,\bar{N} \right) \\

\end{align}

TeX (checked): 

{\begin{aligned}&T={{\left({\frac {\partial U\left(S,V,{\bar {N}}\right)}{\partial S}}\right)}_{V}}={{\left({{\left({\frac {\partial S}{\partial U}}\right)}^{-1}}\right)}_{V,{\bar {N}}}}\Rightarrow U\left(T,V,{\bar {N}}\right)\\&p=-{{\left({\frac {\partial U\left(S,V,{\bar {N}}\right)}{\partial V}}\right)}_{S}}\Rightarrow p\left(T,V,{\bar {N}}\right)\\\end{aligned}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (23.859 KB / 2.81 KB) :

T = ( ∂ ⁡ U ⁢ ( S , V , N ¯ ) ∂ ⁡ S ) V = ( ( ∂ ⁡ S ∂ ⁡ U ) - 1 ) V , N ¯ ⇒ U ⁢ ( T , V , N ¯ ) p = - ( ∂ ⁡ U ⁢ ( S , V , N ¯ ) ∂ ⁡ V ) S ⇒ p ⁢ ( T , V , N ¯ ) absent 𝑇 subscript 𝑈 𝑆 𝑉 ¯ 𝑁 𝑆 𝑉 subscript superscript 𝑆 𝑈 1 𝑉 ¯ 𝑁 ⇒ 𝑈 𝑇 𝑉 ¯ 𝑁 absent 𝑝 subscript 𝑈 𝑆 𝑉 ¯ 𝑁 𝑉 𝑆 ⇒ 𝑝 𝑇 𝑉 ¯ 𝑁 {\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&\displaystyle T={{\left(\frac% {\partial U\left(S,V,\bar{N}\right)}{\partial S}\right)}_{V}}={{\left({{\left(% \frac{\partial S}{\partial U}\right)}^{-1}}\right)}_{V,\bar{N}}}\Rightarrow U% \left(T,V,\bar{N}\right)\\ \par&\displaystyle p=-{{\left(\frac{\partial U\left(S,V,\bar{N}\right)}{% \partial V}\right)}_{S}}\Rightarrow p\left(T,V,\bar{N}\right)\\ \par\end{aligned}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&amp;\displaystyle T={{\left(\frac%&#10;{\partial U\left(S,V,\bar{N}\right)}{\partial S}\right)}_{V}}={{\left({{\left(%&#10;\frac{\partial S}{\partial U}\right)}^{-1}}\right)}_{V,\bar{N}}}\Rightarrow U%&#10;\left(T,V,\bar{N}\right)\\&#10;\par&amp;\displaystyle p=-{{\left(\frac{\partial U\left(S,V,\bar{N}\right)}{%&#10;\partial V}\right)}_{S}}\Rightarrow p\left(T,V,\bar{N}\right)\\&#10;\par\end{aligned}}}" display="inline">
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        </mtd>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">T</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">=</mo>
            <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">(</mo>
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">
                  <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.cmml">
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.11.cmml">
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.1.cmml">∂</mo>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.11a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.11.cmml">⁡</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.2.cmml">U</mi>
                      </mrow>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.10.cmml">⁢</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.12.1.cmml">
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.12.1.cmml">(</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.4.cmml">S</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.12.1.cmml">,</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.6.cmml">V</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.12.1.cmml">,</mo>
                        <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.8.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.8.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.8.2.cmml">N</mi>
                          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.8.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.8.1.cmml">¯</mo>
                        </mover>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.12.1.cmml">)</mo>
                      </mrow>
                    </mrow>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.3.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.3.1.cmml">∂</mo>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.3a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.3.cmml">⁡</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.3.2.cmml">S</mi>
                    </mrow>
                  </mfrac>
                </mstyle>
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              </mrow>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.cmml">V</mi>
            </msub>
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            <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.2.2.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.2.2.cmml">(</mo>
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                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml">(</mo>
                    <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml">
                      <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml">
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                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.1.cmml">∂</mo>
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                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3.1.cmml">∂</mo>
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                        </mrow>
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                  </mrow>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.1.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.1.1.cmml">-</mo>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.1.2.cmml">1</mn>
                  </mrow>
                </msup>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.2.2.cmml">)</mo>
              </mrow>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.4.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.1.cmml">V</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.4.cmml">,</mo>
                <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.3.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.3.2.cmml">N</mi>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.3.1.cmml">¯</mo>
                </mover>
              </mrow>
            </msub>
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              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml">U</mi>
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              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.1.cmml">(</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml">T</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.2.1.cmml">,</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.cmml">V</mi>
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              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
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      </mtr>
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            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">p</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">=</mo>
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              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml">-</mo>
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                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml">(</mo>
                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml">
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                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.11" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.11.cmml">
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                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.2.cmml">U</mi>
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                          <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.12.1.cmml">(</mo>
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                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.6.cmml">V</mi>
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                            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.8.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.8.2.cmml">N</mi>
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                          <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.12.1.cmml">)</mo>
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                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.2">𝑉</ci>
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                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9">𝑝</ci>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2">𝑁</ci>
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    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&amp;\displaystyle T={{\left(\frac%
{\partial U\left(S,V,\bar{N}\right)}{\partial S}\right)}_{V}}={{\left({{\left(%
\frac{\partial S}{\partial U}\right)}^{-1}}\right)}_{V,\bar{N}}}\Rightarrow U%
\left(T,V,\bar{N}\right)\\
\par&amp;\displaystyle p=-{{\left(\frac{\partial U\left(S,V,\bar{N}\right)}{%
\partial V}\right)}_{S}}\Rightarrow p\left(T,V,\bar{N}\right)\\
\par\end{aligned}}}</annotation>
  </semantics>
</math>

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T=(∂U(S,V,N¯)∂S)V=((∂S∂U)−1)V,N¯⇒U(T,V,N¯)p=−(∂U(S,V,N¯)∂V)S⇒p(T,V,N¯)
<math class="mwe-math-element" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true" rowspacing="3pt"><mtr><mtd></mtd><mtd><mi>T</mi><mo>=</mo><msub><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x2202;</mi><mi>U</mi><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mi>S</mi><mo>,</mo><mi>V</mi><mo>,</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>N</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x2202;</mi><mi>S</mi></mrow></mrow></mfrac></mrow><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>V</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><msup><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x2202;</mi><mi>S</mi></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x2202;</mi><mi>U</mi></mrow></mrow></mfrac></mrow><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn></mrow></mrow></msup><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>V</mi><mo>,</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>N</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow></mrow></mrow></msub><mo>&#x21D2;</mo><mi>U</mi><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mi>T</mi><mo>,</mo><mi>V</mi><mo>,</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>N</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi>p</mi><mo>=</mo><mo>&#x2212;</mo><msub><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x2202;</mi><mi>U</mi><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mi>S</mi><mo>,</mo><mi>V</mi><mo>,</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>N</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x2202;</mi><mi>V</mi></mrow></mrow></mfrac></mrow><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>S</mi></mrow></msub><mo>&#x21D2;</mo><mi>p</mi><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mi>T</mi><mo>,</mo><mi>V</mi><mo>,</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>N</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow></math>

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Identifiers

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