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* Page found: Das ideale Gas (eq math.2505.47)

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Das ideale Gas Eq: math.2507.47

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TeX (original user input):

\begin{align}

& \Psi =-\bar{N} \\

& \beta =\frac{3\bar{N}}{2U} \\

& \alpha =-\ln \frac{Y}{V\Phi \left( \beta  \right)}=\ln \frac{V{{\left( \frac{4\pi mU}{3\bar{N}{{\hbar }^{2}}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}{{\bar{N}}} \\

\end{align}

TeX (checked):

{\begin{aligned}&\Psi =-{\bar {N}}\\&\beta ={\frac {3{\bar {N}}}{2U}}\\&\alpha =-\ln {\frac {Y}{V\Phi \left(\beta \right)}}=\ln {\frac {V{{\left({\frac {4\pi mU}{3{\bar {N}}{{\hbar }^{2}}}}\right)}^{\frac {3}{2}}}}{\bar {N}}}\\\end{aligned}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (18.844 KB / 2.386 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&\displaystyle\Psi=-\bar{N}\\ \par&\displaystyle\beta=\frac{3\bar{N}}{2U}\\ \par&\displaystyle\alpha=-\ln\frac{Y}{V\Phi\left(\beta\right)}=\ln\frac{V{{% \left(\frac{4\pi mU}{3\bar{N}{{\hbar}^{2}}}\right)}^{\frac{3}{2}}}}{{\bar{N}}}% \\ \par\end{aligned}}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&amp;\displaystyle\Psi=-\bar{N}\\&#10;\par&amp;\displaystyle\beta=\frac{3\bar{N}}{2U}\\&#10;\par&amp;\displaystyle\alpha=-\ln\frac{Y}{V\Phi\left(\beta\right)}=\ln\frac{V{{%&#10;\left(\frac{4\pi mU}{3\bar{N}{{\hbar}^{2}}}\right)}^{\frac{3}{2}}}}{{\bar{N}}}%&#10;\\&#10;\par\end{aligned}}}" display="inline">
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            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml">-</mo>
              <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.cmml">N</mi>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.cmml">¯</mo>
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        </mtd>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">β</mi>
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            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml">
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                </mrow>
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                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.3.2.cmml">U</mi>
                </mrow>
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        </mtd>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml">α</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.cmml">-</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.cmml">ln</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.1a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.1.cmml">⁡</mo>
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.cmml">
                  <mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.2.cmml">Y</mi>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.3.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.3.1.cmml">V</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.3.6" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.3.6.cmml">⁢</mo>
                      <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.3.2.cmml">Φ</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.3.6a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.3.6.cmml">⁢</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.3.7" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.3.cmml">
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.3.cmml">(</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.3.4.cmml">β</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.3.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.3.cmml">)</mo>
                      </mrow>
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                  </mfrac>
                </mstyle>
              </mrow>
            </mrow>
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              <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.cmml">ln</mi>
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              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.1.cmml">V</mi>
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                    <msup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.7" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.7.cmml">
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.7.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.3.cmml">
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.3.cmml">(</mo>
                        <mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.3.cmml">
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.3.2.cmml">
                            <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.3.2.1.cmml">4</mn>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.3.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.3.2.5.cmml">⁢</mo>
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.3.2.2.cmml">π</mi>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.3.2.5a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.3.2.5.cmml">⁢</mo>
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.3.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.3.2.3.cmml">m</mi>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.3.2.5b" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.3.2.5.cmml">⁢</mo>
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.3.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.3.2.4.cmml">U</mi>
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                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.3.3.cmml">
                            <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.3.3.1.cmml">3</mn>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.3.3.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.3.3.5.cmml">⁢</mo>
                            <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.3.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.3.3.2.cmml">
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.3.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.3.3.2.2.cmml">N</mi>
                              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.3.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.3.3.2.1.cmml">¯</mo>
                            </mover>
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                            <msup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.3.3.6" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.3.3.6.cmml">
                              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.3.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.3.3.3.cmml">ℏ</mi>
                              <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.3.3.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.3.3.4.1.cmml">2</mn>
                            </msup>
                          </mrow>
                        </mfrac>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.3.cmml">)</mo>
                      </mrow>
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    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&amp;\displaystyle\Psi=-\bar{N}\\
\par&amp;\displaystyle\beta=\frac{3\bar{N}}{2U}\\
\par&amp;\displaystyle\alpha=-\ln\frac{Y}{V\Phi\left(\beta\right)}=\ln\frac{V{{%
\left(\frac{4\pi mU}{3\bar{N}{{\hbar}^{2}}}\right)}^{\frac{3}{2}}}}{{\bar{N}}}%
\\
\par\end{aligned}}}</annotation>
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\begin{aligned} Ψ = - \bar{N} \\ β = \frac{3 \bar{N}}{2 U} \\ α = - \ln \frac{Y}{V Φ (β)} = \ln \frac{V {(\frac{4 π m U}{3 \bar{N} ℏ^{2}})}^{\frac{3}{2}}}{\bar{N}} \end{aligned}

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