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* Page found: Das ideale Gas (eq math.2505.17)

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TeX (original user input): 

{{e}^{-\Psi }}=Y=\exp \left( \frac{pV}{kT} \right)=\exp -\left( \frac{J(T,V,\mu )}{kT} \right)=\sum\limits_{N=0}^{\infty }{{}}\frac{1}{N!}\frac{1}{{{\hbar }^{3N}}}\int_{{{R}^{6N}}}^{{}}{{}}d{{\xi }_{N}}\exp \left( -\beta H-\alpha N \right)

TeX (checked): 

{{e}^{-\Psi }}=Y=\exp \left({\frac {pV}{kT}}\right)=\exp -\left({\frac {J(T,V,\mu )}{kT}}\right)=\sum \limits _{N=0}^{\infty }{}{\frac {1}{N!}}{\frac {1}{{\hbar }^{3N}}}\int _{{R}^{6N}}^{}{}d{{\xi }_{N}}\exp \left(-\beta H-\alpha N\right)

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e - Ψ = Y = exp ⁡ ( p ⁢ V k ⁢ T ) = exp - ( J ⁢ ( T , V , μ ) k ⁢ T ) = ∑ N = 0 ∞ 1 N ! ⁢ 1 ℏ 3 ⁢ N ⁢ ∫ R 6 ⁢ N 𝑑 ξ N ⁢ exp ⁡ ( - β ⁢ H - α ⁢ N ) superscript 𝑒 Ψ 𝑌 𝑝 𝑉 𝑘 𝑇 𝐽 𝑇 𝑉 𝜇 𝑘 𝑇 superscript subscript 𝑁 0 1 𝑁 1 superscript Planck-constant-over-2-pi 3 𝑁 subscript superscript 𝑅 6 𝑁 differential-d subscript 𝜉 𝑁 𝛽 𝐻 𝛼 𝑁 {\displaystyle{\displaystyle{{e}^{-\Psi}}=Y=\exp\left(\frac{pV}{kT}\right)=% \exp-\left(\frac{J(T,V,\mu)}{kT}\right)=\sum\limits_{N=0}^{\infty}{{}}\frac{1}% {N!}\frac{1}{{{\hbar}^{3N}}}\int_{{{R}^{6N}}}{{}}d{{\xi}_{N}}\exp\left(-\beta H% -\alpha N\right)}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle{{e}^{-\Psi}}=Y=\exp\left(\frac{pV}{kT}\right)=%&#10;\exp-\left(\frac{J(T,V,\mu)}{kT}\right)=\sum\limits_{N=0}^{\infty}{{}}\frac{1}%&#10;{N!}\frac{1}{{{\hbar}^{3N}}}\int_{{{R}^{6N}}}{{}}d{{\xi}_{N}}\exp\left(-\beta H%&#10;-\alpha N\right)}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.36" xref="p1.1.m1.1.36.cmml">
      <msup id="p1.1.m1.1.36.2" xref="p1.1.m1.1.36.2.cmml">
        <mi id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">e</mi>
        <mrow id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">
          <mo id="p1.1.m1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.cmml">-</mo>
          <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.1.2.cmml">Ψ</mi>
        </mrow>
      </msup>
      <mo id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">=</mo>
      <mi id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">Y</mi>
      <mo id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.36.3.2" xref="p1.1.m1.1.36.3.1.cmml">
        <mi id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">exp</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.36.3.2a" xref="p1.1.m1.1.36.3.1.cmml">⁡</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.36.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.36.3.1.cmml">
          <mo id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.36.3.1.cmml">(</mo>
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">
            <mfrac id="p1.1.m1.1.8a" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.8.2" xref="p1.1.m1.1.8.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.8.2.1" xref="p1.1.m1.1.8.2.1.cmml">p</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.8.2.3" xref="p1.1.m1.1.8.2.3.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.8.2.2" xref="p1.1.m1.1.8.2.2.cmml">V</mi>
              </mrow>
              <mrow id="p1.1.m1.1.8.3" xref="p1.1.m1.1.8.3.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.8.3.1" xref="p1.1.m1.1.8.3.1.cmml">k</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.8.3.3" xref="p1.1.m1.1.8.3.3.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.8.3.2" xref="p1.1.m1.1.8.3.2.cmml">T</mi>
              </mrow>
            </mfrac>
          </mstyle>
          <mo id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.36.3.1.cmml">)</mo>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.36.4" xref="p1.1.m1.1.36.4.cmml">
        <mi id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">exp</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">-</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.36.4.1" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">
          <mo id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">(</mo>
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">
            <mfrac id="p1.1.m1.1.14a" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.14.2" xref="p1.1.m1.1.14.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.14.2.1" xref="p1.1.m1.1.14.2.1.cmml">J</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.14.2.9" xref="p1.1.m1.1.14.2.9.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.14.2.10" xref="p1.1.m1.1.14.2.10.1.cmml">
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.14.2.2" xref="p1.1.m1.1.14.2.10.1.cmml">(</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.14.2.3" xref="p1.1.m1.1.14.2.3.cmml">T</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.14.2.4" xref="p1.1.m1.1.14.2.10.1.cmml">,</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.14.2.5" xref="p1.1.m1.1.14.2.5.cmml">V</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.14.2.6" xref="p1.1.m1.1.14.2.10.1.cmml">,</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.14.2.7" xref="p1.1.m1.1.14.2.7.cmml">μ</mi>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.14.2.8" xref="p1.1.m1.1.14.2.10.1.cmml">)</mo>
                </mrow>
              </mrow>
              <mrow id="p1.1.m1.1.14.3" xref="p1.1.m1.1.14.3.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.14.3.1" xref="p1.1.m1.1.14.3.1.cmml">k</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.14.3.3" xref="p1.1.m1.1.14.3.3.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.14.3.2" xref="p1.1.m1.1.14.3.2.cmml">T</mi>
              </mrow>
            </mfrac>
          </mstyle>
          <mo id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">)</mo>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.36.5" xref="p1.1.m1.1.36.5.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.36.5.1" xref="p1.1.m1.1.36.5.1.cmml">
          <munderover id="p1.1.m1.1.36.5.1a" xref="p1.1.m1.1.36.5.1.cmml">
            <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.17.cmml">∑</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.18.1" xref="p1.1.m1.1.18.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.18.1.1" xref="p1.1.m1.1.18.1.1.cmml">N</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.18.1.2" xref="p1.1.m1.1.18.1.2.cmml">=</mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.18.1.3" xref="p1.1.m1.1.18.1.3.cmml">0</mn>
            </mrow>
            <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.19.1" xref="p1.1.m1.1.19.1.cmml">∞</mi>
          </munderover>
        </mstyle>
        <mrow id="p1.1.m1.1.36.5.2" xref="p1.1.m1.1.36.5.2.cmml">
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.20.cmml">
            <mfrac id="p1.1.m1.1.20a" xref="p1.1.m1.1.20.cmml">
              <mn id="p1.1.m1.1.20.2" xref="p1.1.m1.1.20.2.cmml">1</mn>
              <mrow id="p1.1.m1.1.20.3" xref="p1.1.m1.1.20.3.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.20.3.1" xref="p1.1.m1.1.20.3.1.cmml">N</mi>
                <mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.20.3.2" xref="p1.1.m1.1.20.3.2.cmml">!</mo>
              </mrow>
            </mfrac>
          </mstyle>
          <mo id="p1.1.m1.1.36.5.2.1" xref="p1.1.m1.1.36.5.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.21.cmml">
            <mfrac id="p1.1.m1.1.21a" xref="p1.1.m1.1.21.cmml">
              <mn id="p1.1.m1.1.21.2" xref="p1.1.m1.1.21.2.cmml">1</mn>
              <msup id="p1.1.m1.1.21.3" xref="p1.1.m1.1.21.3.cmml">
                <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.21.3.1" xref="p1.1.m1.1.21.3.1.cmml">ℏ</mi>
                <mrow id="p1.1.m1.1.21.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.21.3.2.1.cmml">
                  <mn id="p1.1.m1.1.21.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.21.3.2.1.1.cmml">3</mn>
                  <mo id="p1.1.m1.1.21.3.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.21.3.2.1.3.cmml">⁢</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.21.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.21.3.2.1.2.cmml">N</mi>
                </mrow>
              </msup>
            </mfrac>
          </mstyle>
          <mo id="p1.1.m1.1.36.5.2.1a" xref="p1.1.m1.1.36.5.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.36.5.2.2" xref="p1.1.m1.1.36.5.2.2.cmml">
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.36.5.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.36.5.2.2.1.cmml">
              <msub id="p1.1.m1.1.36.5.2.2.1a" xref="p1.1.m1.1.36.5.2.2.1.cmml">
                <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.22" xref="p1.1.m1.1.22.cmml">∫</mo>
                <msup id="p1.1.m1.1.23.1" xref="p1.1.m1.1.23.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.23.1.1" xref="p1.1.m1.1.23.1.1.cmml">R</mi>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.23.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.23.1.2.1.cmml">
                    <mn id="p1.1.m1.1.23.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.23.1.2.1.1.cmml">6</mn>
                    <mo id="p1.1.m1.1.23.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.23.1.2.1.3.cmml">⁢</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.23.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.23.1.2.1.2.cmml">N</mi>
                  </mrow>
                </msup>
              </msub>
            </mstyle>
            <mrow id="p1.1.m1.1.36.5.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.36.5.2.2.2.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.36.5.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.36.5.2.2.2.2.cmml">
                <mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.24" xref="p1.1.m1.1.24.cmml">𝑑</mo>
                <msub id="p1.1.m1.1.36.5.2.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.36.5.2.2.2.2.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.25" xref="p1.1.m1.1.25.cmml">ξ</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.26.1" xref="p1.1.m1.1.26.1.cmml">N</mi>
                </msub>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.36.5.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.36.5.2.2.2.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.36.5.2.2.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.36.5.2.2.2.3.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.27" xref="p1.1.m1.1.27.cmml">exp</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.36.5.2.2.2.3.2a" xref="p1.1.m1.1.36.5.2.2.2.3.1.cmml">⁡</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.36.5.2.2.2.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.36.5.2.2.2.3.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.28" xref="p1.1.m1.1.36.5.2.2.2.3.1.cmml">(</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.36.5.2.2.2.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.36.5.2.2.2.3.2.1.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.36.5.2.2.2.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.36.5.2.2.2.3.2.1.1.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.29" xref="p1.1.m1.1.29.cmml">-</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.36.5.2.2.2.3.2.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.36.5.2.2.2.3.2.1.1.1.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.30" xref="p1.1.m1.1.30.cmml">β</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.36.5.2.2.2.3.2.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.36.5.2.2.2.3.2.1.1.1.1.cmml">⁢</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.31" xref="p1.1.m1.1.31.cmml">H</mi>
                      </mrow>
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                    <mo id="p1.1.m1.1.32" xref="p1.1.m1.1.32.cmml">-</mo>
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                <ci id="p1.1.m1.1.8.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2.2">𝑉</ci>
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                <ci id="p1.1.m1.1.8.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.3.1">𝑘</ci>
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                <ci id="p1.1.m1.1.14.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.2.1">𝐽</ci>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.14.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.2.5">𝑉</ci>
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                      <ci id="p1.1.m1.1.26.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.26.1">𝑁</ci>
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    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle{{e}^{-\Psi}}=Y=\exp\left(\frac{pV}{kT}\right)=%
\exp-\left(\frac{J(T,V,\mu)}{kT}\right)=\sum\limits_{N=0}^{\infty}{{}}\frac{1}%
{N!}\frac{1}{{{\hbar}^{3N}}}\int_{{{R}^{6N}}}{{}}d{{\xi}_{N}}\exp\left(-\beta H%
-\alpha N\right)}}</annotation>
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e−Ψ=Y=exp⁡(pVkT)=exp⁡−(J(T,V,μ)kT)=∑N=0∞1N!1ℏ3N∫R6NdξNexp⁡(−βH−αN)
<math class="mwe-math-element" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><msup><mi>e</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>&#x2212;</mo><mi mathvariant="normal">&#x03A8;</mi></mrow></mrow></msup></mstyle><mo>=</mo><mi>Y</mi><mo>=</mo><mi>exp</mi><mo>&#x2061;</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>p</mi><mi>V</mi></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>k</mi><mi>T</mi></mrow></mrow></mfrac></mrow><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mo>=</mo><mi>exp</mi><mo>&#x2061;</mo><mo>&#x2212;</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>J</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>T</mi><mo>,</mo><mi>V</mi><mo>,</mo><mi>&#x03BC;</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>k</mi><mi>T</mi></mrow></mrow></mfrac></mrow><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mo>=</mo><munderover><mo form="prefix" texclass="OP">&#x2211;</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>N</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi mathvariant="normal">&#x221E;</mi></mrow></munderover><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>1</mn></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>N</mi><mi>!</mi></mrow></mrow></mfrac></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>1</mn></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><msup><mi data-mjx-alternate="1">&#x210F;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>3</mn><mi>N</mi></mrow></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><munderover><mo texclass="OP">&#x222B;</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><msup><mi>R</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>6</mn><mi>N</mi></mrow></mrow></msup></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"></mrow></munderover></mstyle><mi>d</mi><msub><mi>&#x03BE;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>N</mi></mrow></msub><mi>exp</mi><mo>&#x2061;</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mo>&#x2212;</mo><mi>&#x03B2;</mi><mi>H</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>&#x03B1;</mi><mi>N</mi><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow></mrow></math>

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Identifiers

  • e
  • Ψ
  • Y
  • p
  • V
  • k
  • T
  • J
  • T
  • V
  • μ
  • k
  • T
  • N
  • N
  • N
  • R
  • N
  • ξN
  • β
  • H
  • α
  • N

MathML observations

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