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* Page found: Thermodynamische Stabilität (eq math.2497.41)

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Thermodynamische Stabilität Eq: math.2497.41

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TeX (original user input):

\begin{align}

& \left\langle \Delta {{M}^{\nu }}\Delta {{M}^{\mu }} \right\rangle =-\frac{\partial \left\langle {{M}^{\mu }} \right\rangle }{\partial {{\lambda }_{\nu }}}=-\frac{\partial \left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle }{\partial {{\lambda }_{\mu }}} \\

& \Rightarrow \left\langle {{\left( \Delta b \right)}^{2}} \right\rangle =-{{\lambda }_{\nu }}{{\lambda }_{\mu }}\frac{\partial \left\langle {{M}^{\nu }} \right\rangle }{\partial {{\lambda }_{\mu }}}=-\frac{1}{k}\frac{\partial S}{\partial {{\lambda }_{\mu }}}{{\lambda }_{\mu }} \\

\end{align}

TeX (checked):

{\begin{aligned}&\left\langle \Delta {{M}^{\nu }}\Delta {{M}^{\mu }}\right\rangle =-{\frac {\partial \left\langle {{M}^{\mu }}\right\rangle }{\partial {{\lambda }_{\nu }}}}=-{\frac {\partial \left\langle {{M}^{\nu }}\right\rangle }{\partial {{\lambda }_{\mu }}}}\\&\Rightarrow \left\langle {{\left(\Delta b\right)}^{2}}\right\rangle =-{{\lambda }_{\nu }}{{\lambda }_{\mu }}{\frac {\partial \left\langle {{M}^{\nu }}\right\rangle }{\partial {{\lambda }_{\mu }}}}=-{\frac {1}{k}}{\frac {\partial S}{\partial {{\lambda }_{\mu }}}}{{\lambda }_{\mu }}\\\end{aligned}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (27.986 KB / 3.054 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&\displaystyle\left\langle% \Delta{{M}^{\nu}}\Delta{{M}^{\mu}}\right\rangle=-\frac{\partial\left\langle{{M% }^{\mu}}\right\rangle}{\partial{{\lambda}_{\nu}}}=-\frac{\partial\left\langle{% {M}^{\nu}}\right\rangle}{\partial{{\lambda}_{\mu}}}\\ \par&\displaystyle\Rightarrow\left\langle{{\left(\Delta b\right)}^{2}}\right% \rangle=-{{\lambda}_{\nu}}{{\lambda}_{\mu}}\frac{\partial\left\langle{{M}^{\nu% }}\right\rangle}{\partial{{\lambda}_{\mu}}}=-\frac{1}{k}\frac{\partial S}{% \partial{{\lambda}_{\mu}}}{{\lambda}_{\mu}}\\ \par\end{aligned}}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&amp;\displaystyle\left\langle%&#10;\Delta{{M}^{\nu}}\Delta{{M}^{\mu}}\right\rangle=-\frac{\partial\left\langle{{M%&#10;}^{\mu}}\right\rangle}{\partial{{\lambda}_{\nu}}}=-\frac{\partial\left\langle{%&#10;{M}^{\nu}}\right\rangle}{\partial{{\lambda}_{\mu}}}\\&#10;\par&amp;\displaystyle\Rightarrow\left\langle{{\left(\Delta b\right)}^{2}}\right%&#10;\rangle=-{{\lambda}_{\nu}}{{\lambda}_{\mu}}\frac{\partial\left\langle{{M}^{\nu%&#10;}}\right\rangle}{\partial{{\lambda}_{\mu}}}=-\frac{1}{k}\frac{\partial S}{%&#10;\partial{{\lambda}_{\mu}}}{{\lambda}_{\mu}}\\&#10;\par\end{aligned}}}" display="inline">
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                </msup>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.1.cmml">⁢</mo>
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                </msup>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.1.cmml">⟩</mo>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">=</mo>
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              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml">-</mo>
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                      </msup>
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                  </mrow>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.3.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.3.1.cmml">∂</mo>
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                    <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.3.4.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.3.2.cmml">λ</mi>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.3.3.1.cmml">ν</mi>
                    </msub>
                  </mrow>
                </mfrac>
              </mstyle>
            </mrow>
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            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml">-</mo>
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                      </msup>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2.6.cmml">⟩</mo>
                    </mrow>
                  </mrow>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.1.cmml">∂</mo>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.cmml">⁡</mo>
                    <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.4.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.2.cmml">λ</mi>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.3.3.1.cmml">μ</mi>
                    </msub>
                  </mrow>
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              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24.1.1.cmml">⟨</mo>
              <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24.2.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24.2.2.2.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24.2.2.2.cmml">(</mo>
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                    <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml">Δ</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24.2.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml">b</mi>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24.2.2.2.cmml">)</mo>
                </mrow>
                <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.cmml">2</mn>
              </msup>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24.1.1.cmml">⟩</mo>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml">-</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.1.cmml">
                <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.1.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.cmml">λ</mi>
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                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.1.1.cmml">⁢</mo>
                <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.1.3.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.cmml">λ</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1.cmml">μ</mi>
                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.1.1.cmml">⁢</mo>
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.cmml">
                  <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.6.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.1.cmml">∂</mo>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.7a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.6.cmml">⁡</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.7.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.6.cmml">
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                        <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.7.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.7.1.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.3.cmml">M</mi>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.4.1.cmml">ν</mi>
                        </msup>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.6.cmml">⟩</mo>
                      </mrow>
                    </mrow>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.1.cmml">∂</mo>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.cmml">⁡</mo>
                      <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.4.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.2.cmml">λ</mi>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.3.3.1.cmml">μ</mi>
                      </msub>
                    </mrow>
                  </mfrac>
                </mstyle>
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            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.cmml">
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                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.cmml">
                  <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.cmml">
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.2.cmml">1</mn>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.3.cmml">k</mi>
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                </mstyle>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.1.1.cmml">⁢</mo>
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.cmml">
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                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.cmml">
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                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.2.cmml">S</mi>
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                      <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.3.4.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.3.2.cmml">λ</mi>
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                      </msub>
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                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.1.1.cmml">⁢</mo>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3">𝑀</ci>
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      </matrix>
    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&amp;\displaystyle\left\langle%
\Delta{{M}^{\nu}}\Delta{{M}^{\mu}}\right\rangle=-\frac{\partial\left\langle{{M%
}^{\mu}}\right\rangle}{\partial{{\lambda}_{\nu}}}=-\frac{\partial\left\langle{%
{M}^{\nu}}\right\rangle}{\partial{{\lambda}_{\mu}}}\\
\par&amp;\displaystyle\Rightarrow\left\langle{{\left(\Delta b\right)}^{2}}\right%
\rangle=-{{\lambda}_{\nu}}{{\lambda}_{\mu}}\frac{\partial\left\langle{{M}^{\nu%
}}\right\rangle}{\partial{{\lambda}_{\mu}}}=-\frac{1}{k}\frac{\partial S}{%
\partial{{\lambda}_{\mu}}}{{\lambda}_{\mu}}\\
\par\end{aligned}}}</annotation>
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\begin{aligned} ⟨ Δ M^{ν} Δ M^{μ} ⟩ = - \frac{\partial ⟨ M^{μ} ⟩}{\partial λ_{ν}} = - \frac{\partial ⟨ M^{ν} ⟩}{\partial λ_{μ}} \\ \Rightarrow ⟨ {(Δ b)}^{2} ⟩ = - λ_{ν} λ_{μ} \frac{\partial ⟨ M^{ν} ⟩}{\partial λ_{μ}} = - \frac{1}{k} \frac{\partial S}{\partial λ_{μ}} λ_{μ} \end{aligned}

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