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Display information for equation id:math.2473.16 on revision:2473

* Page found: Thermodynamische Potenziale (eq math.2473.16)

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Occurrences on the following pages:

Hash: 53c530da2f7bea6010dd6d05421c650c

TeX (original user input): 

\begin{align}
& \frac{{{\partial }^{2}}U}{\partial S\partial V}=\frac{{{\partial }^{2}}U}{\partial V\partial S}\Leftrightarrow -{{\left( \frac{\partial p}{\partial S} \right)}_{V,N}}={{\left( \frac{\partial T}{\partial V} \right)}_{S,N}} \\
& \frac{{{\partial }^{2}}U}{\partial S\partial N}=\frac{{{\partial }^{2}}U}{\partial N\partial S}\Leftrightarrow {{\left( \frac{\partial \mu }{\partial S} \right)}_{V,N}}={{\left( \frac{\partial T}{\partial N} \right)}_{S,V}} \\
& \frac{{{\partial }^{2}}U}{\partial V\partial N}=\frac{{{\partial }^{2}}U}{\partial N\partial V}\Leftrightarrow {{\left( \frac{\partial \mu }{\partial V} \right)}_{S,N}}=-{{\left( \frac{\partial p}{\partial N} \right)}_{S,V}} \\
& -\frac{{{\partial }^{2}}F}{\partial T\partial V}=-\frac{{{\partial }^{2}}F}{\partial V\partial T}\Leftrightarrow {{\left( \frac{\partial p}{\partial T} \right)}_{V,N}}={{\left( \frac{\partial S}{\partial V} \right)}_{T,N}} \\
\end{align}

TeX (checked): 

{\begin{aligned}&{\frac {{{\partial }^{2}}U}{\partial S\partial V}}={\frac {{{\partial }^{2}}U}{\partial V\partial S}}\Leftrightarrow -{{\left({\frac {\partial p}{\partial S}}\right)}_{V,N}}={{\left({\frac {\partial T}{\partial V}}\right)}_{S,N}}\\&{\frac {{{\partial }^{2}}U}{\partial S\partial N}}={\frac {{{\partial }^{2}}U}{\partial N\partial S}}\Leftrightarrow {{\left({\frac {\partial \mu }{\partial S}}\right)}_{V,N}}={{\left({\frac {\partial T}{\partial N}}\right)}_{S,V}}\\&{\frac {{{\partial }^{2}}U}{\partial V\partial N}}={\frac {{{\partial }^{2}}U}{\partial N\partial V}}\Leftrightarrow {{\left({\frac {\partial \mu }{\partial V}}\right)}_{S,N}}=-{{\left({\frac {\partial p}{\partial N}}\right)}_{S,V}}\\&-{\frac {{{\partial }^{2}}F}{\partial T\partial V}}=-{\frac {{{\partial }^{2}}F}{\partial V\partial T}}\Leftrightarrow {{\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)}_{V,N}}={{\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)}_{T,N}}\\\end{aligned}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (64.079 KB / 5.867 KB) :

∂ 2 ⁡ U ∂ ⁡ S ⁢ ∂ ⁡ V = ∂ 2 ⁡ U ∂ ⁡ V ⁢ ∂ ⁡ S ⇔ - ( ∂ ⁡ p ∂ ⁡ S ) V , N = ( ∂ ⁡ T ∂ ⁡ V ) S , N ∂ 2 ⁡ U ∂ ⁡ S ⁢ ∂ ⁡ N = ∂ 2 ⁡ U ∂ ⁡ N ⁢ ∂ ⁡ S ⇔ ( ∂ ⁡ μ ∂ ⁡ S ) V , N = ( ∂ ⁡ T ∂ ⁡ N ) S , V ∂ 2 ⁡ U ∂ ⁡ V ⁢ ∂ ⁡ N = ∂ 2 ⁡ U ∂ ⁡ N ⁢ ∂ ⁡ V ⇔ ( ∂ ⁡ μ ∂ ⁡ V ) S , N = - ( ∂ ⁡ p ∂ ⁡ N ) S , V - ∂ 2 ⁡ F ∂ ⁡ T ⁢ ∂ ⁡ V = - ∂ 2 ⁡ F ∂ ⁡ V ⁢ ∂ ⁡ T ⇔ ( ∂ ⁡ p ∂ ⁡ T ) V , N = ( ∂ ⁡ S ∂ ⁡ V ) T , N missing-subexpression ⇔ superscript 2 𝑈 𝑆 𝑉 superscript 2 𝑈 𝑉 𝑆 subscript 𝑝 𝑆 𝑉 𝑁 subscript 𝑇 𝑉 𝑆 𝑁 missing-subexpression ⇔ superscript 2 𝑈 𝑆 𝑁 superscript 2 𝑈 𝑁 𝑆 subscript 𝜇 𝑆 𝑉 𝑁 subscript 𝑇 𝑁 𝑆 𝑉 missing-subexpression ⇔ superscript 2 𝑈 𝑉 𝑁 superscript 2 𝑈 𝑁 𝑉 subscript 𝜇 𝑉 𝑆 𝑁 subscript 𝑝 𝑁 𝑆 𝑉 missing-subexpression ⇔ superscript 2 𝐹 𝑇 𝑉 superscript 2 𝐹 𝑉 𝑇 subscript 𝑝 𝑇 𝑉 𝑁 subscript 𝑆 𝑉 𝑇 𝑁 {\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &\displaystyle\frac{{{\partial}^{2% }}U}{\partial S\partial V}=\frac{{{\partial}^{2}}U}{\partial V\partial S}% \Leftrightarrow-{{\left(\frac{\partial p}{\partial S}\right)}_{V,N}}={{\left(% \frac{\partial T}{\partial V}\right)}_{S,N}}\\ &\displaystyle\frac{{{\partial}^{2}}U}{\partial S\partial N}=\frac{{{\partial}% ^{2}}U}{\partial N\partial S}\Leftrightarrow{{\left(\frac{\partial\mu}{% \partial S}\right)}_{V,N}}={{\left(\frac{\partial T}{\partial N}\right)}_{S,V}% }\\ &\displaystyle\frac{{{\partial}^{2}}U}{\partial V\partial N}=\frac{{{\partial}% ^{2}}U}{\partial N\partial V}\Leftrightarrow{{\left(\frac{\partial\mu}{% \partial V}\right)}_{S,N}}=-{{\left(\frac{\partial p}{\partial N}\right)}_{S,V% }}\\ &\displaystyle-\frac{{{\partial}^{2}}F}{\partial T\partial V}=-\frac{{{% \partial}^{2}}F}{\partial V\partial T}\Leftrightarrow{{\left(\frac{\partial p}% {\partial T}\right)}_{V,N}}={{\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)}_{T,N% }}\\ \end{aligned}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &amp;\displaystyle\frac{{{\partial}^{2%&#10;}}U}{\partial S\partial V}=\frac{{{\partial}^{2}}U}{\partial V\partial S}%&#10;\Leftrightarrow-{{\left(\frac{\partial p}{\partial S}\right)}_{V,N}}={{\left(%&#10;\frac{\partial T}{\partial V}\right)}_{S,N}}\\&#10;&amp;\displaystyle\frac{{{\partial}^{2}}U}{\partial S\partial N}=\frac{{{\partial}%&#10;^{2}}U}{\partial N\partial S}\Leftrightarrow{{\left(\frac{\partial\mu}{%&#10;\partial S}\right)}_{V,N}}={{\left(\frac{\partial T}{\partial N}\right)}_{S,V}%&#10;}\\&#10;&amp;\displaystyle\frac{{{\partial}^{2}}U}{\partial V\partial N}=\frac{{{\partial}%&#10;^{2}}U}{\partial N\partial V}\Leftrightarrow{{\left(\frac{\partial\mu}{%&#10;\partial V}\right)}_{S,N}}=-{{\left(\frac{\partial p}{\partial N}\right)}_{S,V%&#10;}}\\&#10;&amp;\displaystyle-\frac{{{\partial}^{2}}F}{\partial T\partial V}=-\frac{{{%&#10;\partial}^{2}}F}{\partial V\partial T}\Leftrightarrow{{\left(\frac{\partial p}%&#10;{\partial T}\right)}_{V,N}}={{\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)}_{T,N%&#10;}}\\&#10;\end{aligned}}}" display="inline">
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        <mtd id="p1.1.m1.1.1b" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1c" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.cmml">
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                <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">
                    <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.2.4.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.2.1.cmml">∂</mo>
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.2.2.1.cmml">2</mn>
                    </msup>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">⁡</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.2.3.cmml">U</mi>
                  </mrow>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.3.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.3.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.3.6.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.3.1.cmml">∂</mo>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.3.6a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.3.6.cmml">⁡</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.3.2.cmml">S</mi>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.3.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.3.5.cmml">⁢</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.3.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.3.7.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.3.3.cmml">∂</mo>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.3.7a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.3.7.cmml">⁡</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.3.4.cmml">V</mi>
                    </mrow>
                  </mrow>
                </mfrac>
              </mstyle>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">=</mo>
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                    <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.4.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.1.cmml">∂</mo>
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                    </msup>
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                  </mrow>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.3.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.3.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.3.6.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.3.1.cmml">∂</mo>
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                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.3.2.cmml">V</mi>
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                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.3.4.cmml">S</mi>
                    </mrow>
                  </mrow>
                </mfrac>
              </mstyle>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">⇔</mo>
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              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.cmml">
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                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.2.cmml">
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                          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.2.2.cmml">p</mi>
                        </mrow>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.3.cmml">
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.3.1.cmml">∂</mo>
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                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.1.3.cmml">N</mi>
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              </mrow>
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                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml">(</mo>
                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml">
                    <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml">
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                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.1.cmml">∂</mo>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.cmml">⁡</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.2.cmml">V</mi>
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                </mrow>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.4.cmml">
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                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.3.cmml">N</mi>
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        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1f" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
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              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">
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                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.3.4.cmml">N</mi>
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                      <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.2.1.cmml">∂</mo>
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.2.2.1.cmml">2</mn>
                    </msup>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.2a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.2.cmml">⁡</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.2.3.cmml">U</mi>
                  </mrow>
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                      <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.1.cmml">∂</mo>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.6a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.6.cmml">⁡</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.2.cmml">V</mi>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.5.cmml">⁢</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.7" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.7.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.3.cmml">∂</mo>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.7a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.7.cmml">⁡</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.4.cmml">N</mi>
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                  </mrow>
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                    <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.2.3.cmml">U</mi>
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                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.3.2.cmml">N</mi>
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                        <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.2.1.cmml">∂</mo>
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.2.2.1.cmml">2</mn>
                      </msup>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.2.cmml">⁡</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.2.3.cmml">F</mi>
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                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.3.cmml">
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                        <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.3.1.cmml">∂</mo>
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                        <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.3.7a" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.3.7.cmml">⁡</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.3.4.cmml">V</mi>
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              <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.16.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.16.2.cmml">
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                        <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.5.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.5.2.1.cmml">∂</mo>
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                      </msup>
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                      <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.5.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.5.2.3.cmml">F</mi>
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                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.5.3.6" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.5.3.6.cmml">
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                      </mrow>
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                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.4">superscript</csymbol>
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                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.2.1">2</cn>
                  </apply>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.3">𝑈</ci>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.3.2">𝑉</ci>
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                    <partialdiff id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.3.3"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.3.4">𝑆</ci>
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                <minus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.1">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.1">subscript</csymbol>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.1.2">
                    <divide id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.1.2"/>
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                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.2.2">𝑝</ci>
                    </apply>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.3">
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                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.3.2">𝑆</ci>
                    </apply>
                  </apply>
                  <list id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.1">
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.1.1">𝑉</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.1.3">𝑁</ci>
                  </list>
                </apply>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2">subscript</csymbol>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.2">
                  <divide id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.2"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.2">
                    <partialdiff id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.2.1"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.2.2">𝑇</ci>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3">
                    <partialdiff id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.1"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.3.2">𝑉</ci>
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                </apply>
                <list id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1">
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.1">𝑆</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.3">𝑁</ci>
                </list>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1e.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1f.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
            <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4">⇔</ci>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1">
                <divide id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.2">
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.2.4">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.2.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.2.4">superscript</csymbol>
                    <partialdiff id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.2.1"/>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.2.2.1">2</cn>
                  </apply>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.2.3">𝑈</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.3">
                  <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.3.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.3.5"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.3.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.3.6">
                    <partialdiff id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.3.1"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.3.2">𝑆</ci>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.3.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.3.7">
                    <partialdiff id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.3.3"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.3.4">𝑁</ci>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3">
                <divide id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.2">
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.2.4">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.2.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.2.4">superscript</csymbol>
                    <partialdiff id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.2.1"/>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.2.2.1">2</cn>
                  </apply>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.2.3">𝑈</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.3">
                  <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.3.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.3.5"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.3.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.3.6">
                    <partialdiff id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.3.1"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.3.2">𝑁</ci>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.3.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.3.7">
                    <partialdiff id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.3.3"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.3.4">𝑆</ci>
                  </apply>
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            </apply>
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                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1">subscript</csymbol>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1.2">
                  <divide id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1.2"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.2">
                    <partialdiff id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.2.1"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.2.2">𝜇</ci>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3">
                    <partialdiff id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.1"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.3.2">𝑆</ci>
                  </apply>
                </apply>
                <list id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.1">
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.1.1">𝑉</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.1.3">𝑁</ci>
                </list>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2">subscript</csymbol>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2">
                  <divide id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.2">
                    <partialdiff id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.2.1"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.2.2">𝑇</ci>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.3">
                    <partialdiff id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.3.1"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.3.2">𝑁</ci>
                  </apply>
                </apply>
                <list id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1">
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1.1">𝑆</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1.3">𝑉</ci>
                </list>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1g.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1h.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1i.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1">
            <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4">⇔</ci>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1">
                <divide id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.2">
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.2.4">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.2.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.2.4">superscript</csymbol>
                    <partialdiff id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.2.1"/>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.2.2.1">2</cn>
                  </apply>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.2.3">𝑈</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3">
                  <times id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.5"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.6">
                    <partialdiff id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.1"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.2">𝑉</ci>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.7">
                    <partialdiff id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.3"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.4">𝑁</ci>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3">
                <divide id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.2">
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.2.4">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.2.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.2.4">superscript</csymbol>
                    <partialdiff id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.2.1"/>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.2.2.1">2</cn>
                  </apply>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.2.3">𝑈</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.3">
                  <times id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.3.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.3.5"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.3.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.3.6">
                    <partialdiff id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.3.1"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.3.2">𝑁</ci>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.3.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.3.7">
                    <partialdiff id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.3.3"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.3.4">𝑉</ci>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1">subscript</csymbol>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1.2">
                  <divide id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1.2"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.2">
                    <partialdiff id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.2.1"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.2.2">𝜇</ci>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.3">
                    <partialdiff id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.3.1"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.3.2">𝑉</ci>
                  </apply>
                </apply>
                <list id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1">
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.1">𝑆</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.3">𝑁</ci>
                </list>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2">
                <minus id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.1">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.1">subscript</csymbol>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.1.2">
                    <divide id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.2.1.2"/>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.2">
                      <partialdiff id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.2.1"/>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.2.2">𝑝</ci>
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                    <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.3">
                      <partialdiff id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.3.1"/>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.3.2">𝑁</ci>
                    </apply>
                  </apply>
                  <list id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.1">
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.1.1">𝑆</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.1.3">𝑉</ci>
                  </list>
                </apply>
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            </apply>
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          <cerror id="p1.1.m1.1.1k.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1l.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
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            <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6">⇔</ci>
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              <eq id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3"/>
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                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.2.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.2.4">superscript</csymbol>
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                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.5.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.5.2.2.1">2</cn>
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^{2}}U}{\partial N\partial S}\Leftrightarrow{{\left(\frac{\partial\mu}{%
\partial S}\right)}_{V,N}}={{\left(\frac{\partial T}{\partial N}\right)}_{S,V}%
}\\
&amp;\displaystyle\frac{{{\partial}^{2}}U}{\partial V\partial N}=\frac{{{\partial}%
^{2}}U}{\partial N\partial V}\Leftrightarrow{{\left(\frac{\partial\mu}{%
\partial V}\right)}_{S,N}}=-{{\left(\frac{\partial p}{\partial N}\right)}_{S,V%
}}\\
&amp;\displaystyle-\frac{{{\partial}^{2}}F}{\partial T\partial V}=-\frac{{{%
\partial}^{2}}F}{\partial V\partial T}\Leftrightarrow{{\left(\frac{\partial p}%
{\partial T}\right)}_{V,N}}={{\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)}_{T,N%
}}\\
\end{aligned}}}</annotation>
  </semantics>
</math>

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∂2U∂S∂V=∂2U∂V∂S⇔−(∂p∂S)V,N=(∂T∂V)S,N∂2U∂S∂N=∂2U∂N∂S⇔(∂μ∂S)V,N=(∂T∂N)S,V∂2U∂V∂N=∂2U∂N∂V⇔(∂μ∂V)S,N=−(∂p∂N)S,V−∂2F∂T∂V=−∂2F∂V∂T⇔(∂p∂T)V,N=(∂S∂V)T,N
<math class="mwe-math-element" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true" rowspacing="3pt"><mtr><mtd></mtd><mtd><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><msup><mi>&#x2202;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>2</mn></mrow></msup><mi>U</mi></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x2202;</mi><mi>S</mi><mi>&#x2202;</mi><mi>V</mi></mrow></mrow></mfrac></mrow><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><msup><mi>&#x2202;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>2</mn></mrow></msup><mi>U</mi></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow 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