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Display information for equation id:math.2468.15 on revision:2468

* Page found: Thermodynamische Potenziale (eq math.2468.15)

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TeX (original user input): 

\begin{align}
& dJ\left( T,V,\mu  \right)=TdS-pdV+\mu dN-TdS-SdT-\mu dN-Nd\mu =-pdV-SdT-Nd\mu  \\
& {{\left( \frac{\partial J}{\partial T} \right)}_{V,\mu }}=-S \\
& {{\left( \frac{\partial J}{\partial V} \right)}_{T,\mu }}=-p \\
& {{\left( \frac{\partial J}{\partial \mu } \right)}_{T,V}}=-N \\
\end{align}

TeX (checked): 

{\begin{aligned}&dJ\left(T,V,\mu \right)=TdS-pdV+\mu dN-TdS-SdT-\mu dN-Nd\mu =-pdV-SdT-Nd\mu \\&{{\left({\frac {\partial J}{\partial T}}\right)}_{V,\mu }}=-S\\&{{\left({\frac {\partial J}{\partial V}}\right)}_{T,\mu }}=-p\\&{{\left({\frac {\partial J}{\partial \mu }}\right)}_{T,V}}=-N\\\end{aligned}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (30.151 KB / 3.098 KB) :

d ⁢ J ⁢ ( T , V , μ ) = T ⁢ d ⁢ S - p ⁢ d ⁢ V + μ ⁢ d ⁢ N - T ⁢ d ⁢ S - S ⁢ d ⁢ T - μ ⁢ d ⁢ N - N ⁢ d ⁢ μ = - p ⁢ d ⁢ V - S ⁢ d ⁢ T - N ⁢ d ⁢ μ ( ∂ ⁡ J ∂ ⁡ T ) V , μ = - S ( ∂ ⁡ J ∂ ⁡ V ) T , μ = - p ( ∂ ⁡ J ∂ ⁡ μ ) T , V = - N missing-subexpression 𝑑 𝐽 𝑇 𝑉 𝜇 𝑇 𝑑 𝑆 𝑝 𝑑 𝑉 𝜇 𝑑 𝑁 𝑇 𝑑 𝑆 𝑆 𝑑 𝑇 𝜇 𝑑 𝑁 𝑁 𝑑 𝜇 𝑝 𝑑 𝑉 𝑆 𝑑 𝑇 𝑁 𝑑 𝜇 missing-subexpression subscript 𝐽 𝑇 𝑉 𝜇 𝑆 missing-subexpression subscript 𝐽 𝑉 𝑇 𝜇 𝑝 missing-subexpression subscript 𝐽 𝜇 𝑇 𝑉 𝑁 {\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &\displaystyle dJ\left(T,V,\mu% \right)=TdS-pdV+\mu dN-TdS-SdT-\mu dN-Nd\mu=-pdV-SdT-Nd\mu\\ &\displaystyle{{\left(\frac{\partial J}{\partial T}\right)}_{V,\mu}}=-S\\ &\displaystyle{{\left(\frac{\partial J}{\partial V}\right)}_{T,\mu}}=-p\\ &\displaystyle{{\left(\frac{\partial J}{\partial\mu}\right)}_{T,V}}=-N\\ \end{aligned}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &amp;\displaystyle dJ\left(T,V,\mu%&#10;\right)=TdS-pdV+\mu dN-TdS-SdT-\mu dN-Nd\mu=-pdV-SdT-Nd\mu\\&#10;&amp;\displaystyle{{\left(\frac{\partial J}{\partial T}\right)}_{V,\mu}}=-S\\&#10;&amp;\displaystyle{{\left(\frac{\partial J}{\partial V}\right)}_{T,\mu}}=-p\\&#10;&amp;\displaystyle{{\left(\frac{\partial J}{\partial\mu}\right)}_{T,V}}=-N\\&#10;\end{aligned}}}" display="inline">
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          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">d</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.1.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">J</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.2.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.2.1.cmml">(</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">T</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.2.1.cmml">,</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">V</mi>
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                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml">μ</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.2.1.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml">=</mo>
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                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml">S</mi>
                  </mrow>
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                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.1.1.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.cmml">p</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.1.1.2.1.cmml">⁢</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml">d</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.1.1.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.1.1.2.1.cmml">⁢</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.cmml">V</mi>
                  </mrow>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml">+</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.1.2.cmml">
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                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.1.2.1.cmml">⁢</mo>
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                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.1.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.1.2.1.cmml">⁢</mo>
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                </mrow>
              </mrow>
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                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.3.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.3.1.cmml">⁢</mo>
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              </mrow>
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                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.cmml">μ</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.4.1.cmml">⁢</mo>
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                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.4.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.4.1.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.cmml">N</mi>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22c" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.cmml">-</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.5.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.35" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.35.cmml">N</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.5.1.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.36" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.36.cmml">d</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.5.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.5.1.cmml">⁢</mo>
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              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.39" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.39.cmml">-</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54.1.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40.cmml">p</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54.1.1.1.cmml">⁢</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.41" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.41.cmml">d</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54.1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54.1.1.1.cmml">⁢</mo>
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                </mrow>
              </mrow>
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              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.cmml">S</mi>
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                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.46" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.46.cmml">T</mi>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43.cmml">-</mo>
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                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.cmml">N</mi>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21">𝑁</ci>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28">𝑑</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29">𝑇</ci>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.35.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.35">𝑁</ci>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40">𝑝</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.41.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.41">𝑑</ci>
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                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54.3">
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                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48">𝑁</ci>
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          </apply>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1e.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1f.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
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            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8">subscript</csymbol>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.2">𝐽</ci>
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                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3">
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                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.3.2">𝑇</ci>
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              <list id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1">
                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.1">𝑉</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.3">𝜇</ci>
              </list>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9">
              <minus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7">𝑆</ci>
            </apply>
          </apply>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1g.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1h.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1i.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1">
            <eq id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8">subscript</csymbol>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2">
                <divide id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.2">
                  <partialdiff id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.2.1"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.2.2">𝐽</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.3">
                  <partialdiff id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.3.1"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.3.2">𝑉</ci>
                </apply>
              </apply>
              <list id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.1">
                <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.1.1">𝑇</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.1.3">𝜇</ci>
              </list>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9">
              <minus id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7">𝑝</ci>
            </apply>
          </apply>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1j.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1k.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1l.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
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          <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1">
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              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.8">subscript</csymbol>
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                <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.1.1">𝑇</ci>
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            <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9">
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              <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7">𝑁</ci>
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        </matrixrow>
      </matrix>
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    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &amp;\displaystyle dJ\left(T,V,\mu%
\right)=TdS-pdV+\mu dN-TdS-SdT-\mu dN-Nd\mu=-pdV-SdT-Nd\mu\\
&amp;\displaystyle{{\left(\frac{\partial J}{\partial T}\right)}_{V,\mu}}=-S\\
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&amp;\displaystyle{{\left(\frac{\partial J}{\partial\mu}\right)}_{T,V}}=-N\\
\end{aligned}}}</annotation>
  </semantics>
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dJ(T,V,μ)=TdS−pdV+μdN−TdS−SdT−μdN−Ndμ=−pdV−SdT−Ndμ(∂J∂T)V,μ=−S(∂J∂V)T,μ=−p(∂J∂μ)T,V=−N
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