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Display information for equation id:math.2467.43 on revision:2467

* Page found: Thermodynamische Potenziale (eq math.2467.43)

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Hash: 9534020730b676b6d0d8f789b638bcc6

TeX (original user input): 

\begin{align}

& T{{\left( \frac{\partial S}{\partial T} \right)}_{V}}dT+T{{\left( \frac{\partial S}{\partial V} \right)}_{T}}dV={{\left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)}_{V}}dT+\left[ {{\left( \frac{\partial U}{\partial V} \right)}_{T}}+p \right]dV \\

& \Rightarrow {{\left( \frac{\partial S}{\partial T} \right)}_{V}}=\frac{1}{T}{{\left( \frac{\partial U}{\partial T} \right)}_{V}} \\

& {{\left( \frac{\partial S}{\partial V} \right)}_{T}}=\frac{1}{T}{{\left( \frac{\partial U}{\partial V} \right)}_{T}}+\frac{p}{T} \\

& \Rightarrow {{\left( \frac{\partial U}{\partial V} \right)}_{T}}=T{{\left( \frac{\partial S}{\partial V} \right)}_{T}}-p \\

\end{align}

TeX (checked): 

{\begin{aligned}&T{{\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)}_{V}}dT+T{{\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)}_{T}}dV={{\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)}_{V}}dT+\left[{{\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)}_{T}}+p\right]dV\\&\Rightarrow {{\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)}_{V}}={\frac {1}{T}}{{\left({\frac {\partial U}{\partial T}}\right)}_{V}}\\&{{\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)}_{T}}={\frac {1}{T}}{{\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)}_{T}}+{\frac {p}{T}}\\&\Rightarrow {{\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)}_{T}}=T{{\left({\frac {\partial S}{\partial V}}\right)}_{T}}-p\\\end{aligned}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (44.11 KB / 4.518 KB) :

T ⁢ ( ∂ ⁡ S ∂ ⁡ T ) V ⁢ d ⁢ T + T ⁢ ( ∂ ⁡ S ∂ ⁡ V ) T ⁢ d ⁢ V = ( ∂ ⁡ U ∂ ⁡ T ) V ⁢ d ⁢ T + [ ( ∂ ⁡ U ∂ ⁡ V ) T + p ] ⁢ d ⁢ V ⇒ ( ∂ ⁡ S ∂ ⁡ T ) V = 1 T ⁢ ( ∂ ⁡ U ∂ ⁡ T ) V ( ∂ ⁡ S ∂ ⁡ V ) T = 1 T ⁢ ( ∂ ⁡ U ∂ ⁡ V ) T + p T ⇒ ( ∂ ⁡ U ∂ ⁡ V ) T = T ⁢ ( ∂ ⁡ S ∂ ⁡ V ) T - p absent 𝑇 subscript 𝑆 𝑇 𝑉 𝑑 𝑇 𝑇 subscript 𝑆 𝑉 𝑇 𝑑 𝑉 subscript 𝑈 𝑇 𝑉 𝑑 𝑇 delimited-[] subscript 𝑈 𝑉 𝑇 𝑝 𝑑 𝑉 absent ⇒ absent subscript 𝑆 𝑇 𝑉 1 𝑇 subscript 𝑈 𝑇 𝑉 absent subscript 𝑆 𝑉 𝑇 1 𝑇 subscript 𝑈 𝑉 𝑇 𝑝 𝑇 absent ⇒ absent subscript 𝑈 𝑉 𝑇 𝑇 subscript 𝑆 𝑉 𝑇 𝑝 {\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&\displaystyle T{{\left(\frac{% \partial S}{\partial T}\right)}_{V}}dT+T{{\left(\frac{\partial S}{\partial V}% \right)}_{T}}dV={{\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)}_{V}}dT+\left[{{% \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_{T}}+p\right]dV\\ \par&\displaystyle\Rightarrow{{\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)}_{V}% }=\frac{1}{T}{{\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)}_{V}}\\ \par&\displaystyle{{\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)}_{T}}=\frac{1}{% T}{{\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_{T}}+\frac{p}{T}\\ \par&\displaystyle\Rightarrow{{\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_{T}% }=T{{\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)}_{T}}-p\\ \par\end{aligned}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&amp;\displaystyle T{{\left(\frac{%&#10;\partial S}{\partial T}\right)}_{V}}dT+T{{\left(\frac{\partial S}{\partial V}%&#10;\right)}_{T}}dV={{\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)}_{V}}dT+\left[{{%&#10;\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_{T}}+p\right]dV\\&#10;\par&amp;\displaystyle\Rightarrow{{\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)}_{V}%&#10;}=\frac{1}{T}{{\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)}_{V}}\\&#10;\par&amp;\displaystyle{{\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)}_{T}}=\frac{1}{%&#10;T}{{\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_{T}}+\frac{p}{T}\\&#10;\par&amp;\displaystyle\Rightarrow{{\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_{T}%&#10;}=T{{\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)}_{T}}-p\\&#10;\par\end{aligned}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mtable columnspacing="0pt" rowspacing="0pt" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
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        <mtd id="p1.1.m1.1.1b" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"/>
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            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.cmml">
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                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">T</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.1.1.cmml">⁢</mo>
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                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml">(</mo>
                    <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml">
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                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.3.cmml">
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.3.1.cmml">∂</mo>
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                          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.3.2.cmml">T</mi>
                        </mrow>
                      </mfrac>
                    </mstyle>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1.cmml">V</mi>
                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.1.1.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">d</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.1.1b" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.1.1.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.cmml">T</mi>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml">+</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">T</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.1.cmml">⁢</mo>
                <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.2.cmml">
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                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.cmml">(</mo>
                    <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.cmml">
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                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.2.cmml">
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                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.3.1.cmml">∂</mo>
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                          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.3.2.cmml">V</mi>
                        </mrow>
                      </mfrac>
                    </mstyle>
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                  </mrow>
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                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.1b" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.1.cmml">⁢</mo>
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              </mrow>
            </mrow>
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                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.35.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml">(</mo>
                    <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml">
                      <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml">
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.cmml">
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.1.cmml">∂</mo>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.cmml">⁡</mo>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.2.2.cmml">U</mi>
                        </mrow>
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                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.3.cmml">⁡</mo>
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                        </mrow>
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              </mrow>
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                  </mrow>
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                </mrow>
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                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.3.2.cmml">T</mi>
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              </mrow>
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              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml">
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                  </mfrac>
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                    <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.cmml">
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                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14">𝑑</ci>
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                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.35.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.35.1.2">subscript</csymbol>
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                    </apply>
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                  </apply>
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                  <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.35.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24">delimited-[]</csymbol>
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                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.35.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.35.2.2.2.1">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.35.2.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.35.2.2.2.1">subscript</csymbol>
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                    </apply>
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                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32">𝑑</ci>
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        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1">absent</csymbol>
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              <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13">absent</csymbol>
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                </apply>
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                </apply>
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        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.1.1">absent</csymbol>
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              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13">subscript</csymbol>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.2.2">𝑆</ci>
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