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Display information for equation id:math.2467.15 on revision:2467

* Page found: Thermodynamische Potenziale (eq math.2467.15)

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Hash: d0b997adeb5a24bb186cf80dcf88d36f

TeX (original user input): 

\begin{align}
*   & dJ\left( T,V,\mu  \right)=TdS-pdV+\mu dN-TdS-SdT-\mu dN-Nd\mu =-pdV-SdT-Nd\mu  \\
*  & {{\left( \frac{\partial J}{\partial T} \right)}_{V,\mu }}=-S \\
*  & {{\left( \frac{\partial J}{\partial V} \right)}_{T,\mu }}=-p \\
*  & {{\left( \frac{\partial J}{\partial \mu } \right)}_{T,V}}=-N \\
* \end{align}

TeX (checked): 

{\begin{aligned}*&dJ\left(T,V,\mu \right)=TdS-pdV+\mu dN-TdS-SdT-\mu dN-Nd\mu =-pdV-SdT-Nd\mu \\*&{{\left({\frac {\partial J}{\partial T}}\right)}_{V,\mu }}=-S\\*&{{\left({\frac {\partial J}{\partial V}}\right)}_{T,\mu }}=-p\\*&{{\left({\frac {\partial J}{\partial \mu }}\right)}_{T,V}}=-N\\*\end{aligned}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (30.646 KB / 3.166 KB) :

* d ⁢ J ⁢ ( T , V , μ ) = T ⁢ d ⁢ S - p ⁢ d ⁢ V + μ ⁢ d ⁢ N - T ⁢ d ⁢ S - S ⁢ d ⁢ T - μ ⁢ d ⁢ N - N ⁢ d ⁢ μ = - p ⁢ d ⁢ V - S ⁢ d ⁢ T - N ⁢ d ⁢ μ * ( ∂ ⁡ J ∂ ⁡ T ) V , μ = - S * ( ∂ ⁡ J ∂ ⁡ V ) T , μ = - p * ( ∂ ⁡ J ∂ ⁡ μ ) T , V = - N * 𝑑 𝐽 𝑇 𝑉 𝜇 𝑇 𝑑 𝑆 𝑝 𝑑 𝑉 𝜇 𝑑 𝑁 𝑇 𝑑 𝑆 𝑆 𝑑 𝑇 𝜇 𝑑 𝑁 𝑁 𝑑 𝜇 𝑝 𝑑 𝑉 𝑆 𝑑 𝑇 𝑁 𝑑 𝜇 subscript 𝐽 𝑇 𝑉 𝜇 𝑆 subscript 𝐽 𝑉 𝑇 𝜇 𝑝 subscript 𝐽 𝜇 𝑇 𝑉 𝑁 {\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \displaystyle*&\displaystyle dJ% \left(T,V,\mu\right)=TdS-pdV+\mu dN-TdS-SdT-\mu dN-Nd\mu=-pdV-SdT-Nd\mu\\ \displaystyle*&\displaystyle{{\left(\frac{\partial J}{\partial T}\right)}_{V,% \mu}}=-S\\ \displaystyle*&\displaystyle{{\left(\frac{\partial J}{\partial V}\right)}_{T,% \mu}}=-p\\ \displaystyle*&\displaystyle{{\left(\frac{\partial J}{\partial\mu}\right)}_{T,% V}}=-N\\ \displaystyle*\end{aligned}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \displaystyle*&amp;\displaystyle dJ%&#10;\left(T,V,\mu\right)=TdS-pdV+\mu dN-TdS-SdT-\mu dN-Nd\mu=-pdV-SdT-Nd\mu\\&#10;\displaystyle*&amp;\displaystyle{{\left(\frac{\partial J}{\partial T}\right)}_{V,%&#10;\mu}}=-S\\&#10;\displaystyle*&amp;\displaystyle{{\left(\frac{\partial J}{\partial V}\right)}_{T,%&#10;\mu}}=-p\\&#10;\displaystyle*&amp;\displaystyle{{\left(\frac{\partial J}{\partial\mu}\right)}_{T,%&#10;V}}=-N\\&#10;\displaystyle*\end{aligned}}}" display="inline">
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        </mtd>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">d</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.1.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">J</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.2.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.2.1.cmml">(</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">T</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.2.1.cmml">,</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">V</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.2.1.cmml">,</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml">μ</mi>
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              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml">=</mo>
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                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.1.1.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.cmml">T</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.1.1.1.1.cmml">⁢</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml">d</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.1.1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.1.1.1.1.cmml">⁢</mo>
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                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.cmml">-</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.1.1.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.cmml">p</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.1.1.2.1.cmml">⁢</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml">d</mi>
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                  </mrow>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml">+</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.1.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.cmml">μ</mi>
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                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.cmml">d</mi>
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                </mrow>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.cmml">-</mo>
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              </mrow>
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              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.3.cmml">
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                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.cmml">d</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.3.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.3.1.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.cmml">T</mi>
              </mrow>
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              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.4.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.cmml">μ</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.4.1.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.cmml">d</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.4.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.4.1.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.cmml">N</mi>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22c" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.cmml">-</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.5.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.35" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.35.cmml">N</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.5.1.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.36" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.36.cmml">d</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.5.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.5.1.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.cmml">μ</mi>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.39" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.39.cmml">-</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54.1.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40.cmml">p</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54.1.1.1.cmml">⁢</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.41" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.41.cmml">d</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54.1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54.1.1.1.cmml">⁢</mo>
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                </mrow>
              </mrow>
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              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.cmml">S</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54.2.1.cmml">⁢</mo>
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                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.46" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.46.cmml">T</mi>
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              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43.cmml">-</mo>
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              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8">subscript</csymbol>
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            <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9">
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          <times id="p1.1.m1.1.1.5.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.1.1"/>
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\mu}}=-p\\
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V}}=-N\\
\displaystyle*\end{aligned}}}</annotation>
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*dJ(T,V,μ)=TdS−pdV+μdN−TdS−SdT−μdN−Ndμ=−pdV−SdT−Ndμ*(∂J∂T)V,μ=−S*(∂J∂V)T,μ=−p*(∂J∂μ)T,V=−N*
<math class="mwe-math-element" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true" rowspacing="3pt"><mtr><mtd><mo>*</mo></mtd><mtd><mi>d</mi><mi>J</mi><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mi>T</mi><mo>,</mo><mi>V</mi><mo>,</mo><mi>&#x03BC;</mi><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mo>=</mo><mi>T</mi><mi>d</mi><mi>S</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>p</mi><mi>d</mi><mi>V</mi><mo>+</mo><mi>&#x03BC;</mi><mi>d</mi><mi>N</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>T</mi><mi>d</mi><mi>S</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>S</mi><mi>d</mi><mi>T</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>&#x03BC;</mi><mi>d</mi><mi>N</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>N</mi><mi>d</mi><mi>&#x03BC;</mi><mo>=</mo><mo>&#x2212;</mo><mi>p</mi><mi>d</mi><mi>V</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>S</mi><mi>d</mi><mi>T</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>N</mi><mi>d</mi><mi>&#x03BC;</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>*</mo></mtd><mtd><msub><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x2202;</mi><mi>J</mi></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x2202;</mi><mi>T</mi></mrow></mrow></mfrac></mrow><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>V</mi><mo>,</mo><mi>&#x03BC;</mi></mrow></mrow></msub><mo>=</mo><mo>&#x2212;</mo><mi>S</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>*</mo></mtd><mtd><msub><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x2202;</mi><mi>J</mi></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x2202;</mi><mi>V</mi></mrow></mrow></mfrac></mrow><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>T</mi><mo>,</mo><mi>&#x03BC;</mi></mrow></mrow></msub><mo>=</mo><mo>&#x2212;</mo><mi>p</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>*</mo></mtd><mtd><msub><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x2202;</mi><mi>J</mi></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x2202;</mi><mi>&#x03BC;</mi></mrow></mrow></mfrac></mrow><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>T</mi><mo>,</mo><mi>V</mi></mrow></mrow></msub><mo>=</mo><mo>&#x2212;</mo><mi>N</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>*</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow></math>

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