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Display information for equation id:math.2465.17 on revision:2465

* Page found: Entropie und Ökologie (eq math.2465.17)

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\begin{align}

& \Rightarrow {{S}_{mix}}={{S}_{nach}}-{{S}_{vor}}=-k\sum\limits_{i=1}^{3}{{}}{{N}_{i}}\ln \frac{{{N}_{i}}}{N}=-k\left( \sum\limits_{i=1}^{3}{{}}{{N}_{i}}\ln {{N}_{i}}-N\ln N \right)\approx -k\left( \sum\limits_{i=1}^{3}{{}}\ln {{N}_{i}}!-\ln N! \right) \\

& =k\ln \left( \frac{N!}{{{N}_{g}}!{{N}_{m}}!{{N}_{J}}!} \right) \\

& \frac{N!}{{{N}_{g}}!{{N}_{m}}!{{N}_{J}}!}=\Omega  \\

\end{align}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (45.276 KB / 4.681 KB) :

⇒ S m ⁢ i ⁢ x = S n ⁢ a ⁢ c ⁢ h - S v ⁢ o ⁢ r = - k ⁢ ∑ i = 1 3 N i ⁢ ln ⁡ N i N = - k ⁢ ( ∑ i = 1 3 N i ⁢ ln ⁡ N i - N ⁢ ln ⁡ N ) ≈ - k ⁢ ( ∑ i = 1 3 ln ⁡ N i ! - ln ⁡ N ! ) = k ⁢ ln ⁡ ( N ! N g ! ⁢ N m ! ⁢ N J ! ) N ! N g ! ⁢ N m ! ⁢ N J ! = Ω absent ⇒ absent subscript 𝑆 𝑚 𝑖 𝑥 subscript 𝑆 𝑛 𝑎 𝑐 ℎ subscript 𝑆 𝑣 𝑜 𝑟 𝑘 superscript subscript 𝑖 1 3 subscript 𝑁 𝑖 subscript 𝑁 𝑖 𝑁 𝑘 superscript subscript 𝑖 1 3 subscript 𝑁 𝑖 subscript 𝑁 𝑖 𝑁 𝑁 𝑘 superscript subscript 𝑖 1 3 subscript 𝑁 𝑖 𝑁 absent absent 𝑘 𝑁 subscript 𝑁 𝑔 subscript 𝑁 𝑚 subscript 𝑁 𝐽 absent 𝑁 subscript 𝑁 𝑔 subscript 𝑁 𝑚 subscript 𝑁 𝐽 Ω {\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&\displaystyle\Rightarrow{{S}_% {mix}}={{S}_{nach}}-{{S}_{vor}}=-k\sum\limits_{i=1}^{3}{{}}{{N}_{i}}\ln\frac{{% {N}_{i}}}{N}=-k\left(\sum\limits_{i=1}^{3}{{}}{{N}_{i}}\ln{{N}_{i}}-N\ln N% \right)\approx-k\left(\sum\limits_{i=1}^{3}{{}}\ln{{N}_{i}}!-\ln N!\right)\\ \par&\displaystyle=k\ln\left(\frac{N!}{{{N}_{g}}!{{N}_{m}}!{{N}_{J}}!}\right)% \\ \par&\displaystyle\frac{N!}{{{N}_{g}}!{{N}_{m}}!{{N}_{J}}!}=\Omega\\ \par\end{aligned}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&amp;\displaystyle\Rightarrow{{S}_%&#10;{mix}}={{S}_{nach}}-{{S}_{vor}}=-k\sum\limits_{i=1}^{3}{{}}{{N}_{i}}\ln\frac{{%&#10;{N}_{i}}}{N}=-k\left(\sum\limits_{i=1}^{3}{{}}{{N}_{i}}\ln{{N}_{i}}-N\ln N%&#10;\right)\approx-k\left(\sum\limits_{i=1}^{3}{{}}\ln{{N}_{i}}!-\ln N!\right)\\&#10;\par&amp;\displaystyle=k\ln\left(\frac{N!}{{{N}_{g}}!{{N}_{m}}!{{N}_{J}}!}\right)%&#10;\\&#10;\par&amp;\displaystyle\frac{N!}{{{N}_{g}}!{{N}_{m}}!{{N}_{J}}!}=\Omega\\&#10;\par\end{aligned}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mtable columnspacing="0pt" rowspacing="0pt" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
      <mtr id="p1.1.m1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1b" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"/>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1c" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">⇒</mo>
            <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.55" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.55.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">S</mi>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.1.cmml">m</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.4.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2.cmml">i</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.4a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.4.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.3.cmml">x</mi>
              </mrow>
            </msub>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.56" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.56.cmml">
              <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.56.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.56.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml">S</mi>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.1.cmml">n</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.5.cmml">⁢</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.2.cmml">a</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.5a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.5.cmml">⁢</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.3.cmml">c</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.5b" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.5.cmml">⁢</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.4.cmml">h</mi>
                </mrow>
              </msub>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.cmml">-</mo>
              <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.56.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.56.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml">S</mi>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.1.1.cmml">v</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.1.4.cmml">⁢</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.1.2.cmml">o</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.1.4a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.1.4.cmml">⁢</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.1.3.cmml">r</mi>
                </mrow>
              </msub>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.cmml">-</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml">k</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.2.cmml">
                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.2.1.cmml">
                    <munderover id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.2.1.cmml">
                      <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml">∑</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.1.cmml">i</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.2.cmml">=</mo>
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.3.cmml">1</mn>
                      </mrow>
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.1.cmml">3</mn>
                    </munderover>
                  </mstyle>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.2.2.cmml">
                    <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.2.2.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml">N</mi>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.1.cmml">i</mi>
                    </msub>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.2.2.3.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml">ln</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.2.2.3a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.2.2.3.cmml">⁡</mo>
                      <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.cmml">
                        <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.cmml">
                          <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.1.cmml">N</mi>
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.1.cmml">i</mi>
                          </msub>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.3.cmml">N</mi>
                        </mfrac>
                      </mstyle>
                    </mrow>
                  </mrow>
                </mrow>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.cmml">-</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.cmml">k</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.cmml">(</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.1.cmml">
                      <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.1.1.cmml">
                        <munderover id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.1.1.cmml">
                          <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.cmml">∑</mo>
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.1.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.1.1.cmml">i</mi>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.1.2.cmml">=</mo>
                            <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.1.3.cmml">1</mn>
                          </mrow>
                          <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.1.cmml">3</mn>
                        </munderover>
                      </mstyle>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.1.2.cmml">
                        <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.1.2.2.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.cmml">N</mi>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.cmml">i</mi>
                        </msub>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.1.2.1.cmml">⁢</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.1.2.3.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.cmml">ln</mi>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.1.2.3a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.1.2.3.cmml">⁡</mo>
                          <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.1.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.1.2.3.1.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.cmml">N</mi>
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.cmml">i</mi>
                          </msub>
                        </mrow>
                      </mrow>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.cmml">-</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.cmml">N</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.2.2.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.cmml">ln</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.2.2.cmml">⁡</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.35" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.35.cmml">N</mi>
                      </mrow>
                    </mrow>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.36" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.cmml">)</mo>
                </mrow>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.cmml">≈</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.cmml">-</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.39" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.39.cmml">k</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.2.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.2.cmml">(</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.2.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.2.1.cmml">
                      <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.2.1.1.cmml">
                        <munderover id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.2.1.1.cmml">
                          <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.41" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.41.cmml">∑</mo>
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.1.cmml">i</mi>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.2.cmml">=</mo>
                            <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.3.cmml">1</mn>
                          </mrow>
                          <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43.1.cmml">3</mn>
                        </munderover>
                      </mstyle>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.2.1.2.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.cmml">ln</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.2.1.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.2.1.2.cmml">⁡</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.2.1.2.1.cmml">
                          <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.2.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.2.1.2.1.1.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.45" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.45.cmml">N</mi>
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.46.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.46.1.cmml">i</mi>
                          </msub>
                          <mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47.cmml">!</mo>
                        </mrow>
                      </mrow>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.cmml">-</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.2.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.49" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.49.cmml">ln</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.2.2.cmml">⁡</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.2.2.1.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.cmml">N</mi>
                        <mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.cmml">!</mo>
                      </mrow>
                    </mrow>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.2.cmml">)</mo>
                </mrow>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1d" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1e" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml"/>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1f" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">k</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.2.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml">ln</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.2.1.cmml">⁡</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.2.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.2.1.cmml">(</mo>
                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml">
                    <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml">
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.1.cmml">N</mi>
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                      </mrow>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.cmml">
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                          <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.11.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.11.1.cmml">
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                          </msub>
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                        </mrow>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.10.cmml">⁢</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.12.cmml">
                          <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.12.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.12.1.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.4.cmml">N</mi>
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                          </msub>
                          <mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.6.cmml">!</mo>
                        </mrow>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.10a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.10.cmml">⁢</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.13" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.13.cmml">
                          <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.13.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.13.1.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.7.cmml">N</mi>
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.8.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.8.1.cmml">J</mi>
                          </msub>
                          <mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.3.9.cmml">!</mo>
                        </mrow>
                      </mrow>
                    </mfrac>
                  </mstyle>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.2.1.cmml">)</mo>
                </mrow>
              </mrow>
            </mrow>
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      </mtr>
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        <mtd id="p1.1.m1.1.1h" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.1.1.cmml"/>
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        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1i" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml">
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.2.1.cmml">N</mi>
                  <mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.2.2.cmml">!</mo>
                </mrow>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.11" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.11.cmml">
                    <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.11.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.11.1.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.1.cmml">N</mi>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.2.1.cmml">g</mi>
                    </msub>
                    <mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.3.cmml">!</mo>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.10" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.10.cmml">⁢</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.12" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.12.cmml">
                    <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.12.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.12.1.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.4.cmml">N</mi>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.5.1.cmml">m</mi>
                    </msub>
                    <mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.6" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.6.cmml">!</mo>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.10a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.10.cmml">⁢</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.13" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.13.cmml">
                    <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.13.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.13.1.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.7" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.7.cmml">N</mi>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.8.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.8.1.cmml">J</mi>
                    </msub>
                    <mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.9" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.3.9.cmml">!</mo>
                  </mrow>
                </mrow>
              </mfrac>
            </mstyle>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.cmml">=</mo>
            <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.cmml">Ω</mi>
          </mrow>
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                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.55.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.55">subscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2">𝑆</ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1">
                  <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.4"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.1">𝑚</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2">𝑖</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.3">𝑥</ci>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
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              <eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4"/>
              <share href="#p1.1.m1.1.1.1.2.1.55.cmml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1"/>
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                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.56.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.56.1">subscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5">𝑆</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1">
                    <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.5"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.1">𝑛</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.2">𝑎</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.3">𝑐</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.4">ℎ</ci>
                  </apply>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.56.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.56.2">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.56.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.56.2">subscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8">𝑆</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.1">
                    <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.1.4"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.1.1">𝑣</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.1.2">𝑜</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.1.3">𝑟</ci>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
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              <share href="#p1.1.m1.1.1.1.2.1.56.cmml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1f.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1"/>
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                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1">
                  <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.1"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12">𝑘</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.2">
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.2.1">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.2.1">superscript</csymbol>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.2.1">
                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.2.1">subscript</csymbol>
                        <sum id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13"/>
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                          <eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.2"/>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.1">𝑖</ci>
                          <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.3">1</cn>
                        </apply>
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                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.1">3</cn>
                    </apply>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.2.2">
                      <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.2.2.1"/>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.2.2.2">
                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.2.2.2">subscript</csymbol>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16">𝑁</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.1">𝑖</ci>
                      </apply>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.2.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.2.2.3">
                        <ln id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18"/>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19">
                          <divide id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19"/>
                          <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2">
                            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2">subscript</csymbol>
                            <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.1">𝑁</ci>
                            <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.2.1">𝑖</ci>
                          </apply>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.3">𝑁</ci>
                        </apply>
                      </apply>
                    </apply>
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              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1g.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20"/>
              <share href="#p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.cmml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1h.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58">
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                  <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.1"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22">𝑘</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2">
                    <minus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32"/>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.1">
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.1.1">
                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.1.1">superscript</csymbol>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.1.1">
                          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.1.1">subscript</csymbol>
                          <sum id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24"/>
                          <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.1">
                            <eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.1.2"/>
                            <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.1.1">𝑖</ci>
                            <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.1.3">1</cn>
                          </apply>
                        </apply>
                        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.1">3</cn>
                      </apply>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.1.2">
                        <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.1.2.1"/>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.1.2.2">
                          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.1.2.2">subscript</csymbol>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27">𝑁</ci>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1">𝑖</ci>
                        </apply>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.1.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.1.2.3">
                          <ln id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29"/>
                          <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.1.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.1.2.3.1">
                            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.1.2.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.1.2.3.1">subscript</csymbol>
                            <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30">𝑁</ci>
                            <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1">𝑖</ci>
                          </apply>
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                    </apply>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.2">
                      <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.2.1"/>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33">𝑁</ci>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.2.2">
                        <ln id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34"/>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.35.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.35">𝑁</ci>
                      </apply>
                    </apply>
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              <approx id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37"/>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.39.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.39">𝑘</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2">
                    <minus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48"/>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.2.1">
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.2.1.1">
                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.2.1.1">superscript</csymbol>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.2.1.1">
                          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.2.1.1">subscript</csymbol>
                          <sum id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.41.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.41"/>
                          <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1">
                            <eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.2"/>
                            <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.1">𝑖</ci>
                            <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.3">1</cn>
                          </apply>
                        </apply>
                        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43.1">3</cn>
                      </apply>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.2.1.2">
                        <ln id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44"/>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.2.1.2.1">
                          <factorial id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47"/>
                          <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.2.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.2.1.2.1.1">
                            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.2.1.2.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.2.1.2.1.1">subscript</csymbol>
                            <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.45.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.45">𝑁</ci>
                            <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.46.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.46.1">𝑖</ci>
                          </apply>
                        </apply>
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    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&amp;\displaystyle\Rightarrow{{S}_%
{mix}}={{S}_{nach}}-{{S}_{vor}}=-k\sum\limits_{i=1}^{3}{{}}{{N}_{i}}\ln\frac{{%
{N}_{i}}}{N}=-k\left(\sum\limits_{i=1}^{3}{{}}{{N}_{i}}\ln{{N}_{i}}-N\ln N%
\right)\approx-k\left(\sum\limits_{i=1}^{3}{{}}\ln{{N}_{i}}!-\ln N!\right)\\
\par&amp;\displaystyle=k\ln\left(\frac{N!}{{{N}_{g}}!{{N}_{m}}!{{N}_{J}}!}\right)%
\\
\par&amp;\displaystyle\frac{N!}{{{N}_{g}}!{{N}_{m}}!{{N}_{J}}!}=\Omega\\
\par\end{aligned}}}</annotation>
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⇒ S m i x = S n a c h − S v o r = − k ∑ i = 1 3 N i ln ⁡ N i N = − k ( ∑ i = 1 3 N i ln ⁡ N i − N ln ⁡ N ) ≈ − k ( ∑ i = 1 3 ln ⁡ N i ! − ln ⁡ N ! ) = k ln ⁡ ( N ! N g ! N m ! N J ! ) N ! N g ! N m ! N J ! = Ω {\displaystyle {\begin{aligned}&\Rightarrow {{S}_{mix}}={{S}_{nach}}-{{S}_{vor}}=-k\sum \limits _{i=1}^{3}{}{{N}_{i}}\ln {\frac {{N}_{i}}{N}}=-k\left(\sum \limits _{i=1}^{3}{}{{N}_{i}}\ln {{N}_{i}}-N\ln N\right)\approx -k\left(\sum \limits _{i=1}^{3}{}\ln {{N}_{i}}!-\ln N!\right)\\&=k\ln \left({\frac {N!}{{{N}_{g}}!{{N}_{m}}!{{N}_{J}}!}}\right)\\&{\frac {N!}{{{N}_{g}}!{{N}_{m}}!{{N}_{J}}!}}=\Omega \\\end{aligned}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}&amp;\Rightarrow {{S}_{mix}}={{S}_{nach}}-{{S}_{vor}}=-k\sum \limits _{i=1}^{3}{}{{N}_{i}}\ln {\frac {{N}_{i}}{N}}=-k\left(\sum \limits _{i=1}^{3}{}{{N}_{i}}\ln {{N}_{i}}-N\ln N\right)\approx -k\left(\sum \limits _{i=1}^{3}{}\ln {{N}_{i}}!-\ln N!\right)\\&amp;=k\ln \left({\frac {N!}{{{N}_{g}}!{{N}_{m}}!{{N}_{J}}!}}\right)\\&amp;{\frac {N!}{{{N}_{g}}!{{N}_{m}}!{{N}_{J}}!}}=\Omega \\\end{aligned}}}">
  <semantics>
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                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <mi>v</mi>
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                    </mrow>
                  </msub>
                </mrow>
                <mo>=</mo>
                <mo>&#x2212;<!-- − --></mo>
                <mi>k</mi>
                <munderover>
                  <mo movablelimits="false">&#x2211;<!-- ∑ --></mo>
                  <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                    <mi>i</mi>
                    <mo>=</mo>
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                  </mrow>
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                  </mrow>
                </munderover>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">

                </mrow>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <msub>
                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <mi>N</mi>
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                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <mi>i</mi>
                    </mrow>
                  </msub>
                </mrow>
                <mi>ln</mi>
                <mo>&#x2061;<!-- ⁡ --></mo>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <mfrac>
                    <msub>
                      <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                        <mi>N</mi>
                      </mrow>
                      <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                        <mi>i</mi>
                      </mrow>
                    </msub>
                    <mi>N</mi>
                  </mfrac>
                </mrow>
                <mo>=</mo>
                <mo>&#x2212;<!-- − --></mo>
                <mi>k</mi>
                <mrow>
                  <mo>(</mo>
                  <mrow>
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                      <mo movablelimits="false">&#x2211;<!-- ∑ --></mo>
                      <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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                      </mrow>
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                        <mn>3</mn>
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                    </munderover>
                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">

                    </mrow>
                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <msub>
                        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                          <mi>N</mi>
                        </mrow>
                        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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                        </mrow>
                      </msub>
                    </mrow>
                    <mi>ln</mi>
                    <mo>&#x2061;<!-- ⁡ --></mo>
                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <msub>
                        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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                          <mi>i</mi>
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                      </msub>
                    </mrow>
                    <mo>&#x2212;<!-- − --></mo>
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                  <mo>)</mo>
                </mrow>
                <mo>&#x2248;<!-- ≈ --></mo>
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                  <mo>(</mo>
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                      <mo movablelimits="false">&#x2211;<!-- ∑ --></mo>
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                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">

                    </mrow>
                    <mi>ln</mi>
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                    </mrow>
                    <mo>!</mo>
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                  <mo>)</mo>
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              </mtd>
            </mtr>
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              <mtd>
                <mi></mi>
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                  <mo>(</mo>
                  <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                    <mfrac>
                      <mrow>
                        <mi>N</mi>
                        <mo>!</mo>
                      </mrow>
                      <mrow>
                        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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                        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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                        </mrow>
                        <mo>!</mo>
                        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                          <msub>
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                            <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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                          </msub>
                        </mrow>
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                </mrow>
              </mtd>
            </mtr>
            <mtr>
              <mtd />
              <mtd>
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                    <mrow>
                      <mi>N</mi>
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                    </mrow>
                    <mrow>
                      <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                        <msub>
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                          </mrow>
                        </msub>
                      </mrow>
                      <mo>!</mo>
                      <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                        <msub>
                          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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                          </mrow>
                          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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                        </msub>
                      </mrow>
                      <mo>!</mo>
                      <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                        <msub>
                          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                            <mi>N</mi>
                          </mrow>
                          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                            <mi>J</mi>
                          </mrow>
                        </msub>
                      </mrow>
                      <mo>!</mo>
                    </mrow>
                  </mfrac>
                </mrow>
                <mo>=</mo>
                <mi mathvariant="normal">&#x03A9;<!-- Ω --></mi>
              </mtd>
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    <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}&amp;\Rightarrow {{S}_{mix}}={{S}_{nach}}-{{S}_{vor}}=-k\sum \limits _{i=1}^{3}{}{{N}_{i}}\ln {\frac {{N}_{i}}{N}}=-k\left(\sum \limits _{i=1}^{3}{}{{N}_{i}}\ln {{N}_{i}}-N\ln N\right)\approx -k\left(\sum \limits _{i=1}^{3}{}\ln {{N}_{i}}!-\ln N!\right)\\&amp;=k\ln \left({\frac {N!}{{{N}_{g}}!{{N}_{m}}!{{N}_{J}}!}}\right)\\&amp;{\frac {N!}{{{N}_{g}}!{{N}_{m}}!{{N}_{J}}!}}=\Omega \\\end{aligned}}}</annotation>
  </semantics>
</math>

SVG (24.643 KB / 8.133 KB) :

{\displaystyle {\begin{aligned}&\Rightarrow {{S}_{mix}}={{S}_{nach}}-{{S}_{vor}}=-k\sum \limits _{i=1}^{3}{}{{N}_{i}}\ln {\frac {{N}_{i}}{N}}=-k\left(\sum \limits _{i=1}^{3}{}{{N}_{i}}\ln {{N}_{i}}-N\ln N\right)\approx -k\left(\sum \limits _{i=1}^{3}{}\ln {{N}_{i}}!-\ln N!\right)\\&=k\ln \left({\frac {N!}{{{N}_{g}}!{{N}_{m}}!{{N}_{J}}!}}\right)\\&{\frac {N!}{{{N}_{g}}!{{N}_{m}}!{{N}_{J}}!}}=\Omega \\\end{aligned}}}

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