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Display information for equation id:math.2465.15 on revision:2465

* Page found: Entropie und Ökologie (eq math.2465.15)

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\begin{align}

& {{S}_{mix}}={{S}_{nach}}-{{S}_{vor}}=-k\sum\limits_{i=1}^{3}{{}}{{N}_{i}}\left( \ln \frac{1}{N}-\ln \frac{1}{{{N}_{i}}} \right)=-k\sum\limits_{i=1}^{3}{{}}{{N}_{i}}\ln \frac{{{N}_{i}}}{N} \\

& \frac{{{N}_{i}}}{N}<1 \\

& \Rightarrow {{S}_{mix}}>0 \\

\end{align}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (29.123 KB / 3.222 KB) :

S m ⁢ i ⁢ x = S n ⁢ a ⁢ c ⁢ h - S v ⁢ o ⁢ r = - k ⁢ ∑ i = 1 3 N i ⁢ ( ln ⁡ 1 N - ln ⁡ 1 N i ) = - k ⁢ ∑ i = 1 3 N i ⁢ ln ⁡ N i N N i N < 1 ⇒ S m ⁢ i ⁢ x > 0 absent subscript 𝑆 𝑚 𝑖 𝑥 subscript 𝑆 𝑛 𝑎 𝑐 ℎ subscript 𝑆 𝑣 𝑜 𝑟 𝑘 superscript subscript 𝑖 1 3 subscript 𝑁 𝑖 1 𝑁 1 subscript 𝑁 𝑖 𝑘 superscript subscript 𝑖 1 3 subscript 𝑁 𝑖 subscript 𝑁 𝑖 𝑁 absent subscript 𝑁 𝑖 𝑁 1 absent ⇒ absent subscript 𝑆 𝑚 𝑖 𝑥 0 {\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&\displaystyle{{S}_{mix}}={{S}% _{nach}}-{{S}_{vor}}=-k\sum\limits_{i=1}^{3}{{}}{{N}_{i}}\left(\ln\frac{1}{N}-% \ln\frac{1}{{{N}_{i}}}\right)=-k\sum\limits_{i=1}^{3}{{}}{{N}_{i}}\ln\frac{{{N% }_{i}}}{N}\\ \par&\displaystyle\frac{{{N}_{i}}}{N}<1\\ \par&\displaystyle\Rightarrow{{S}_{mix}}>0\\ \par\end{aligned}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&amp;\displaystyle{{S}_{mix}}={{S}%&#10;_{nach}}-{{S}_{vor}}=-k\sum\limits_{i=1}^{3}{{}}{{N}_{i}}\left(\ln\frac{1}{N}-%&#10;\ln\frac{1}{{{N}_{i}}}\right)=-k\sum\limits_{i=1}^{3}{{}}{{N}_{i}}\ln\frac{{{N%&#10;}_{i}}}{N}\\&#10;\par&amp;\displaystyle\frac{{{N}_{i}}}{N}&lt;1\\&#10;\par&amp;\displaystyle\Rightarrow{{S}_{mix}}&gt;0\\&#10;\par\end{aligned}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
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          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"/>
        </mtd>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">
            <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.35" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.35.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">S</mi>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.1.cmml">m</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.4.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.2.cmml">i</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.4a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.4.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.3.cmml">x</mi>
              </mrow>
            </msub>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.36" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.36.cmml">
              <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.36.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.36.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">S</mi>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1.1.cmml">n</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1.5.cmml">⁢</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1.2.cmml">a</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1.5a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1.5.cmml">⁢</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1.3.cmml">c</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1.5b" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1.5.cmml">⁢</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1.4.cmml">h</mi>
                </mrow>
              </msub>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">-</mo>
              <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.36.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.36.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.cmml">S</mi>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1.1.cmml">v</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1.4.cmml">⁢</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1.2.cmml">o</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1.4a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1.4.cmml">⁢</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1.3.cmml">r</mi>
                </mrow>
              </msub>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml">-</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.cmml">k</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.cmml">
                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.1.cmml">
                    <munderover id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.1.cmml">
                      <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml">∑</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.1.cmml">i</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2.cmml">=</mo>
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.3.cmml">1</mn>
                      </mrow>
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.cmml">3</mn>
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                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.2.cmml">
                    <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.2.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.cmml">N</mi>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.cmml">i</mi>
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                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.2.3.2.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.2.3.2.cmml">(</mo>
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                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.2.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.2.3.2.1.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml">ln</mi>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.2.3.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.2.3.2.1.cmml">⁡</mo>
                          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.cmml">
                            <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.cmml">
                              <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.cmml">1</mn>
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.3.cmml">N</mi>
                            </mfrac>
                          </mstyle>
                        </mrow>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.cmml">-</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.2.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.2.3.2.2.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.cmml">ln</mi>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.2.3.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.2.3.2.2.cmml">⁡</mo>
                          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.cmml">
                            <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.cmml">
                              <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.2.cmml">1</mn>
                              <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.3.cmml">
                                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.3.1.cmml">N</mi>
                                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.3.2.1.cmml">i</mi>
                              </msub>
                            </mfrac>
                          </mstyle>
                        </mrow>
                      </mrow>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.2.3.2.cmml">)</mo>
                    </mrow>
                  </mrow>
                </mrow>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.cmml">-</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.cmml">k</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.1.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.1.2.cmml">
                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.1.2.1.cmml">
                    <munderover id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.1.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.1.2.1.cmml">
                      <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.cmml">∑</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.1.cmml">i</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.2.cmml">=</mo>
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.3.cmml">1</mn>
                      </mrow>
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.1.cmml">3</mn>
                    </munderover>
                  </mstyle>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.1.2.2.cmml">
                    <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.1.2.2.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.cmml">N</mi>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.cmml">i</mi>
                    </msub>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.1.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.1.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.1.2.2.3.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.cmml">ln</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.1.2.2.3a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.1.2.2.3.cmml">⁡</mo>
                      <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.cmml">
                        <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.cmml">
                          <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.1.cmml">N</mi>
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.2.1.cmml">i</mi>
                          </msub>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.3.cmml">N</mi>
                        </mfrac>
                      </mstyle>
                    </mrow>
                  </mrow>
                </mrow>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1d" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1e" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml"/>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1f" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">
                <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml">N</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.2.2.1.cmml">i</mi>
                </msub>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.3.cmml">N</mi>
              </mfrac>
            </mstyle>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">&lt;</mo>
            <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml">1</mn>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1g" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1h" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.1.1.cmml"/>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1i" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml">⇒</mo>
            <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.cmml">S</mi>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.1.cmml">m</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.4.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.2.cmml">i</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.4a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.4.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.3.cmml">x</mi>
              </mrow>
            </msub>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.cmml">&gt;</mo>
            <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.cmml">0</mn>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
    </mtable>
    <annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p1.1.m1.1b">
      <matrix id="p1.1.m1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1">absent</csymbol>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
            <and id="p1.1.m1.1.1.1.2.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1"/>
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              <eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3"/>
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                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.35.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.35">subscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1">𝑆</ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1">
                  <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.4"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.1">𝑚</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.2">𝑖</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.3">𝑥</ci>
                </apply>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.36.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.36">
                <minus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6"/>
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                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.36.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.36.1">subscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4">𝑆</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1">
                    <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1.5"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1.1">𝑛</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1.2">𝑎</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1.3">𝑐</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1.4">ℎ</ci>
                  </apply>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.36.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.36.2">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.36.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.36.2">subscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7">𝑆</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1">
                    <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1.4"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1.1">𝑣</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1.2">𝑜</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1.3">𝑟</ci>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
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                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1">
                  <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.1"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11">𝑘</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2">
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.1">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.1">superscript</csymbol>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.1">
                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.1">subscript</csymbol>
                        <sum id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12"/>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1">
                          <eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2"/>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.1">𝑖</ci>
                          <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.3">1</cn>
                        </apply>
                      </apply>
                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1">3</cn>
                    </apply>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.2">
                      <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.2.1"/>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.2.2">
                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.2.2">subscript</csymbol>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15">𝑁</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1">𝑖</ci>
                      </apply>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.2.3">
                        <minus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20"/>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.2.3.2.1">
                          <ln id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18"/>
                          <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19">
                            <divide id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19"/>
                            <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2">1</cn>
                            <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.3">𝑁</ci>
                          </apply>
                        </apply>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.2.3.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.2.2.3.2.2">
                          <ln id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21"/>
                          <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22">
                            <divide id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22"/>
                            <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.2">1</cn>
                            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.3">
                              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.3">subscript</csymbol>
                              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.3.1">𝑁</ci>
                              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.3.2.1">𝑖</ci>
                            </apply>
                          </apply>
                        </apply>
                      </apply>
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              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1e.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24"/>
              <share href="#p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.cmml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1f.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38">
                <minus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.1">
                  <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.1.1"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26">𝑘</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.1.2">
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.1.2.1">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.1.2.1">superscript</csymbol>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.1.2.1">
                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.1.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.1.2.1">subscript</csymbol>
                        <sum id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27"/>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1">
                          <eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.2"/>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.1">𝑖</ci>
                          <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.3">1</cn>
                        </apply>
                      </apply>
                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.1">3</cn>
                    </apply>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.1.2.2">
                      <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.1.2.2.1"/>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.1.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.1.2.2.2">
                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.1.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.1.2.2.2">subscript</csymbol>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30">𝑁</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1">𝑖</ci>
                      </apply>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.1.2.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.1.2.2.3">
                        <ln id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32"/>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33">
                          <divide id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33"/>
                          <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2">
                            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2">subscript</csymbol>
                            <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.1">𝑁</ci>
                            <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.2.1">𝑖</ci>
                          </apply>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.3">𝑁</ci>
                        </apply>
                      </apply>
                    </apply>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1">absent</csymbol>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
            <lt id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1">
              <divide id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.2">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.2">subscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.2.1">𝑁</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.2.2.1">𝑖</ci>
              </apply>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.3">𝑁</ci>
            </apply>
            <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3">1</cn>
          </apply>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.1.1">absent</csymbol>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1">
            <and id="p1.1.m1.1.1.3.2.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1">
              <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1">⇒</ci>
              <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7">absent</csymbol>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8">subscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2">𝑆</ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1">
                  <times id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.4"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.1">𝑚</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.2">𝑖</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.3">𝑥</ci>
                </apply>
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S m i x = S n a c h − S v o r = − k ∑ i = 1 3 N i ( ln ⁡ 1 N − ln ⁡ 1 N i ) = − k ∑ i = 1 3 N i ln ⁡ N i N N i N < 1 ⇒ S m i x > 0 {\displaystyle {\begin{aligned}&{{S}_{mix}}={{S}_{nach}}-{{S}_{vor}}=-k\sum \limits _{i=1}^{3}{}{{N}_{i}}\left(\ln {\frac {1}{N}}-\ln {\frac {1}{{N}_{i}}}\right)=-k\sum \limits _{i=1}^{3}{}{{N}_{i}}\ln {\frac {{N}_{i}}{N}}\\&{\frac {{N}_{i}}{N}}<1\\&\Rightarrow {{S}_{mix}}>0\\\end{aligned}}} 
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</math>

SVG (19.714 KB / 6.897 KB) :

{\displaystyle {\begin{aligned}&{{S}_{mix}}={{S}_{nach}}-{{S}_{vor}}=-k\sum \limits _{i=1}^{3}{}{{N}_{i}}\left(\ln {\frac {1}{N}}-\ln {\frac {1}{{N}_{i}}}\right)=-k\sum \limits _{i=1}^{3}{}{{N}_{i}}\ln {\frac {{N}_{i}}{N}}\\&{\frac {{N}_{i}}{N}}<1\\&\Rightarrow {{S}_{mix}}>0\\\end{aligned}}}

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