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* Page found: Die Hauptsätze der Thermodynamik (eq math.2456.46)

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Die Hauptsätze der Thermodynamik Eq: math.2461.46

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TeX (original user input):

\begin{align}
& a\left( {{\vartheta }_{1}} \right)b\left( {{\vartheta }_{3}} \right)=a\left( {{\vartheta }_{1}} \right)b\left( {{\vartheta }_{2}} \right)a\left( {{\vartheta }_{2}} \right)b\left( {{\vartheta }_{3}} \right) \\
& 1=b\left( {{\vartheta }_{2}} \right)a\left( {{\vartheta }_{2}} \right) \\
& \Rightarrow b\left( {{\vartheta }_{2}} \right)=\frac{1}{a\left( {{\vartheta }_{2}} \right)} \\
& \Rightarrow f\left( {{\vartheta }_{1}},{{\vartheta }_{2}} \right)=\frac{a\left( {{\vartheta }_{1}} \right)}{a\left( {{\vartheta }_{2}} \right)} \\
\end{align}

TeX (checked):

{\begin{aligned}&a\left({{\vartheta }_{1}}\right)b\left({{\vartheta }_{3}}\right)=a\left({{\vartheta }_{1}}\right)b\left({{\vartheta }_{2}}\right)a\left({{\vartheta }_{2}}\right)b\left({{\vartheta }_{3}}\right)\\&1=b\left({{\vartheta }_{2}}\right)a\left({{\vartheta }_{2}}\right)\\&\Rightarrow b\left({{\vartheta }_{2}}\right)={\frac {1}{a\left({{\vartheta }_{2}}\right)}}\\&\Rightarrow f\left({{\vartheta }_{1}},{{\vartheta }_{2}}\right)={\frac {a\left({{\vartheta }_{1}}\right)}{a\left({{\vartheta }_{2}}\right)}}\\\end{aligned}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (27.885 KB / 2.904 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &\displaystyle a\left({{\vartheta}% _{1}}\right)b\left({{\vartheta}_{3}}\right)=a\left({{\vartheta}_{1}}\right)b% \left({{\vartheta}_{2}}\right)a\left({{\vartheta}_{2}}\right)b\left({{% \vartheta}_{3}}\right)\\ &\displaystyle 1=b\left({{\vartheta}_{2}}\right)a\left({{\vartheta}_{2}}\right% )\\ &\displaystyle\Rightarrow b\left({{\vartheta}_{2}}\right)=\frac{1}{a\left({{% \vartheta}_{2}}\right)}\\ &\displaystyle\Rightarrow f\left({{\vartheta}_{1}},{{\vartheta}_{2}}\right)=% \frac{a\left({{\vartheta}_{1}}\right)}{a\left({{\vartheta}_{2}}\right)}\\ \end{aligned}}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &amp;\displaystyle a\left({{\vartheta}%&#10;_{1}}\right)b\left({{\vartheta}_{3}}\right)=a\left({{\vartheta}_{1}}\right)b%&#10;\left({{\vartheta}_{2}}\right)a\left({{\vartheta}_{2}}\right)b\left({{%&#10;\vartheta}_{3}}\right)\\&#10;&amp;\displaystyle 1=b\left({{\vartheta}_{2}}\right)a\left({{\vartheta}_{2}}\right%&#10;)\\&#10;&amp;\displaystyle\Rightarrow b\left({{\vartheta}_{2}}\right)=\frac{1}{a\left({{%&#10;\vartheta}_{2}}\right)}\\&#10;&amp;\displaystyle\Rightarrow f\left({{\vartheta}_{1}},{{\vartheta}_{2}}\right)=%&#10;\frac{a\left({{\vartheta}_{1}}\right)}{a\left({{\vartheta}_{2}}\right)}\\&#10;\end{aligned}}}" display="inline">
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            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">a</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.2.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.2.cmml">(</mo>
                <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml">ϑ</mi>
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.cmml">1</mn>
                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.2.cmml">)</mo>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.1.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">b</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.1b" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.3.2.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.3.2.cmml">(</mo>
                <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.3.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml">ϑ</mi>
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.1.cmml">3</mn>
                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.3.2.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml">a</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.2.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.2.cmml">(</mo>
                <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.cmml">ϑ</mi>
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.1.cmml">1</mn>
                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.2.cmml">)</mo>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.cmml">b</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1b" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.3.2.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.3.2.cmml">(</mo>
                <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.3.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.cmml">ϑ</mi>
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1.cmml">2</mn>
                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.3.2.cmml">)</mo>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1c" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.cmml">a</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1d" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.4.2.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.4.2.cmml">(</mo>
                <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.4.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.4.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.cmml">ϑ</mi>
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.1.cmml">2</mn>
                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.4.2.cmml">)</mo>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1e" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.cmml">b</mi>
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                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.5.2.cmml">(</mo>
                <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.5.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.5.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.cmml">ϑ</mi>
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1.cmml">3</mn>
                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.5.2.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
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        <mtd id="p1.1.m1.1.1e" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1f" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">
            <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">1</mn>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml">b</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.2.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.2.cmml">(</mo>
                <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml">ϑ</mi>
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.cmml">2</mn>
                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.2.cmml">)</mo>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml">a</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1b" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.3.2.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.3.2.cmml">(</mo>
                <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.3.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml">ϑ</mi>
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.cmml">2</mn>
                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.3.2.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
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        <mtd id="p1.1.m1.1.1h" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml">⇒</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.cmml">b</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.1.cmml">⁢</mo>
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                <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.2.2.cmml">
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                    <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.3.7.2.cmml">(</mo>
                    <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.3.7.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.3.7.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.3.3.cmml">ϑ</mi>
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                    </msub>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.3.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.3.7.2.cmml">)</mo>
                  </mrow>
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                </msub>
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          <cerror id="p1.1.m1.1.1e.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1f.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
            <eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2"/>
            <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1">1</cn>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13">
              <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3">𝑏</ci>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.2">subscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5">italic-ϑ</ci>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1">2</cn>
              </apply>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8">𝑎</ci>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.3">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.3">subscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10">italic-ϑ</ci>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1">2</cn>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1g.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1h.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1i.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1">
            <and id="p1.1.m1.1.1.3.2.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1">
              <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1">⇒</ci>
              <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10">absent</csymbol>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11">
                <times id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.1"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2">𝑏</ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.2">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.2">subscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4">italic-ϑ</ci>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.1">2</cn>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7"/>
              <share href="#p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.cmml" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1"/>
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                <divide id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8"/>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2">1</cn>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.3">
                  <times id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.3.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.3.6"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.3.1">𝑎</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.3.7.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.3.7">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.3.7.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.3.7">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.3.3">italic-ϑ</ci>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.3.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.3.4.1">2</cn>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1j.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1k.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1l.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1">
            <and id="p1.1.m1.1.1.4.2.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1">
              <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1">⇒</ci>
              <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.13">absent</csymbol>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.14">
                <times id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.14.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.14.1"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2">𝑓</ci>
                <interval closure="open" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.14.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.14.2">
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.14.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.14.2.2">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.14.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.14.2.2">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4">italic-ϑ</ci>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.5.1">1</cn>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.14.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.14.2.3">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.14.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.14.2.3">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7">italic-ϑ</ci>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.8.1">2</cn>
                  </apply>
                </interval>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.10"/>
              <share href="#p1.1.m1.1.1.4.2.1.14.cmml" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11">
                <divide id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.2">
                  <times id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.2.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.2.6"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.2.1">𝑎</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.2.7.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.2.7">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.2.7.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.2.7">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.2.3">italic-ϑ</ci>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.2.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.2.4.1">1</cn>
                  </apply>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.3">
                  <times id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.3.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.3.6"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.3.1">𝑎</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.3.7.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.3.7">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.3.7.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.3.7">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.3.3">italic-ϑ</ci>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.3.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.11.3.4.1">2</cn>
                  </apply>
                </apply>
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    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &amp;\displaystyle a\left({{\vartheta}%
_{1}}\right)b\left({{\vartheta}_{3}}\right)=a\left({{\vartheta}_{1}}\right)b%
\left({{\vartheta}_{2}}\right)a\left({{\vartheta}_{2}}\right)b\left({{%
\vartheta}_{3}}\right)\\
&amp;\displaystyle 1=b\left({{\vartheta}_{2}}\right)a\left({{\vartheta}_{2}}\right%
)\\
&amp;\displaystyle\Rightarrow b\left({{\vartheta}_{2}}\right)=\frac{1}{a\left({{%
\vartheta}_{2}}\right)}\\
&amp;\displaystyle\Rightarrow f\left({{\vartheta}_{1}},{{\vartheta}_{2}}\right)=%
\frac{a\left({{\vartheta}_{1}}\right)}{a\left({{\vartheta}_{2}}\right)}\\
\end{aligned}}}</annotation>
  </semantics>
</math>

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\begin{aligned} a (ϑ_{1}) b (ϑ_{3}) = a (ϑ_{1}) b (ϑ_{2}) a (ϑ_{2}) b (ϑ_{3}) \\ 1 = b (ϑ_{2}) a (ϑ_{2}) \\ \Rightarrow b (ϑ_{2}) = \frac{1}{a (ϑ_{2})} \\ \Rightarrow f (ϑ_{1}, ϑ_{2}) = \frac{a (ϑ_{1})}{a (ϑ_{2})} \end{aligned}

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