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* Page found: Quantenmechanische Gleichgewichtsverteilungen (eq math.2404.43)

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Quantenmechanische Gleichgewichtsverteilungen Eq: math.2413.43

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TeX (original user input):

\begin{align}
& \left| \Psi  \right\rangle =\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\left| \alpha  \right\rangle \left\langle  \alpha   |  \Psi  \right\rangle  \\
& \left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\sum\limits_{\alpha ,\alpha \acute{\ }}^{{}}{{}}\left\langle  \Psi   |  \alpha  \right\rangle \left\langle  \alpha  \right|\hat{M}\left| \alpha \acute{\ } \right\rangle \left\langle  \alpha \acute{\ }  |  \Psi  \right\rangle  \\
\end{align}

TeX (checked):

{\begin{aligned}&\left|\Psi \right\rangle =\sum \limits _{\alpha }^{}{}\left|\alpha \right\rangle \left\langle \alpha |\Psi \right\rangle \\&\left\langle {\hat {M}}\right\rangle =\sum \limits _{\alpha ,\alpha {\acute {\ }}}^{}{}\left\langle \Psi |\alpha \right\rangle \left\langle \alpha \right|{\hat {M}}\left|\alpha {\acute {\ }}\right\rangle \left\langle \alpha {\acute {\ }}|\Psi \right\rangle \\\end{aligned}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (17.069 KB / 2.17 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &\displaystyle\left|\Psi\right% \rangle=\sum\limits_{\alpha}{{}}\left|\alpha\right\rangle\left\langle\alpha|% \Psi\right\rangle\\ &\displaystyle\left\langle{\hat{M}}\right\rangle=\sum\limits_{\alpha,\alpha% \acute{\ }}{{}}\left\langle\Psi|\alpha\right\rangle\left\langle\alpha\right|% \hat{M}\left|\alpha\acute{\ }\right\rangle\left\langle\alpha\acute{\ }|\Psi% \right\rangle\\ \end{aligned}}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &amp;\displaystyle\left|\Psi\right%&#10;\rangle=\sum\limits_{\alpha}{{}}\left|\alpha\right\rangle\left\langle\alpha|%&#10;\Psi\right\rangle\\&#10;&amp;\displaystyle\left\langle{\hat{M}}\right\rangle=\sum\limits_{\alpha,\alpha%&#10;\acute{\ }}{{}}\left\langle\Psi|\alpha\right\rangle\left\langle\alpha\right|%&#10;\hat{M}\left|\alpha\acute{\ }\right\rangle\left\langle\alpha\acute{\ }|\Psi%&#10;\right\rangle\\&#10;\end{aligned}}}" display="inline">
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              <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.1.1.cmml">|</mo>
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">Ψ</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.1.1.cmml">⟩</mo>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.cmml">
                <munder id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.cmml">
                  <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml">∑</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.cmml">α</mi>
                </munder>
              </mstyle>
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                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.2.1.cmml">
                  <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.2.1.1.cmml">|</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml">α</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.2.1.1.cmml">⟩</mo>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.3.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.3.1.1.cmml">⟨</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.cmml">α</mi>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.3.1.1.cmml">|</mo>
                  <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml">Ψ</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.3.1.1.cmml">⟩</mo>
                </mrow>
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            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.1.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.1.1.cmml">⟨</mo>
              <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.cmml">M</mi>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.1.cmml">^</mo>
              </mover>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.1.1.cmml">⟩</mo>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.cmml">
                <munder id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.cmml">
                  <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml">∑</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.5.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.1.cmml">α</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.5.cmml">,</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.6.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.3.cmml">α</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.6.1.cmml">⁢</mo>
                      <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.4.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.4.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.4.2.cmml"/>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.4.1.cmml">´</mo>
                      </mover>
                    </mrow>
                  </mrow>
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              </mstyle>
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                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2.2.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2.2.1.1.cmml">⟨</mo>
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                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2.2.1.1.cmml">|</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml">α</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2.2.1.1.cmml">⟩</mo>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2.3.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2.3.1.1.cmml">⟨</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.cmml">α</mi>
                  <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2.3.1.1.cmml">|</mo>
                  <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.cmml">M</mi>
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1.cmml">^</mo>
                  </mover>
                  <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2.3.1.1.cmml">|</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2.3.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.cmml">α</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2.3.2.1.cmml">⁢</mo>
                    <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.2.cmml"/>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.1.cmml">´</mo>
                    </mover>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2.3.1.1.cmml">⟩</mo>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2.1.cmml">⁢</mo>
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                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2.4.1.1.cmml">⟨</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2.4.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2.4.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.cmml">α</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2.4.2.1.cmml">⁢</mo>
                    <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.cmml"/>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.1.cmml">´</mo>
                    </mover>
                  </mrow>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2.4.1.1.cmml">|</mo>
                  <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24.cmml">Ψ</mi>
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                </mrow>
              </mrow>
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            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
            <eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15">
              <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1">ket</csymbol>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2">Ψ</ci>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16">
              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1">subscript</csymbol>
                <sum id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1">𝛼</ci>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2">
                <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.1"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.2">
                  <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7">ket</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8">𝛼</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.3">
                  <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10">inner-product</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11">𝛼</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13">Ψ</ci>
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        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1e.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1f.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
            <eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26">
              <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1">delimited-⟨⟩</csymbol>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2">
                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.1">^</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2">𝑀</ci>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27">
              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1">subscript</csymbol>
                <sum id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5"/>
                <list id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1">
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.1">𝛼</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.6">
                    <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.6.1"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.3">𝛼</ci>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.4">
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.4.1">´</ci>
                      <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.4.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.4.2">absent</csymbol>
                    </apply>
                  </apply>
                </list>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2">
                <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2.1"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2.2">
                  <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7">inner-product</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8">Ψ</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10">𝛼</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2.3">
                  <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12">quantum-operator-product</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13">𝛼</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15">
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1">^</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2">𝑀</ci>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2.3.2">
                    <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2.3.2.1"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17">𝛼</ci>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18">
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.1">´</ci>
                      <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.2">absent</csymbol>
                    </apply>
                  </apply>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2.4">
                  <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2.4.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20">inner-product</csymbol>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2.4.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2.4.2">
                    <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2.4.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.2.4.2.1"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21">𝛼</ci>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22">
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.1">´</ci>
                      <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.2">absent</csymbol>
                    </apply>
                  </apply>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24">Ψ</ci>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </matrixrow>
      </matrix>
    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &amp;\displaystyle\left|\Psi\right%
\rangle=\sum\limits_{\alpha}{{}}\left|\alpha\right\rangle\left\langle\alpha|%
\Psi\right\rangle\\
&amp;\displaystyle\left\langle{\hat{M}}\right\rangle=\sum\limits_{\alpha,\alpha%
\acute{\ }}{{}}\left\langle\Psi|\alpha\right\rangle\left\langle\alpha\right|%
\hat{M}\left|\alpha\acute{\ }\right\rangle\left\langle\alpha\acute{\ }|\Psi%
\right\rangle\\
\end{aligned}}}</annotation>
  </semantics>
</math>

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\begin{array}{l} | Ψ ⟩ = \sum_{α}^{} | α ⟩ ⟨ α | Ψ ⟩ \\ ⟨ \hat{M} ⟩ = \sum_{α, α \overset{´}{}}^{} ⟨ Ψ | α ⟩ ⟨ α | \hat{M} | α \overset{´}{} ⟩ ⟨ α \overset{´}{} | Ψ ⟩ \end{array}

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