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TeX (original user input):

\begin{align}

& f(\log P\acute{\ }\acute{\ })=f\left( \log P+\log P\acute{\ } \right)=!=f(\log P)+f(\log P\acute{\ }) \\

& \Rightarrow f(\log P)=a*\log P \\

& b(P)=a\log (P)=-a\log N=!={{\log }_{2}}N \\

& f\ddot{u}rP=\frac{1}{N} \\

& \Rightarrow a=-1 \\

& \log ={{\log }_{2}} \\

\end{align}

TeX (checked):

{\begin{aligned}&f(\log P{\acute {\ }}{\acute {\ }})=f\left(\log P+\log P{\acute {\ }}\right)=!=f(\log P)+f(\log P{\acute {\ }})\\&\Rightarrow f(\log P)=a*\log P\\&b(P)=a\log(P)=-a\log N=!={{\log }_{2}}N\\&f{\ddot {u}}rP={\frac {1}{N}}\\&\Rightarrow a=-1\\&\log ={{\log }_{2}}\\\end{aligned}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (26.954 KB / 3.216 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&\displaystyle f(\log P\acute{% \ }\acute{\ })=f\left(\log P+\log P\acute{\ }\right)=!=f(\log P)+f(\log P% \acute{\ })\\ \par&\displaystyle\Rightarrow f(\log P)=a*\log P\\ \par&\displaystyle b(P)=a\log(P)=-a\log N=!={{\log}_{2}}N\\ \par&\displaystyle f\ddot{u}rP=\frac{1}{N}\\ \par&\displaystyle\Rightarrow a=-1\\ \par&\displaystyle\log={{\log}_{2}}\\ \par\end{aligned}}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&amp;\displaystyle f(\log P\acute{%&#10;\ }\acute{\ })=f\left(\log P+\log P\acute{\ }\right)=!=f(\log P)+f(\log P%&#10;\acute{\ })\\&#10;\par&amp;\displaystyle\Rightarrow f(\log P)=a*\log P\\&#10;\par&amp;\displaystyle b(P)=a\log(P)=-a\log N=!={{\log}_{2}}N\\&#10;\par&amp;\displaystyle f\ddot{u}rP=\frac{1}{N}\\&#10;\par&amp;\displaystyle\Rightarrow a=-1\\&#10;\par&amp;\displaystyle\log={{\log}_{2}}\\&#10;\par\end{aligned}}}" display="inline">
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            </mrow>
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              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.cmml">log</mi>
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            </mrow>
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                </mrow>
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              </mrow>
            </mrow>
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            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.cmml">=</mo>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1.cmml">f</mi>
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              <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.2.cmml">u</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.1.cmml">¨</mo>
              </mover>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.1a" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.1.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.cmml">r</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.1b" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.1.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.cmml">P</mi>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.5.cmml">=</mo>
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6a" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.cmml">
                <mn id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.2.cmml">1</mn>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.3" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.3.cmml">N</mi>
              </mfrac>
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          <mi id="p1.1.m1.1.1.5.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.1.1.cmml"/>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1o" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.5.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.7.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.1.cmml">⇒</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.2.cmml">a</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.8.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.4.cmml">-</mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.5.cmml">1</mn>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
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          <mi id="p1.1.m1.1.1.6.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.6.1.1.cmml"/>
        </mtd>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.1.6.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.1.cmml">log</mi>
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            <msub id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.5.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.3.cmml">log</mi>
              <mn id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.1.cmml">2</mn>
            </msub>
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              <csymbol cd="unknown" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4">P</csymbol>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5">
                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1">´</ci>
                <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.2">absent</csymbol>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6">
                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1">´</ci>
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              </apply>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7">)</ci>
            </cerror>
            <eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8"/>
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              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34">fragments</csymbol>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10">(</ci>
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                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1">´</ci>
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              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17">)</ci>
            </cerror>
            <eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18"/>
            <factorial id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19"/>
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                <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.1">¨</ci>
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              <ci id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.2">𝑎</ci>
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            <apply id="p1.1.m1.1.1.5.2.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3"/>
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          </apply>
        </matrixrow>
      </matrix>
    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&amp;\displaystyle f(\log P\acute{%
\ }\acute{\ })=f\left(\log P+\log P\acute{\ }\right)=!=f(\log P)+f(\log P%
\acute{\ })\\
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\par&amp;\displaystyle b(P)=a\log(P)=-a\log N=!={{\log}_{2}}N\\
\par&amp;\displaystyle f\ddot{u}rP=\frac{1}{N}\\
\par&amp;\displaystyle\Rightarrow a=-1\\
\par&amp;\displaystyle\log={{\log}_{2}}\\
\par\end{aligned}}}</annotation>
  </semantics>
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\begin{array}{l} f (\log P \overset{´}{} \overset{´}{}) = f (\log P + \log P \overset{´}{}) =! = f (\log P) + f (\log P \overset{´}{}) \\ \Rightarrow f (\log P) = a * \log P \\ b (P) = a \log (P) = - a \log N =! = \log_{2} N \\ f \ddot{u} r P = \frac{1}{N} \\ \Rightarrow a = - 1 \\ \log = \log_{2} \end{array}

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