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Display information for equation id:math.2268.92 on revision:2268

* Page found: Vorurteilsfreie Schätzung des statistischen Operators zu einem festen Zeitpunkt (eq math.2268.92)

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Hash: e9d08b00900119aa28a676ec408a4b8a

TeX (original user input): 

\begin{align}
  & S=k\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle }+k\ln Z \\
 & dS=k\sum\limits_{\nu }{\left( d{{\lambda }_{\nu }}\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle +{{\lambda }_{\nu }}d\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle  \right)}+k\frac{dZ}{Z} \\
 & =k\sum\limits_{\nu }{\left( d{{\lambda }_{\nu }}\left( -\frac{\partial Z}{\partial {{\lambda }_{\nu }}}\frac{1}{z} \right)+{{\lambda }_{\nu }}d\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle  \right)}+k\frac{dZ}{Z} 
\end{align}

TeX (checked): 

{\begin{aligned}&S=k\sum \limits _{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}\left\langle {{G}_{\nu }}\right\rangle }+k\ln Z\\&dS=k\sum \limits _{\nu }{\left(d{{\lambda }_{\nu }}\left\langle {{G}_{\nu }}\right\rangle +{{\lambda }_{\nu }}d\left\langle {{G}_{\nu }}\right\rangle \right)}+k{\frac {dZ}{Z}}\\&=k\sum \limits _{\nu }{\left(d{{\lambda }_{\nu }}\left(-{\frac {\partial Z}{\partial {{\lambda }_{\nu }}}}{\frac {1}{z}}\right)+{{\lambda }_{\nu }}d\left\langle {{G}_{\nu }}\right\rangle \right)}+k{\frac {dZ}{Z}}\end{aligned}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (36.716 KB / 3.818 KB) :

S = k ⁢ ∑ ν λ ν ⁢ ⟨ G ν ⟩ + k ⁢ ln ⁡ Z d ⁢ S = k ⁢ ∑ ν ( d ⁢ λ ν ⁢ ⟨ G ν ⟩ + λ ν ⁢ d ⁢ ⟨ G ν ⟩ ) + k ⁢ d ⁢ Z Z = k ⁢ ∑ ν ( d ⁢ λ ν ⁢ ( - ∂ ⁡ Z ∂ ⁡ λ ν ⁢ 1 z ) + λ ν ⁢ d ⁢ ⟨ G ν ⟩ ) + k ⁢ d ⁢ Z Z missing-subexpression 𝑆 𝑘 subscript 𝜈 subscript 𝜆 𝜈 delimited-⟨⟩ subscript 𝐺 𝜈 𝑘 𝑍 missing-subexpression 𝑑 𝑆 𝑘 subscript 𝜈 𝑑 subscript 𝜆 𝜈 delimited-⟨⟩ subscript 𝐺 𝜈 subscript 𝜆 𝜈 𝑑 delimited-⟨⟩ subscript 𝐺 𝜈 𝑘 𝑑 𝑍 𝑍 missing-subexpression absent 𝑘 subscript 𝜈 𝑑 subscript 𝜆 𝜈 𝑍 subscript 𝜆 𝜈 1 𝑧 subscript 𝜆 𝜈 𝑑 delimited-⟨⟩ subscript 𝐺 𝜈 𝑘 𝑑 𝑍 𝑍 {\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &\displaystyle S=k\sum\limits_{\nu% }{{{\lambda}_{\nu}}\left\langle{{G}_{\nu}}\right\rangle}+k\ln Z\\ &\displaystyle dS=k\sum\limits_{\nu}{\left(d{{\lambda}_{\nu}}\left\langle{{G}_% {\nu}}\right\rangle+{{\lambda}_{\nu}}d\left\langle{{G}_{\nu}}\right\rangle% \right)}+k\frac{dZ}{Z}\\ &\displaystyle=k\sum\limits_{\nu}{\left(d{{\lambda}_{\nu}}\left(-\frac{% \partial Z}{\partial{{\lambda}_{\nu}}}\frac{1}{z}\right)+{{\lambda}_{\nu}}d% \left\langle{{G}_{\nu}}\right\rangle\right)}+k\frac{dZ}{Z}\end{aligned}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &amp;\displaystyle S=k\sum\limits_{\nu%&#10;}{{{\lambda}_{\nu}}\left\langle{{G}_{\nu}}\right\rangle}+k\ln Z\\&#10;&amp;\displaystyle dS=k\sum\limits_{\nu}{\left(d{{\lambda}_{\nu}}\left\langle{{G}_%&#10;{\nu}}\right\rangle+{{\lambda}_{\nu}}d\left\langle{{G}_{\nu}}\right\rangle%&#10;\right)}+k\frac{dZ}{Z}\\&#10;&amp;\displaystyle=k\sum\limits_{\nu}{\left(d{{\lambda}_{\nu}}\left(-\frac{%&#10;\partial Z}{\partial{{\lambda}_{\nu}}}\frac{1}{z}\right)+{{\lambda}_{\nu}}d%&#10;\left\langle{{G}_{\nu}}\right\rangle\right)}+k\frac{dZ}{Z}\end{aligned}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mtable columnspacing="0pt" rowspacing="0pt" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
      <mtr id="p1.1.m1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1b" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1c" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">S</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml">k</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.2.cmml">
                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.2.1.cmml">
                    <munder id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.2.1.cmml">
                      <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">∑</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1.cmml">ν</mi>
                    </munder>
                  </mstyle>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.2.2.cmml">
                    <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.2.2.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">λ</mi>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.cmml">ν</mi>
                    </msub>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.2.2.3.1.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.2.2.3.1.1.cmml">⟨</mo>
                      <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.2.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.2.2.3.2.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">G</mi>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.cmml">ν</mi>
                      </msub>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.2.2.3.1.1.cmml">⟩</mo>
                    </mrow>
                  </mrow>
                </mrow>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml">+</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml">k</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.cmml">ln</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.2.cmml">⁡</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.cmml">Z</mi>
                </mrow>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1d" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1e" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1f" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">d</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">S</mi>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml">k</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.cmml">
                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.1.cmml">
                    <munder id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.1.cmml">
                      <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml">∑</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.cmml">ν</mi>
                    </munder>
                  </mstyle>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.cmml">(</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.cmml">
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.1.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml">d</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                        <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.1.2.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml">λ</mi>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1.cmml">ν</mi>
                        </msub>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.1.3.1.cmml">
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.1.3.1.1.cmml">⟨</mo>
                          <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.1.3.2.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">G</mi>
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1.cmml">ν</mi>
                          </msub>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.1.3.1.1.cmml">⟩</mo>
                        </mrow>
                      </mrow>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.cmml">+</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.2.cmml">
                        <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.2.2.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.cmml">λ</mi>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.1.cmml">ν</mi>
                        </msub>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.cmml">d</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.2.3.1.cmml">
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.2.3.1.1.cmml">⟨</mo>
                          <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.2.3.2.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20.cmml">G</mi>
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.1.cmml">ν</mi>
                          </msub>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.2.3.1.1.cmml">⟩</mo>
                        </mrow>
                      </mrow>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                </mrow>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24.cmml">+</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.cmml">k</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.cmml">
                  <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.2.1.cmml">d</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.2.3.cmml">⁢</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.2.2.cmml">Z</mi>
                    </mrow>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.3.cmml">Z</mi>
                  </mfrac>
                </mstyle>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1g" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1h" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1i" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.26" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.26.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.cmml">k</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.cmml">
                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.1.cmml">
                    <munder id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.1.cmml">
                      <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.cmml">∑</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.1.cmml">ν</mi>
                    </munder>
                  </mstyle>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.2.2.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.2.2.cmml">(</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.2.2.cmml">
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.2.2.1.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.cmml">d</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                        <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.2.2.1.2.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.cmml">λ</mi>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.cmml">ν</mi>
                        </msub>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.2.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.2.2.1.3.2.cmml">
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.2.2.1.3.2.cmml">(</mo>
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.2.2.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.2.2.1.3.2.cmml">
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.cmml">-</mo>
                            <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.2.2.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.2.2.1.3.2.1.cmml">
                              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.cmml">
                                <mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.cmml">
                                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.2.cmml">
                                    <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.2.1.cmml">∂</mo>
                                    <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.2a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.2.cmml">⁡</mo>
                                    <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.2.2.cmml">Z</mi>
                                  </mrow>
                                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.cmml">
                                    <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.1.cmml">∂</mo>
                                    <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.cmml">⁡</mo>
                                    <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.4.cmml">
                                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.2.cmml">λ</mi>
                                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.3.1.cmml">ν</mi>
                                    </msub>
                                  </mrow>
                                </mfrac>
                              </mstyle>
                              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.2.2.1.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.2.2.1.3.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.cmml">
                                <mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.cmml">
                                  <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.2.cmml">1</mn>
                                  <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.3.cmml">z</mi>
                                </mfrac>
                              </mstyle>
                            </mrow>
                          </mrow>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.2.2.1.3.2.cmml">)</mo>
                        </mrow>
                      </mrow>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.cmml">+</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.2.2.2.cmml">
                        <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.2.2.2.2.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.cmml">λ</mi>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1.cmml">ν</mi>
                        </msub>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.cmml">d</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.2.2.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.2.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.2.2.2.3.1.cmml">
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.2.2.2.3.1.1.cmml">⟨</mo>
                          <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.2.2.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.2.2.2.3.2.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.cmml">G</mi>
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.1.cmml">ν</mi>
                          </msub>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.2.2.2.3.1.1.cmml">⟩</mo>
                        </mrow>
                      </mrow>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.2.2.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                </mrow>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.23.cmml">+</mo>
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                <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.24.cmml">k</mi>
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                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.1.cmml">d</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.25.2.3.cmml">⁢</mo>
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        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
            <eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2"/>
            <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1">𝑆</ci>
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                <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.1"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3">𝑘</ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.2">
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                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.2.1">subscript</csymbol>
                    <sum id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1">𝜈</ci>
                  </apply>
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                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.2.2.2">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.2.2.2">subscript</csymbol>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6">𝜆</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1">𝜈</ci>
                    </apply>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.2.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.2.2.3">
                      <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.2.2.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8">delimited-⟨⟩</csymbol>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.2.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.2.2.3.2">
                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.2.2.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.2.2.3.2">subscript</csymbol>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9">𝐺</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1">𝜈</ci>
                      </apply>
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                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.2">
                  <ln id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15">𝑍</ci>
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        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1e.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1f.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
            <eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3"/>
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              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1">𝑑</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2">𝑆</ci>
            </apply>
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                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2">
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                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.1">subscript</csymbol>
                    <sum id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5"/>
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                      <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.1.2">
                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.1.2">subscript</csymbol>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9">𝜆</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1">𝜈</ci>
                      </apply>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.1.3">
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                        <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.1.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.1.3.2">
                          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.1.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.1.3.2">subscript</csymbol>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12">𝐺</ci>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.1">𝜈</ci>
                        </apply>
                      </apply>
                    </apply>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.2">
                      <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.2.1"/>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.2.2">
                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.2.2">subscript</csymbol>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16">𝜆</ci>
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                      </apply>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18">𝑑</ci>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.2.3">
                        <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.2.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19">delimited-⟨⟩</csymbol>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.2.3.2">
                          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.2.2.2.3.2">subscript</csymbol>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20">𝐺</ci>
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                <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.1"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25">𝑘</ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26">
                  <divide id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26"/>
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                    <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.2.3"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.2.1">𝑑</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.2.2">𝑍</ci>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.3">𝑍</ci>
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        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1g.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1h.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1i.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1">
            <eq id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1"/>
            <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.26.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.26">absent</csymbol>
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                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.1">subscript</csymbol>
                    <sum id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.1">𝜈</ci>
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                      <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.2.2.1.2">
                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.2.2.1.2">subscript</csymbol>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7">𝜆</ci>
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                      <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.2.2.1.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.2.2.1.3">
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                              <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.2.2">𝑍</ci>
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                              <partialdiff id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.1"/>
                              <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.4">
                                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.4">subscript</csymbol>
                                <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.2">𝜆</ci>
                                <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.3.3.1">𝜈</ci>
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                            <divide id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12"/>
                            <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.2">1</cn>
                            <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.3">𝑧</ci>
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                      <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17">𝑑</ci>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.2.2.2.3">
                        <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.2.2.2.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18">delimited-⟨⟩</csymbol>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.2.2.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.27.1.2.2.2.2.3.2">
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                          <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19">𝐺</ci>
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    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &amp;\displaystyle S=k\sum\limits_{\nu%
}{{{\lambda}_{\nu}}\left\langle{{G}_{\nu}}\right\rangle}+k\ln Z\\
&amp;\displaystyle dS=k\sum\limits_{\nu}{\left(d{{\lambda}_{\nu}}\left\langle{{G}_%
{\nu}}\right\rangle+{{\lambda}_{\nu}}d\left\langle{{G}_{\nu}}\right\rangle%
\right)}+k\frac{dZ}{Z}\\
&amp;\displaystyle=k\sum\limits_{\nu}{\left(d{{\lambda}_{\nu}}\left(-\frac{%
\partial Z}{\partial{{\lambda}_{\nu}}}\frac{1}{z}\right)+{{\lambda}_{\nu}}d%
\left\langle{{G}_{\nu}}\right\rangle\right)}+k\frac{dZ}{Z}\end{aligned}}}</annotation>
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S=k∑νλν⟨Gν⟩+kln⁡ZdS=k∑ν(dλν⟨Gν⟩+λνd⟨Gν⟩)+kdZZ=k∑ν(dλν(−∂Z∂λν1z)+λνd⟨Gν⟩)+kdZZ
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  • S
  • k
  • ν
  • λν
  • Gν
  • k
  • Z
  • d
  • S
  • k
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  • λν
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