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* Page found: Vorurteilsfreie Schätzung des statistischen Operators zu einem festen Zeitpunkt (eq math.2261.21)

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Vorurteilsfreie Schätzung des statistischen Operators zu einem festen Zeitpunkt Eq: math.2273.21

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TeX (original user input):

\begin{align}
  & \eta \left( \rho  \right)=-k\operatorname{Tr}(\rho \ln \rho )=-k\sum\limits_{m}^{{}}{\left\langle  {{r}_{m}} \right|\rho \ln \rho \left| {{r}_{m}} \right\rangle }=-k\sum\limits_{m}^{{}}{{{r}_{m}}\ln {{r}_{m}}} \\
 & 1\ge {{r}_{m}}\ge 0 \\
 & \Rightarrow \ln {{r}_{m}}\le 0 \\
 & \Rightarrow \eta \left( \rho  \right)\ge 0 \\
\end{align}

TeX (checked):

{\begin{aligned}&\eta \left(\rho \right)=-k\operatorname {Tr} (\rho \ln \rho )=-k\sum \limits _{m}^{}{\left\langle {{r}_{m}}\right|\rho \ln \rho \left|{{r}_{m}}\right\rangle }=-k\sum \limits _{m}^{}{{{r}_{m}}\ln {{r}_{m}}}\\&1\geq {{r}_{m}}\geq 0\\&\Rightarrow \ln {{r}_{m}}\leq 0\\&\Rightarrow \eta \left(\rho \right)\geq 0\\\end{aligned}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (25.567 KB / 2.909 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &\displaystyle\eta\left(\rho\right% )=-k\operatorname{Tr}(\rho\ln\rho)=-k\sum\limits_{m}{\left\langle{{r}_{m}}% \right|\rho\ln\rho\left|{{r}_{m}}\right\rangle}=-k\sum\limits_{m}{{{r}_{m}}\ln% {{r}_{m}}}\\ &\displaystyle 1\geq{{r}_{m}}\geq 0\\ &\displaystyle\Rightarrow\ln{{r}_{m}}\leq 0\\ &\displaystyle\Rightarrow\eta\left(\rho\right)\geq 0\\ \end{aligned}}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &amp;\displaystyle\eta\left(\rho\right%&#10;)=-k\operatorname{Tr}(\rho\ln\rho)=-k\sum\limits_{m}{\left\langle{{r}_{m}}%&#10;\right|\rho\ln\rho\left|{{r}_{m}}\right\rangle}=-k\sum\limits_{m}{{{r}_{m}}\ln%&#10;{{r}_{m}}}\\&#10;&amp;\displaystyle 1\geq{{r}_{m}}\geq 0\\&#10;&amp;\displaystyle\Rightarrow\ln{{r}_{m}}\leq 0\\&#10;&amp;\displaystyle\Rightarrow\eta\left(\rho\right)\geq 0\\&#10;\end{aligned}}}" display="inline">
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          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">
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              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">η</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.cmml">(</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml">ρ</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">-</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.cmml">k</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43.1.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43.1.2.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">Tr</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43.1.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43.1.2.1.cmml">⁡</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43.1.2.1.cmml">
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43.1.2.1.cmml">(</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43.1.2.2.1.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.cmml">ρ</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43.1.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43.1.2.2.1.2.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml">ln</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43.1.2.2.1.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43.1.2.2.1.2.cmml">⁡</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml">ρ</mi>
                      </mrow>
                    </mrow>
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43.1.2.1.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                </mrow>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml">-</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.cmml">k</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.1.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.1.2.cmml">
                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.1.2.1.cmml">
                    <munder id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.1.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.1.2.1.cmml">
                      <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml">∑</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1.cmml">m</mi>
                    </munder>
                  </mstyle>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.1.2.2.1.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.1.2.2.1.1.cmml">⟨</mo>
                    <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.1.2.2.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.cmml">r</mi>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.1.cmml">m</mi>
                    </msub>
                    <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.1.2.2.1.1.cmml">|</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.1.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.1.2.2.3.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.cmml">ρ</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.1.2.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.1.2.2.3.1.cmml">⁢</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.1.2.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.1.2.2.3.2.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.cmml">ln</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.1.2.2.3.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.1.2.2.3.2.cmml">⁡</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.cmml">ρ</mi>
                      </mrow>
                    </mrow>
                    <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.1.2.2.1.1.cmml">|</mo>
                    <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.1.2.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.1.2.2.4.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.cmml">r</mi>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.1.cmml">m</mi>
                    </msub>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.1.2.2.1.1.cmml">⟩</mo>
                  </mrow>
                </mrow>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.45" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.45.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.cmml">-</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.45.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.45.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.cmml">k</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.45.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.45.1.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.45.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.45.1.2.cmml">
                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.45.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.45.1.2.1.cmml">
                    <munder id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.45.1.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.45.1.2.1.cmml">
                      <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.cmml">∑</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.35.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.35.1.cmml">m</mi>
                    </munder>
                  </mstyle>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.45.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.45.1.2.2.cmml">
                    <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.45.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.45.1.2.2.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.36" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.36.cmml">r</mi>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.1.cmml">m</mi>
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                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.45.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.45.1.2.2.1.cmml">⁢</mo>
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                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.cmml">ln</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.45.1.2.2.3a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.45.1.2.2.3.cmml">⁡</mo>
                      <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.45.1.2.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.45.1.2.2.3.1.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.39" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.39.cmml">r</mi>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40.1.cmml">m</mi>
                      </msub>
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                </mrow>
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          </mrow>
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      <mtr id="p1.1.m1.1.1d" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
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        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1f" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">
            <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">1</mn>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">≥</mo>
            <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml">r</mi>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.cmml">m</mi>
            </msub>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml">≥</mo>
            <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">0</mn>
          </mrow>
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      </mtr>
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        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1i" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml">⇒</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.cmml">ln</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.cmml">⁡</mo>
              <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.cmml">r</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.1.cmml">m</mi>
              </msub>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.cmml">≤</mo>
            <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.cmml">0</mn>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1j" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1k" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1l" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1.cmml">⇒</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.10.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.cmml">η</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.10.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.10.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.10.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.10.cmml">(</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.cmml">ρ</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.10.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.cmml">≥</mo>
            <mn id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.cmml">0</mn>
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          <cerror id="p1.1.m1.1.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
            <and id="p1.1.m1.1.1.1.2.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5"/>
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                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3">𝜌</ci>
              </apply>
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                  <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43.1.1"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7">𝑘</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43.1.2.2">
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                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43.1.2.2.1">
                      <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43.1.2.2.1.1"/>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11">𝜌</ci>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43.1.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43.1.2.2.1.2">
                        <ln id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12"/>
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                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.1.2.1">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.1.2.1">subscript</csymbol>
                      <sum id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18"/>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1">𝑚</ci>
                    </apply>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.1.2.2">
                      <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20a">quantum-operator-product</csymbol>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.1.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.1.2.2.2">
                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.1.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.1.2.2.2">subscript</csymbol>
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              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6">0</cn>
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    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &amp;\displaystyle\eta\left(\rho\right%
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\right|\rho\ln\rho\left|{{r}_{m}}\right\rangle}=-k\sum\limits_{m}{{{r}_{m}}\ln%
{{r}_{m}}}\\
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&amp;\displaystyle\Rightarrow\eta\left(\rho\right)\geq 0\\
\end{aligned}}}</annotation>
  </semantics>
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\begin{array}{l} η (ρ) = - k T r (ρ \ln ρ) = - k \sum_{m}^{} ⟨ r_{m} | ρ \ln ρ | r_{m} ⟩ = - k \sum_{m}^{} r_{m} \ln r_{m} \\ 1 \geq r_{m} \geq 0 \\ \Rightarrow \ln r_{m} \leq 0 \\ \Rightarrow η (ρ) \geq 0 \end{array}

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