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Display information for equation id:math.2128.27 on revision:2128

* Page found: Retardierte Potenziale (eq math.2128.27)

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TeX (original user input): 

\begin{align}
& \omega =R\cdot {{e}^{i\phi }}\quad \pi \le \phi \le 2\pi  \\
& d\omega =R\cdot {{e}^{i\phi }}id\phi  \\
& \left| {{e}^{-i\omega \tau }} \right|={{e}^{R\sin \phi \tau }} \\
& \sin \phi <0 \\
& \tau >0 \\
& \Rightarrow \begin{matrix}
\lim   \\
R\to \infty   \\
\end{matrix}{{e}^{R\sin \phi \tau }}=0 \\
\end{align}

TeX (checked): 

{\begin{aligned}&\omega =R\cdot {{e}^{i\phi }}\quad \pi \leq \phi \leq 2\pi \\&d\omega =R\cdot {{e}^{i\phi }}id\phi \\&\left|{{e}^{-i\omega \tau }}\right|={{e}^{R\sin \phi \tau }}\\&\sin \phi <0\\&\tau >0\\&\Rightarrow {\begin{matrix}\lim \\R\to \infty \\\end{matrix}}{{e}^{R\sin \phi \tau }}=0\\\end{aligned}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (25.862 KB / 3.133 KB) :

ω = R ⋅ e i ⁢ ϕ   π ≤ ϕ ≤ 2 ⁢ π d ⁢ ω = R ⋅ e i ⁢ ϕ ⁢ i ⁢ d ⁢ ϕ | e - i ⁢ ω ⁢ τ | = e R ⁢ sin ⁡ ϕ ⁢ τ sin ⁡ ϕ < 0 τ > 0 ⇒ lim R → ∞ ⁢ e R ⁢ sin ⁡ ϕ ⁢ τ = 0 missing-subexpression formulae-sequence 𝜔 ⋅ 𝑅 superscript 𝑒 𝑖 italic-ϕ 𝜋 italic-ϕ 2 𝜋 missing-subexpression 𝑑 𝜔 ⋅ 𝑅 superscript 𝑒 𝑖 italic-ϕ 𝑖 𝑑 italic-ϕ missing-subexpression superscript 𝑒 𝑖 𝜔 𝜏 superscript 𝑒 𝑅 italic-ϕ 𝜏 missing-subexpression italic-ϕ 0 missing-subexpression 𝜏 0 missing-subexpression ⇒ absent → 𝑅 superscript 𝑒 𝑅 italic-ϕ 𝜏 0 {\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &\displaystyle\omega=R\cdot{{e}^{i% \phi}}\quad\pi\leq\phi\leq 2\pi\\ &\displaystyle d\omega=R\cdot{{e}^{i\phi}}id\phi\\ &\displaystyle\left|{{e}^{-i\omega\tau}}\right|={{e}^{R\sin\phi\tau}}\\ &\displaystyle\sin\phi<0\\ &\displaystyle\tau>0\\ &\displaystyle\Rightarrow\begin{matrix}\lim\\ R\to\infty\\ \end{matrix}{{e}^{R\sin\phi\tau}}=0\\ \end{aligned}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &amp;\displaystyle\omega=R\cdot{{e}^{i%&#10;\phi}}\quad\pi\leq\phi\leq 2\pi\\&#10;&amp;\displaystyle d\omega=R\cdot{{e}^{i\phi}}id\phi\\&#10;&amp;\displaystyle\left|{{e}^{-i\omega\tau}}\right|={{e}^{R\sin\phi\tau}}\\&#10;&amp;\displaystyle\sin\phi&lt;0\\&#10;&amp;\displaystyle\tau&gt;0\\&#10;&amp;\displaystyle\Rightarrow\begin{matrix}\lim\\&#10;R\to\infty\\&#10;\end{matrix}{{e}^{R\sin\phi\tau}}=0\\&#10;\end{aligned}}}" display="inline">
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          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">ω</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">=</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml">R</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">⋅</mo>
                <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml">e</mi>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.1.cmml">i</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.3.cmml">⁢</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.2.cmml">ϕ</mi>
                  </mrow>
                </msup>
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            </mrow>
            <mo mathvariant="italic" separator="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15a.cmml"> </mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml">π</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">≤</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml">ϕ</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.cmml">≤</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.2.cmml">
                <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml">2</mn>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml">π</mi>
              </mrow>
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          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1d" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1e" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1f" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">d</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">ω</mi>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml">R</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml">⋅</mo>
                <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">e</mi>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.1.cmml">i</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.3.cmml">⁢</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.2.cmml">ϕ</mi>
                  </mrow>
                </msup>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.cmml">⁢</mo>
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          </mrow>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.1.cmml">|</mo>
              <msup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.cmml">
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                <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.1.cmml">-</mo>
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                    <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.2.cmml">i</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.5.1.cmml">⁢</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.3.cmml">ω</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.5.1a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.5.1.cmml">⁢</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.4.cmml">τ</mi>
                  </mrow>
                </mrow>
              </msup>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.1.cmml">|</mo>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.cmml">=</mo>
            <msup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.cmml">e</mi>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.1.cmml">R</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.5.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.6.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.2.cmml">sin</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.6a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.6.cmml">⁡</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.6.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.3.cmml">ϕ</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.6.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.6.1.1.cmml">⁢</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.4.cmml">τ</mi>
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                </mrow>
              </mrow>
            </msup>
          </mrow>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.5.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1.cmml">sin</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.5a" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.5.cmml">⁡</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.cmml">ϕ</mi>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.cmml">&lt;</mo>
            <mn id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.cmml">0</mn>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.1.5.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.1.cmml">τ</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.2.cmml">&gt;</mo>
            <mn id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.cmml">0</mn>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1p" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1q" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1r" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.6.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.8.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.1.cmml">⇒</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.9.cmml">
              <mtable rowspacing="0pt" id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.2.cmml">
                <mtr id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.2a" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.2.cmml">
                  <mtd columnalign="center" id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.2b" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.2.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.2.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.2.1.1.1.cmml">lim</mo>
                  </mtd>
                </mtr>
                <mtr id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.2c" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.2.cmml">
                  <mtd columnalign="center" id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.2d" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.2.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.2.2.1.1.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.2.2.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.2.2.1.1.1.cmml">R</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.2.2.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.2.2.1.1.2.cmml">→</mo>
                      <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.2.2.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.2.2.1.1.3.cmml">∞</mi>
                    </mrow>
                  </mtd>
                </mtr>
              </mtable>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.9.1" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.9.1.cmml">⁢</mo>
              <msup id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.9.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.3.cmml">e</mi>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.1.1.cmml">R</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.1.5.cmml">⁢</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.1.6.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.1.2.cmml">sin</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.1.6a" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.1.6.cmml">⁡</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.1.6.1.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.1.3.cmml">ϕ</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.1.6.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.1.6.1.1.cmml">⁢</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.1.4.cmml">τ</mi>
                    </mrow>
                  </mrow>
                </mrow>
              </msup>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.5.cmml">=</mo>
            <mn id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.6.cmml">0</mn>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
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        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14">formulae-sequence</csymbol>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1">𝜔</ci>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1">
                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4">⋅</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3">𝑅</ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.1">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.1">superscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5">𝑒</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1">
                    <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.3"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.1">𝑖</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.2">italic-ϕ</ci>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17">
              <and id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17">
                <leq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8">𝜋</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10">italic-ϕ</ci>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17">
                <leq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11"/>
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                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12">2</cn>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13">𝜋</ci>
                </apply>
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          <cerror id="p1.1.m1.1.1e.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1f.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
            <eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11">
              <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1">𝑑</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2">𝜔</ci>
            </apply>
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              <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1"/>
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                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5">⋅</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4">𝑅</ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1">superscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6">𝑒</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1">
                    <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.3"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.1">𝑖</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.2">italic-ϕ</ci>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8">𝑖</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9">𝑑</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10">italic-ϕ</ci>
            </apply>
          </apply>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1g.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1h.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1i.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1">
            <eq id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8">
              <abs id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1"/>
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                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.2">superscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2">𝑒</ci>
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                  <minus id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.1"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.5">
                    <times id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.5.1"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.2">𝑖</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.3">𝜔</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.4">𝜏</ci>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9">superscript</csymbol>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6">𝑒</ci>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1">
                <times id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.5"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.1">𝑅</ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.6">
                  <sin id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.2"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.6.1">
                    <times id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.6.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.6.1.1"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.3">italic-ϕ</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.1.4">𝜏</ci>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1j.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1k.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1l.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1">
            <lt id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.5">
              <sin id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2">italic-ϕ</ci>
            </apply>
            <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4">0</cn>
          </apply>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1m.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1n.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1o.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1">
            <gt id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.2"/>
            <ci id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.1">𝜏</ci>
            <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.5.2.1.3">0</cn>
          </apply>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1p.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1q.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1r.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1">
            <and id="p1.1.m1.1.1.6.2.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.6.2.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1">
              <ci id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.1">⇒</ci>
              <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.8">absent</csymbol>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.9">
                <times id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.9.1"/>
                <matrix id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.2">
                  <matrixrow id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.2a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.2">
                    <limit id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.2.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.2.1.1.1"/>
                  </matrixrow>
                  <matrixrow id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.2b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.2">
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.2.2.1.1">
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.2.2.1.1.2">→</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.2.2.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.2.2.1.1.1">𝑅</ci>
                      <infinity id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.2.2.1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.2.2.1.1.3"/>
                    </apply>
                  </matrixrow>
                </matrix>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.9.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.9.2">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.9.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.9.2">superscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.3">𝑒</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.1">
                    <times id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.1.5"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.1.1">𝑅</ci>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.1.6">
                      <sin id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.1.2"/>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.1.6.1">
                        <times id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.1.6.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.1.6.1.1"/>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.1.3">italic-ϕ</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.4.1.4">𝜏</ci>
                      </apply>
                    </apply>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.6.2.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.5"/>
              <share href="#p1.1.m1.1.1.6.2.1.9.cmml" id="p1.1.m1.1.1.6.2.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1"/>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.6.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.6.2.1.6">0</cn>
            </apply>
          </apply>
        </matrixrow>
      </matrix>
    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &amp;\displaystyle\omega=R\cdot{{e}^{i%
\phi}}\quad\pi\leq\phi\leq 2\pi\\
&amp;\displaystyle d\omega=R\cdot{{e}^{i\phi}}id\phi\\
&amp;\displaystyle\left|{{e}^{-i\omega\tau}}\right|={{e}^{R\sin\phi\tau}}\\
&amp;\displaystyle\sin\phi&lt;0\\
&amp;\displaystyle\tau&gt;0\\
&amp;\displaystyle\Rightarrow\begin{matrix}\lim\\
R\to\infty\\
\end{matrix}{{e}^{R\sin\phi\tau}}=0\\
\end{aligned}}}</annotation>
  </semantics>
</math>

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ω=R⋅eiϕπ≤ϕ≤2πdω=R⋅eiϕidϕ|e−iωτ|=eRsin⁡ϕτsin⁡ϕ<0τ>0⇒limR→∞eRsin⁡ϕτ=0
<math class="mwe-math-element" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true" rowspacing="3pt"><mtr><mtd></mtd><mtd><mi>&#x03C9;</mi><mo>=</mo><mi>R</mi><mo>&#x22C5;</mo><msup><mi>e</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi><mi>&#x03D5;</mi></mrow></mrow></msup><mspace width="1em"></mspace><mi>&#x03C0;</mi><mo>&#x2264;</mo><mi>&#x03D5;</mi><mo>&#x2264;</mo><mn>2</mn><mi>&#x03C0;</mi></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi>d</mi><mi>&#x03C9;</mi><mo>=</mo><mi>R</mi><mo>&#x22C5;</mo><msup><mi>e</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi><mi>&#x03D5;</mi></mrow></mrow></msup><mi>i</mi><mi>d</mi><mi>&#x03D5;</mi></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">|</mo><msup><mi>e</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>&#x2212;</mo><mi>i</mi><mi>&#x03C9;</mi><mi>&#x03C4;</mi></mrow></mrow></msup><mo data-mjx-texclass="CLOSE">|</mo></mrow><mo>=</mo><msup><mi>e</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>R</mi><mi>sin</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>&#x03D5;</mi><mi>&#x03C4;</mi></mrow></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi>sin</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>&#x03D5;</mi><mo>&lt;</mo><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi>&#x03C4;</mi><mo>&gt;</mo><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mo>&#x21D2;</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mtable columnspacing="1em" rowspacing="4pt"><mtr><mtd><mi>lim</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>R</mi><mo accent="false">&#x2192;</mo><mi mathvariant="normal">&#x221E;</mi></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd></mtr></mtable></mrow><msup><mi>e</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>R</mi><mi>sin</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>&#x03D5;</mi><mi>&#x03C4;</mi></mrow></mrow></msup><mo>=</mo><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow></math>

Translations to Computer Algebra Systems

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In Maple:

Translation to Mathematica

In Mathematica:

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Identifiers

  • ω
  • R
  • e
  • i
  • ϕ
  • π
  • ϕ
  • π
  • d
  • ω
  • R
  • e
  • i
  • ϕ
  • i
  • d
  • ϕ
  • e
  • i
  • ω
  • τ
  • e
  • R
  • ϕ
  • τ
  • ϕ
  • τ
  • R
  • e
  • R
  • ϕ
  • τ

MathML observations

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