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* Page found: Freie Wellenausbreitung im Vakuum (eq math.2126.23)

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Freie Wellenausbreitung im Vakuum Eq: math.2126.23

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u(\bar{r},t)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}k}\tilde{u}(\bar{k}){{e}^{i(\bar{k}\bar{r}-\varpi (\bar{k})t)}}

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u({\bar {r}},t)=\int _{}^{}{{{d}^{3}}k}{\tilde {u}}({\bar {k}}){{e}^{i({\bar {k}}{\bar {r}}-\varpi ({\bar {k}})t)}}

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MathML (10.104 KB / 1.552 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle u(\bar{r},t)=\int{{{d}^{3}}k}\tilde{u}(\bar{k}){{% e}^{i(\bar{k}\bar{r}-\varpi(\bar{k})t)}}}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle u(\bar{r},t)=\int{{{d}^{3}}k}\tilde{u}(\bar{k}){{%&#10;e}^{i(\bar{k}\bar{r}-\varpi(\bar{k})t)}}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.18.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.18.1" xref="p1.1.m1.1.18.1.cmml">
        <mi id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">u</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.18.1.1" xref="p1.1.m1.1.18.1.1.cmml">⁢</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.18.1.2" xref="p1.1.m1.1.18.1.2.1.cmml">
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.18.1.2.1.cmml">(</mo>
          <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.cmml">r</mi>
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.1.cmml">¯</mo>
          </mover>
          <mo id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.18.1.2.1.cmml">,</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">t</mi>
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.18.1.2.1.cmml">)</mo>
        </mrow>
      </mrow>
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      <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.18.2" xref="p1.1.m1.1.18.2.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.18.2a" xref="p1.1.m1.1.18.2.cmml">
          <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">∫</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.18.2.1" xref="p1.1.m1.1.18.2.1.cmml">
            <msup id="p1.1.m1.1.18.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.18.2.1.2.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">d</mi>
              <mn id="p1.1.m1.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.10.1.cmml">3</mn>
            </msup>
            <mo id="p1.1.m1.1.18.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.18.2.1.1.cmml">⁢</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">k</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.18.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.18.2.1.1.cmml">⁢</mo>
            <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.12.2" xref="p1.1.m1.1.12.2.cmml">u</mi>
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            </mover>
            <mo id="p1.1.m1.1.18.2.1.1b" xref="p1.1.m1.1.18.2.1.1.cmml">⁢</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.18.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">(</mo>
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              </mover>
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            <msup id="p1.1.m1.1.18.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.18.2.1.4.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">e</mi>
              <mrow id="p1.1.m1.1.17.1" xref="p1.1.m1.1.17.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.17.1.1" xref="p1.1.m1.1.17.1.1.cmml">i</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.17.1.12" xref="p1.1.m1.1.17.1.12.cmml">⁢</mo>
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                      <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.17.1.3" xref="p1.1.m1.1.17.1.3.cmml">
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                    <mo id="p1.1.m1.1.17.1.5" xref="p1.1.m1.1.17.1.5.cmml">-</mo>
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                      <mi id="p1.1.m1.1.17.1.6" xref="p1.1.m1.1.17.1.6.cmml">ϖ</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.17.1.13.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.17.1.13.2.2.1.cmml">⁢</mo>
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                          <mi id="p1.1.m1.1.17.1.8.2" xref="p1.1.m1.1.17.1.8.2.cmml">k</mi>
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          <ci id="p1.1.m1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">𝑢</ci>
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              <ci id="p1.1.m1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.1">¯</ci>
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              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.18.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.2.1.2">superscript</csymbol>
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              <ci id="p1.1.m1.1.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1">~</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.12.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2">𝑢</ci>
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              <ci id="p1.1.m1.1.14.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.1">¯</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.14.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.2">𝑘</ci>
            </apply>
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              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.18.2.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.2.1.4">superscript</csymbol>
              <ci id="p1.1.m1.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.16">𝑒</ci>
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                <ci id="p1.1.m1.1.17.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.1.1">𝑖</ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.17.1.13.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.1.13">
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                  </apply>
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u (\bar{r}, t) = \int_{}^{} d^{3} k \tilde{u} (\bar{k}) e^{i (\bar{k} \bar{r} - ϖ (\bar{k}) t)}

<math class="mwe-math-element" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mi>u</mi><mo stretchy="false">(</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>r</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow><mo>,</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><munderover><mo texclass="OP">&#x222B;</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"></mrow></munderover></mstyle><mrow data-mjx-texclass="ORD"><msup><mi>d</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>3</mn></mrow></msup><mi>k</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>u</mi><mo>~</mo></mover></mrow></mrow><mo stretchy="false">(</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>k</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow><mo stretchy="false">)</mo><msup><mi>e</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi><mo stretchy="false">(</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>k</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>r</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow><mo>&#x2212;</mo><mi>&#x03D6;</mi><mo stretchy="false">(</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>k</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow><mo stretchy="false">)</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></msup></mstyle></mrow></math>

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$u$

$\bar{r}$

$t$

$k$

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$\bar{k}$

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$\bar{r}$

$ϖ$

$\bar{k}$

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