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* Page found: Die elektrostatische Feldenergie (eq math.2086.8)

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W=\frac{1}{2}\int_{{}}^{{}}{\Phi (\bar{r})\rho (\bar{r}){{d}^{3}}r}=\frac{1}{8\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\rho (\bar{r})\rho (\bar{r}\acute{\ })}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (19.686 KB / 2.545 KB) :

W = 1 2 ⁢ ∫ Φ ⁢ ( r ¯ ) ⁢ ρ ⁢ ( r ¯ ) ⁢ d 3 ⁢ r = 1 8 ⁢ π ⁢ ε 0 ⁢ ∫ d 3 ⁢ r ⁢ ∫ d 3 ⁢ r ⁢ ´ ⁢ ρ ⁢ ( r ¯ ) ⁢ ρ ⁢ ( r ¯ ⁢ ´ ) | r ¯ - r ¯ ⁢ ´ | 𝑊 1 2 Φ ¯ 𝑟 𝜌 ¯ 𝑟 superscript 𝑑 3 𝑟 1 8 𝜋 subscript 𝜀 0 superscript 𝑑 3 𝑟 superscript 𝑑 3 𝑟 ´ absent 𝜌 ¯ 𝑟 𝜌 ¯ 𝑟 ´ absent ¯ 𝑟 ¯ 𝑟 ´ absent {\displaystyle{\displaystyle W=\frac{1}{2}\int{\Phi(\bar{r})\rho(\bar{r}){{d}^% {3}}r}=\frac{1}{8\pi{{\varepsilon}_{0}}}\int{{}}{{d}^{3}}r\int{{}}{{d}^{3}}r% \acute{\ }\frac{\rho(\bar{r})\rho(\bar{r}\acute{\ })}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{% \ }|}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle W=\frac{1}{2}\int{\Phi(\bar{r})\rho(\bar{r}){{d}^%&#10;{3}}r}=\frac{1}{8\pi{{\varepsilon}_{0}}}\int{{}}{{d}^{3}}r\int{{}}{{d}^{3}}r%&#10;\acute{\ }\frac{\rho(\bar{r})\rho(\bar{r}\acute{\ })}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{%&#10;\ }|}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.28" xref="p1.1.m1.1.28.cmml">
      <mi id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">W</mi>
      <mo id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.28.2" xref="p1.1.m1.1.28.2.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.3a" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">
            <mn id="p1.1.m1.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.cmml">1</mn>
            <mn id="p1.1.m1.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.3.3.cmml">2</mn>
          </mfrac>
        </mstyle>
        <mo id="p1.1.m1.1.28.2.1" xref="p1.1.m1.1.28.2.1.cmml">⁢</mo>
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.28.2.2" xref="p1.1.m1.1.28.2.2.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.28.2.2a" xref="p1.1.m1.1.28.2.2.cmml">
            <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">∫</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.28.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.28.2.2.1.cmml">
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">Φ</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.28.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.28.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.28.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">(</mo>
                <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.7.2.cmml">r</mi>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.7.1.cmml">¯</mo>
                </mover>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">)</mo>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.28.2.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.28.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">ρ</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.28.2.2.1.1b" xref="p1.1.m1.1.28.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.28.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">(</mo>
                <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.11.2" xref="p1.1.m1.1.11.2.cmml">r</mi>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml">¯</mo>
                </mover>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">)</mo>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.28.2.2.1.1c" xref="p1.1.m1.1.28.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
              <msup id="p1.1.m1.1.28.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.28.2.2.1.4.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">d</mi>
                <mn id="p1.1.m1.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.14.1.cmml">3</mn>
              </msup>
              <mo id="p1.1.m1.1.28.2.2.1.1d" xref="p1.1.m1.1.28.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">r</mi>
            </mrow>
          </mrow>
        </mstyle>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.28.3" xref="p1.1.m1.1.28.3.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.17.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.17a" xref="p1.1.m1.1.17.cmml">
            <mn id="p1.1.m1.1.17.2" xref="p1.1.m1.1.17.2.cmml">1</mn>
            <mrow id="p1.1.m1.1.17.3" xref="p1.1.m1.1.17.3.cmml">
              <mn id="p1.1.m1.1.17.3.1" xref="p1.1.m1.1.17.3.1.cmml">8</mn>
              <mo id="p1.1.m1.1.17.3.5" xref="p1.1.m1.1.17.3.5.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.17.3.2" xref="p1.1.m1.1.17.3.2.cmml">π</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.17.3.5a" xref="p1.1.m1.1.17.3.5.cmml">⁢</mo>
              <msub id="p1.1.m1.1.17.3.6" xref="p1.1.m1.1.17.3.6.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.17.3.3" xref="p1.1.m1.1.17.3.3.cmml">ε</mi>
                <mn id="p1.1.m1.1.17.3.4.1" xref="p1.1.m1.1.17.3.4.1.cmml">0</mn>
              </msub>
            </mrow>
          </mfrac>
        </mstyle>
        <mo id="p1.1.m1.1.28.3.1" xref="p1.1.m1.1.28.3.1.cmml">⁢</mo>
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.28.3.2" xref="p1.1.m1.1.28.3.2.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.28.3.2a" xref="p1.1.m1.1.28.3.2.cmml">
            <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.18.cmml">∫</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.28.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.28.3.2.1.cmml">
              <msup id="p1.1.m1.1.28.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.28.3.2.1.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.19.cmml">d</mi>
                <mn id="p1.1.m1.1.20.1" xref="p1.1.m1.1.20.1.cmml">3</mn>
              </msup>
              <mo id="p1.1.m1.1.28.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.28.3.2.1.1.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.21.cmml">r</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.28.3.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.28.3.2.1.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.28.3.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.28.3.2.1.3.cmml">
                <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.22" xref="p1.1.m1.1.22.cmml">∫</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.28.3.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.28.3.2.1.3.1.cmml">
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                    <mn id="p1.1.m1.1.24.1" xref="p1.1.m1.1.24.1.cmml">3</mn>
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                  <mo id="p1.1.m1.1.28.3.2.1.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.28.3.2.1.3.1.1.cmml">⁢</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.25" xref="p1.1.m1.1.25.cmml">r</mi>
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                  <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.26" xref="p1.1.m1.1.26.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.26.2" xref="p1.1.m1.1.26.2.cmml"/>
                    <mo id="p1.1.m1.1.26.1" xref="p1.1.m1.1.26.1.cmml">´</mo>
                  </mover>
                  <mo id="p1.1.m1.1.28.3.2.1.3.1.1b" xref="p1.1.m1.1.28.3.2.1.3.1.1.cmml">⁢</mo>
                  <mfrac id="p1.1.m1.1.27" xref="p1.1.m1.1.27.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.27.2" xref="p1.1.m1.1.27.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.27.2.1" xref="p1.1.m1.1.27.2.1.cmml">ρ</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.27.2.10" xref="p1.1.m1.1.27.2.10.cmml">⁢</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.27.2.11" xref="p1.1.m1.1.27.2.3.cmml">
                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.27.2.2" xref="p1.1.m1.1.27.2.3.cmml">(</mo>
                        <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.27.2.3" xref="p1.1.m1.1.27.2.3.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.27.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.27.2.3.2.cmml">r</mi>
                          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.27.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.27.2.3.1.cmml">¯</mo>
                        </mover>
                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.27.2.4" xref="p1.1.m1.1.27.2.3.cmml">)</mo>
                      </mrow>
                      <mo id="p1.1.m1.1.27.2.10a" xref="p1.1.m1.1.27.2.10.cmml">⁢</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.27.2.5" xref="p1.1.m1.1.27.2.5.cmml">ρ</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.27.2.10b" xref="p1.1.m1.1.27.2.10.cmml">⁢</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.27.2.12" xref="p1.1.m1.1.27.2.12.2.cmml">
                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.27.2.6" xref="p1.1.m1.1.27.2.12.2.cmml">(</mo>
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                          <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.27.2.7" xref="p1.1.m1.1.27.2.7.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.27.2.7.2" xref="p1.1.m1.1.27.2.7.2.cmml">r</mi>
                            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.27.2.7.1" xref="p1.1.m1.1.27.2.7.1.cmml">¯</mo>
                          </mover>
                          <mo id="p1.1.m1.1.27.2.12.2.1" xref="p1.1.m1.1.27.2.12.2.1.cmml">⁢</mo>
                          <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.27.2.8" xref="p1.1.m1.1.27.2.8.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.27.2.8.2" xref="p1.1.m1.1.27.2.8.2.cmml"/>
                            <mo id="p1.1.m1.1.27.2.8.1" xref="p1.1.m1.1.27.2.8.1.cmml">´</mo>
                          </mover>
                        </mrow>
                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.27.2.9" xref="p1.1.m1.1.27.2.12.2.cmml">)</mo>
                      </mrow>
                    </mrow>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.27.3" xref="p1.1.m1.1.27.3.7.cmml">
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.27.3.1" xref="p1.1.m1.1.27.3.7.1.cmml">|</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.27.3.8" xref="p1.1.m1.1.27.3.8.cmml">
                        <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.27.3.2" xref="p1.1.m1.1.27.3.2.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.27.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.27.3.2.2.cmml">r</mi>
                          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.27.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.27.3.2.1.cmml">¯</mo>
                        </mover>
                        <mo id="p1.1.m1.1.27.3.3" xref="p1.1.m1.1.27.3.3.cmml">-</mo>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.17.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.3.3">𝜀</ci>
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\acute{\ }\frac{\rho(\bar{r})\rho(\bar{r}\acute{\ })}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{%
\ }|}}}</annotation>
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