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Display information for equation id:math.2085.11 on revision:2085

* Page found: Die elektrostatische Feldenergie (eq math.2085.11)

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TeX (original user input): 

W=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{\Phi (\bar{r})\nabla \cdot \bar{E}{{d}^{3}}r}=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}\left[ \int_{{{R}^{3}}}^{{}}{\nabla \cdot \left( \Phi (\bar{r})\bar{E} \right){{d}^{3}}r}-\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{\left( \nabla \Phi (\bar{r}) \right)\cdot \bar{E}{{d}^{3}}r} \right]

TeX (checked): 

W={\frac {{\varepsilon }_{0}}{2}}\int _{{R}^{3}}^{}{\Phi ({\bar {r}})\nabla \cdot {\bar {E}}{{d}^{3}}r}={\frac {{\varepsilon }_{0}}{2}}\left[\int _{{R}^{3}}^{}{\nabla \cdot \left(\Phi ({\bar {r}}){\bar {E}}\right){{d}^{3}}r}-\int _{{R}^{3}}^{}{\left(\nabla \Phi ({\bar {r}})\right)\cdot {\bar {E}}{{d}^{3}}r}\right]

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (22.237 KB / 2.781 KB) :

W = ε 0 2 ⁢ ∫ R 3 Φ ⁢ ( r ¯ ) ⁢ ∇ ⋅ E ¯ ⁢ d 3 ⁢ r = ε 0 2 ⁢ [ ∫ R 3 ∇ ⋅ ( Φ ⁢ ( r ¯ ) ⁢ E ¯ ) ⁢ d 3 ⁢ r - ∫ R 3 ( ∇ ⁡ Φ ⁢ ( r ¯ ) ) ⋅ E ¯ ⁢ d 3 ⁢ r ] 𝑊 subscript 𝜀 0 2 subscript superscript 𝑅 3 ⋅ Φ ¯ 𝑟 ∇ ¯ 𝐸 superscript 𝑑 3 𝑟 subscript 𝜀 0 2 delimited-[] subscript superscript 𝑅 3 ⋅ ∇ Φ ¯ 𝑟 ¯ 𝐸 superscript 𝑑 3 𝑟 subscript superscript 𝑅 3 ⋅ ∇ Φ ¯ 𝑟 ¯ 𝐸 superscript 𝑑 3 𝑟 {\displaystyle{\displaystyle W=\frac{{{\varepsilon}_{0}}}{2}\int_{{{R}^{3}}}{% \Phi(\bar{r})\nabla\cdot\bar{E}{{d}^{3}}r}=\frac{{{\varepsilon}_{0}}}{2}\left[% \int_{{{R}^{3}}}{\nabla\cdot\left(\Phi(\bar{r})\bar{E}\right){{d}^{3}}r}-\int_% {{{R}^{3}}}{\left(\nabla\Phi(\bar{r})\right)\cdot\bar{E}{{d}^{3}}r}\right]}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle W=\frac{{{\varepsilon}_{0}}}{2}\int_{{{R}^{3}}}{%&#10;\Phi(\bar{r})\nabla\cdot\bar{E}{{d}^{3}}r}=\frac{{{\varepsilon}_{0}}}{2}\left[%&#10;\int_{{{R}^{3}}}{\nabla\cdot\left(\Phi(\bar{r})\bar{E}\right){{d}^{3}}r}-\int_%&#10;{{{R}^{3}}}{\left(\nabla\Phi(\bar{r})\right)\cdot\bar{E}{{d}^{3}}r}\right]}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.49" xref="p1.1.m1.1.49.cmml">
      <mi id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">W</mi>
      <mo id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.49.2" xref="p1.1.m1.1.49.2.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.3a" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">
            <msub id="p1.1.m1.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.3.2.1.cmml">ε</mi>
              <mn id="p1.1.m1.1.3.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.3.2.2.1.cmml">0</mn>
            </msub>
            <mn id="p1.1.m1.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.3.3.cmml">2</mn>
          </mfrac>
        </mstyle>
        <mo id="p1.1.m1.1.49.2.1" xref="p1.1.m1.1.49.2.1.cmml">⁢</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.49.2.2" xref="p1.1.m1.1.49.2.2.cmml">
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.49.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.49.2.2.1.cmml">
            <msub id="p1.1.m1.1.49.2.2.1a" xref="p1.1.m1.1.49.2.2.1.cmml">
              <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">∫</mo>
              <msup id="p1.1.m1.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.5.1.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.1.cmml">R</mi>
                <mn id="p1.1.m1.1.5.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.2.1.cmml">3</mn>
              </msup>
            </msub>
          </mstyle>
          <mrow id="p1.1.m1.1.49.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.49.2.2.2.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.49.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.49.2.2.2.2.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.49.2.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.49.2.2.2.2.1.cmml">
                <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">Φ</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.49.2.2.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.49.2.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.49.2.2.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">(</mo>
                  <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.8.2" xref="p1.1.m1.1.8.2.cmml">r</mi>
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.cmml">¯</mo>
                  </mover>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">)</mo>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.49.2.2.2.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.49.2.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                <mo id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">∇</mo>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">⋅</mo>
              <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.12.2" xref="p1.1.m1.1.12.2.cmml">E</mi>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.12.1" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">¯</mo>
              </mover>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.49.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.49.2.2.2.1.cmml">⁢</mo>
            <msup id="p1.1.m1.1.49.2.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.49.2.2.2.3.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">d</mi>
              <mn id="p1.1.m1.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.14.1.cmml">3</mn>
            </msup>
            <mo id="p1.1.m1.1.49.2.2.2.1a" xref="p1.1.m1.1.49.2.2.2.1.cmml">⁢</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">r</mi>
          </mrow>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.49.3" xref="p1.1.m1.1.49.3.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.17.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.17a" xref="p1.1.m1.1.17.cmml">
            <msub id="p1.1.m1.1.17.2" xref="p1.1.m1.1.17.2.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.17.2.1" xref="p1.1.m1.1.17.2.1.cmml">ε</mi>
              <mn id="p1.1.m1.1.17.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.17.2.2.1.cmml">0</mn>
            </msub>
            <mn id="p1.1.m1.1.17.3" xref="p1.1.m1.1.17.3.cmml">2</mn>
          </mfrac>
        </mstyle>
        <mo id="p1.1.m1.1.49.3.1" xref="p1.1.m1.1.49.3.1.cmml">⁢</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.49.3.2" xref="p1.1.m1.1.49.3.2.1.cmml">
          <mo id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.49.3.2.1.1.cmml">[</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.49.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.49.3.2.2.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.49.3.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.49.3.2.2.1.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.49.3.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.49.3.2.2.1.1.cmml">
                <msub id="p1.1.m1.1.49.3.2.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.49.3.2.2.1.1.cmml">
                  <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.19.cmml">∫</mo>
                  <msup id="p1.1.m1.1.20.1" xref="p1.1.m1.1.20.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.20.1.1" xref="p1.1.m1.1.20.1.1.cmml">R</mi>
                    <mn id="p1.1.m1.1.20.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.20.1.2.1.cmml">3</mn>
                  </msup>
                </msub>
              </mstyle>
              <mrow id="p1.1.m1.1.49.3.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.49.3.2.2.1.2.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.49.3.2.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.49.3.2.2.1.2.2.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.21.cmml">∇</mo>
                  <mo id="p1.1.m1.1.22" xref="p1.1.m1.1.22.cmml">⋅</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.49.3.2.2.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.49.3.2.2.1.2.2.1.2.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.23" xref="p1.1.m1.1.49.3.2.2.1.2.2.1.2.cmml">(</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.49.3.2.2.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.49.3.2.2.1.2.2.1.2.cmml">
                      <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.24" xref="p1.1.m1.1.24.cmml">Φ</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.49.3.2.2.1.2.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.49.3.2.2.1.2.2.1.2.1.cmml">⁢</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.49.3.2.2.1.2.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.26.cmml">
                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.25" xref="p1.1.m1.1.26.cmml">(</mo>
                        <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.26" xref="p1.1.m1.1.26.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.26.2" xref="p1.1.m1.1.26.2.cmml">r</mi>
                          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.26.1" xref="p1.1.m1.1.26.1.cmml">¯</mo>
                        </mover>
                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.27" xref="p1.1.m1.1.26.cmml">)</mo>
                      </mrow>
                      <mo id="p1.1.m1.1.49.3.2.2.1.2.2.1.2.1a" xref="p1.1.m1.1.49.3.2.2.1.2.2.1.2.1.cmml">⁢</mo>
                      <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.28" xref="p1.1.m1.1.28.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.28.2" xref="p1.1.m1.1.28.2.cmml">E</mi>
                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.28.1" xref="p1.1.m1.1.28.1.cmml">¯</mo>
                      </mover>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.29" xref="p1.1.m1.1.49.3.2.2.1.2.2.1.2.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.49.3.2.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.49.3.2.2.1.2.1.cmml">⁢</mo>
                <msup id="p1.1.m1.1.49.3.2.2.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.49.3.2.2.1.2.3.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.30" xref="p1.1.m1.1.30.cmml">d</mi>
                  <mn id="p1.1.m1.1.31.1" xref="p1.1.m1.1.31.1.cmml">3</mn>
                </msup>
                <mo id="p1.1.m1.1.49.3.2.2.1.2.1a" xref="p1.1.m1.1.49.3.2.2.1.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.32" xref="p1.1.m1.1.32.cmml">r</mi>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.33" xref="p1.1.m1.1.33.cmml">-</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.49.3.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.49.3.2.2.2.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.49.3.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.49.3.2.2.2.1.cmml">
                <msub id="p1.1.m1.1.49.3.2.2.2.1a" xref="p1.1.m1.1.49.3.2.2.2.1.cmml">
                  <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.34" xref="p1.1.m1.1.34.cmml">∫</mo>
                  <msup id="p1.1.m1.1.35.1" xref="p1.1.m1.1.35.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.35.1.1" xref="p1.1.m1.1.35.1.1.cmml">R</mi>
                    <mn id="p1.1.m1.1.35.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.35.1.2.1.cmml">3</mn>
                  </msup>
                </msub>
              </mstyle>
              <mrow id="p1.1.m1.1.49.3.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.49.3.2.2.2.2.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.49.3.2.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.49.3.2.2.2.2.2.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.49.3.2.2.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.49.3.2.2.2.2.2.1.2.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.36" xref="p1.1.m1.1.49.3.2.2.2.2.2.1.2.cmml">(</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.49.3.2.2.2.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.49.3.2.2.2.2.2.1.2.cmml">
                      <mrow id="p1.1.m1.1.49.3.2.2.2.2.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.49.3.2.2.2.2.2.1.2.2.cmml">
                        <mo id="p1.1.m1.1.37" xref="p1.1.m1.1.37.cmml">∇</mo>
                        <mo id="p1.1.m1.1.49.3.2.2.2.2.2.1.2.2a" xref="p1.1.m1.1.49.3.2.2.2.2.2.1.2.2.cmml">⁡</mo>
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                      </mrow>
                      <mo id="p1.1.m1.1.49.3.2.2.2.2.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.49.3.2.2.2.2.2.1.2.1.cmml">⁢</mo>
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                      </mrow>
                    </mrow>
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                  <mo id="p1.1.m1.1.43" xref="p1.1.m1.1.43.cmml">⋅</mo>
                  <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.44" xref="p1.1.m1.1.44.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.44.2" xref="p1.1.m1.1.44.2.cmml">E</mi>
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.44.1" xref="p1.1.m1.1.44.1.cmml">¯</mo>
                  </mover>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.49.3.2.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.49.3.2.2.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                <msup id="p1.1.m1.1.49.3.2.2.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.49.3.2.2.2.2.3.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.45" xref="p1.1.m1.1.45.cmml">d</mi>
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                </msup>
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                <ci id="p1.1.m1.1.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.1">𝜀</ci>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.3.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.2.2.1">0</cn>
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              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.3">2</cn>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.5.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1.1">𝑅</ci>
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                      <ci id="p1.1.m1.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1">¯</ci>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1">¯</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.12.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2">𝐸</ci>
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                <ci id="p1.1.m1.1.17.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.2.1">𝜀</ci>
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                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.35.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.35.1">superscript</csymbol>
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                      <ci id="p1.1.m1.1.43.cmml" xref="p1.1.m1.1.43">⋅</ci>
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                        <times id="p1.1.m1.1.49.3.2.2.2.2.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.49.3.2.2.2.2.2.1.2.1"/>
                        <apply id="p1.1.m1.1.49.3.2.2.2.2.2.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.49.3.2.2.2.2.2.1.2.2">
                          <ci id="p1.1.m1.1.37.cmml" xref="p1.1.m1.1.37">∇</ci>
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                        <apply id="p1.1.m1.1.40.cmml" xref="p1.1.m1.1.49.3.2.2.2.2.2.1.2.3">
                          <ci id="p1.1.m1.1.40.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.40.1">¯</ci>
                          <ci id="p1.1.m1.1.40.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.40.2">𝑟</ci>
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                      </apply>
                      <apply id="p1.1.m1.1.44.cmml" xref="p1.1.m1.1.44">
                        <ci id="p1.1.m1.1.44.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.1">¯</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.44.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.2">𝐸</ci>
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                    <apply id="p1.1.m1.1.49.3.2.2.2.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.49.3.2.2.2.2.3">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.49.3.2.2.2.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.49.3.2.2.2.2.3">superscript</csymbol>
                      <ci id="p1.1.m1.1.45.cmml" xref="p1.1.m1.1.45">𝑑</ci>
                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.46.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.46.1">3</cn>
                    </apply>
                    <ci id="p1.1.m1.1.47.cmml" xref="p1.1.m1.1.47">𝑟</ci>
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\int_{{{R}^{3}}}{\nabla\cdot\left(\Phi(\bar{r})\bar{E}\right){{d}^{3}}r}-\int_%
{{{R}^{3}}}{\left(\nabla\Phi(\bar{r})\right)\cdot\bar{E}{{d}^{3}}r}\right]}}</annotation>
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W=ε02∫R3Φ(r¯)∇⋅E¯d3r=ε02[∫R3∇⋅(Φ(r¯)E¯)d3r−∫R3(∇Φ(r¯))⋅E¯d3r]
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Identifiers

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