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* Page found: Die elektrostatische Feldenergie (eq math.2083.8)

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Die elektrostatische Feldenergie Eq: math.2086.8

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TeX (original user input):

W=\frac{1}{2}\int_{{}}^{{}}{\Phi (\bar{r})\rho (\bar{r}){{d}^{3}}r}=\frac{1}{8\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\rho (\bar{r})\rho (\bar{r}\acute{\ })}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}

TeX (checked):

W={\frac {1}{2}}\int _{}^{}{\Phi ({\bar {r}})\rho ({\bar {r}}){{d}^{3}}r}={\frac {1}{8\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\int _{}^{}{}{{d}^{3}}r\int _{}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\frac {\rho ({\bar {r}})\rho ({\bar {r}}{\acute {\ }})}{|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}|}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (19.686 KB / 2.545 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle W=\frac{1}{2}\int{\Phi(\bar{r})\rho(\bar{r}){{d}^% {3}}r}=\frac{1}{8\pi{{\varepsilon}_{0}}}\int{{}}{{d}^{3}}r\int{{}}{{d}^{3}}r% \acute{\ }\frac{\rho(\bar{r})\rho(\bar{r}\acute{\ })}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{% \ }|}}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle W=\frac{1}{2}\int{\Phi(\bar{r})\rho(\bar{r}){{d}^%&#10;{3}}r}=\frac{1}{8\pi{{\varepsilon}_{0}}}\int{{}}{{d}^{3}}r\int{{}}{{d}^{3}}r%&#10;\acute{\ }\frac{\rho(\bar{r})\rho(\bar{r}\acute{\ })}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{%&#10;\ }|}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.28" xref="p1.1.m1.1.28.cmml">
      <mi id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">W</mi>
      <mo id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.28.2" xref="p1.1.m1.1.28.2.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.3a" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">
            <mn id="p1.1.m1.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.3.2.cmml">1</mn>
            <mn id="p1.1.m1.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.3.3.cmml">2</mn>
          </mfrac>
        </mstyle>
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            <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">∫</mo>
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              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">Φ</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.28.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.28.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
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                <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.7.2.cmml">r</mi>
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                </mover>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">)</mo>
              </mrow>
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              <mi id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">ρ</mi>
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            <mrow id="p1.1.m1.1.17.3" xref="p1.1.m1.1.17.3.cmml">
              <mn id="p1.1.m1.1.17.3.1" xref="p1.1.m1.1.17.3.1.cmml">8</mn>
              <mo id="p1.1.m1.1.17.3.5" xref="p1.1.m1.1.17.3.5.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.17.3.2" xref="p1.1.m1.1.17.3.2.cmml">π</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.17.3.5a" xref="p1.1.m1.1.17.3.5.cmml">⁢</mo>
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                <mi id="p1.1.m1.1.17.3.3" xref="p1.1.m1.1.17.3.3.cmml">ε</mi>
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            </mrow>
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        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.28.3.2" xref="p1.1.m1.1.28.3.2.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.28.3.2a" xref="p1.1.m1.1.28.3.2.cmml">
            <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.18.cmml">∫</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.28.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.28.3.2.1.cmml">
              <msup id="p1.1.m1.1.28.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.28.3.2.1.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.19.cmml">d</mi>
                <mn id="p1.1.m1.1.20.1" xref="p1.1.m1.1.20.1.cmml">3</mn>
              </msup>
              <mo id="p1.1.m1.1.28.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.28.3.2.1.1.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.21.cmml">r</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.28.3.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.28.3.2.1.1.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.28.3.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.28.3.2.1.3.cmml">
                <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.22" xref="p1.1.m1.1.22.cmml">∫</mo>
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                  </msup>
                  <mo id="p1.1.m1.1.28.3.2.1.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.28.3.2.1.3.1.1.cmml">⁢</mo>
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                  <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.26" xref="p1.1.m1.1.26.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.26.2" xref="p1.1.m1.1.26.2.cmml"/>
                    <mo id="p1.1.m1.1.26.1" xref="p1.1.m1.1.26.1.cmml">´</mo>
                  </mover>
                  <mo id="p1.1.m1.1.28.3.2.1.3.1.1b" xref="p1.1.m1.1.28.3.2.1.3.1.1.cmml">⁢</mo>
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                    <mrow id="p1.1.m1.1.27.2" xref="p1.1.m1.1.27.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.27.2.1" xref="p1.1.m1.1.27.2.1.cmml">ρ</mi>
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                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.27.2.2" xref="p1.1.m1.1.27.2.3.cmml">(</mo>
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                          <mi id="p1.1.m1.1.27.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.27.2.3.2.cmml">r</mi>
                          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.27.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.27.2.3.1.cmml">¯</mo>
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                          <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.27.2.7" xref="p1.1.m1.1.27.2.7.cmml">
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                          <mo id="p1.1.m1.1.27.2.12.2.1" xref="p1.1.m1.1.27.2.12.2.1.cmml">⁢</mo>
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                            <mo id="p1.1.m1.1.27.2.8.1" xref="p1.1.m1.1.27.2.8.1.cmml">´</mo>
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                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.27.2.9" xref="p1.1.m1.1.27.2.12.2.cmml">)</mo>
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                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.27.3.1" xref="p1.1.m1.1.27.3.7.1.cmml">|</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.27.3.8" xref="p1.1.m1.1.27.3.8.cmml">
                        <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.27.3.2" xref="p1.1.m1.1.27.3.2.cmml">
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                          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.27.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.27.3.2.1.cmml">¯</mo>
                        </mover>
                        <mo id="p1.1.m1.1.27.3.3" xref="p1.1.m1.1.27.3.3.cmml">-</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.27.3.8.1" xref="p1.1.m1.1.27.3.8.1.cmml">
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                  <ci id="p1.1.m1.1.7.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.2">𝑟</ci>
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                <ci id="p1.1.m1.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.9">𝜌</ci>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.13">𝑑</ci>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.14.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.1">3</cn>
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                <ci id="p1.1.m1.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.15">𝑟</ci>
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                <ci id="p1.1.m1.1.17.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.3.2">𝜋</ci>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.17.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.3.3">𝜀</ci>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.19">𝑑</ci>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.20.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.20.1">3</cn>
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                <ci id="p1.1.m1.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.21">𝑟</ci>
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  </semantics>
</math>

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W = \frac{1}{2} \int_{}^{} Φ (\bar{r}) ρ (\bar{r}) d^{3} r = \frac{1}{8 π ε_{0}} \int_{}^{} d^{3} r \int_{}^{} d^{3} r \overset{´}{} \frac{ρ (\bar{r}) ρ (\bar{r} \overset{´}{})}{| \bar{r} - \bar{r} \overset{´}{} |}

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$\bar{r}$

$ρ$

$\bar{r}$

$r$

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$ε_{0}$

$r$

$r$

$\overset{´}{}$

$ρ$

$\bar{r}$

$ρ$

$\bar{r}$

$\overset{´}{}$

$\bar{r}$

$\bar{r}$

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