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Display information for equation id:math.2045.57 on revision:2045

* Page found: Stabilität und Langzeitverhalten (eq math.2045.57)

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\begin{align}
  & A=\left( \begin{matrix}
   -\sigma  & \sigma  & 0  \\
   -z & -1 & r-x  \\
   y & x & -b  \\
\end{matrix} \right) \\
 & \Rightarrow \Lambda =trA=-\left( \sigma +1+b \right) \\
 & \Rightarrow V(t)={{e}^{-\left( \sigma +1+b \right)t}}{{V}_{0}}-t->\infty \to 0 \\
\end{align}

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MathML (22.186 KB / 2.703 KB) :

A = ( - σ σ 0 - z - 1 r - x y x - b ) ⇒ Λ = t ⁢ r ⁢ A = - ( σ + 1 + b ) ⇒ V ⁢ ( t ) = e - ( σ + 1 + b ) ⁢ t ⁢ V 0 - t - > ∞ → 0 missing-subexpression 𝐴 𝜎 𝜎 0 𝑧 1 𝑟 𝑥 𝑦 𝑥 𝑏 missing-subexpression ⇒ absent Λ 𝑡 𝑟 𝐴 𝜎 1 𝑏 missing-subexpression ⇒ absent 𝑉 𝑡 superscript 𝑒 𝜎 1 𝑏 𝑡 subscript 𝑉 0 limit-from 𝑡 → 0 {\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &\displaystyle A=\left(\begin{% matrix}-\sigma&\sigma&0\\ -z&-1&r-x\\ y&x&-b\\ \end{matrix}\right)\\ &\displaystyle\Rightarrow\Lambda=trA=-\left(\sigma+1+b\right)\\ &\displaystyle\Rightarrow V(t)={{e}^{-\left(\sigma+1+b\right)t}}{{V}_{0}}-t->% \infty\to 0\\ \end{aligned}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &amp;\displaystyle A=\left(\begin{%&#10;matrix}-\sigma&amp;\sigma&amp;0\\&#10;-z&amp;-1&amp;r-x\\&#10;y&amp;x&amp;-b\\&#10;\end{matrix}\right)\\&#10;&amp;\displaystyle\Rightarrow\Lambda=trA=-\left(\sigma+1+b\right)\\&#10;&amp;\displaystyle\Rightarrow V(t)={{e}^{-\left(\sigma+1+b\right)t}}{{V}_{0}}-t-&gt;%&#10;\infty\to 0\\&#10;\end{aligned}}}" display="inline">
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            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">=</mo>
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              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">(</mo>
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                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.1.1.1.cmml">-</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.1.1.2.cmml">σ</mi>
                    </mrow>
                  </mtd>
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                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.2.1.cmml">σ</mi>
                  </mtd>
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                    <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.3.1.cmml">0</mn>
                  </mtd>
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                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.1.1.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.1.1.1.cmml">-</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.1.1.2.cmml">z</mi>
                    </mrow>
                  </mtd>
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                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.2.1.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.2.1.1.cmml">-</mo>
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.2.1.2.cmml">1</mn>
                    </mrow>
                  </mtd>
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                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.3.1.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.3.1.1.cmml">r</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.3.1.2.cmml">-</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.3.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.3.1.3.cmml">x</mi>
                    </mrow>
                  </mtd>
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                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.3.1.1.cmml">y</mi>
                  </mtd>
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                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.3.2.1.cmml">x</mi>
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                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.3.3.1.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.3.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.3.3.1.1.cmml">-</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.3.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.3.3.1.2.cmml">b</mi>
                    </mrow>
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            </mrow>
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              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.1.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml">r</mi>
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              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">A</mi>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml">-</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.1.2.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.1.2.cmml">(</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.1.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml">σ</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.cmml">+</mo>
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">1</mn>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.cmml">+</mo>
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                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.1.2.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
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                    <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.1.cmml">-</mo>
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                        <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.10.2.2.cmml">(</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.10.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.10.2.2.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.3.cmml">σ</mi>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.4.cmml">+</mo>
                          <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.5.cmml">1</mn>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.4a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.4.cmml">+</mo>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.7.cmml">b</mi>
                        </mrow>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.10.2.2.cmml">)</mo>
                      </mrow>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.10.1.cmml">⁢</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.9.cmml">t</mi>
                    </mrow>
                  </mrow>
                </msup>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.1.1.cmml">⁢</mo>
                <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.1.3.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.cmml">V</mi>
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.1.cmml">0</mn>
                </msub>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.cmml">-</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.cmml">t</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.cmml">-</mo>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.cmml">&gt;</mo>
            <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.cmml">∞</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.cmml">→</mo>
            <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.cmml">0</mn>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
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        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
            <eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2"/>
            <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1">𝐴</ci>
            <matrix id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6">
              <matrixrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6">
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.1.1">
                  <minus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.1.1.1"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.1.1.2">𝜎</ci>
                </apply>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.2.1">𝜎</ci>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.3.1">0</cn>
              </matrixrow>
              <matrixrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6">
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.1.1">
                  <minus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.1.1.1"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.1.1.2">𝑧</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.2.1">
                  <minus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.2.1.1"/>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.2.1.2">1</cn>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.3.1">
                  <minus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.3.1.2"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.3.1.1">𝑟</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.3.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.3.1.3">𝑥</ci>
                </apply>
              </matrixrow>
              <matrixrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6">
                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.3.1.1">𝑦</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.3.2.1">𝑥</ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.3.3.1">
                  <minus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.3.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.3.3.1.1"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.3.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.3.3.1.2">𝑏</ci>
                </apply>
              </matrixrow>
            </matrix>
          </apply>
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        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1e.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1f.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
            <and id="p1.1.m1.1.1.2.2.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1">⇒</ci>
              <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17">absent</csymbol>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2">Λ</ci>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3"/>
              <share href="#p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18">
                <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.1"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4">𝑡</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5">𝑟</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6">𝐴</ci>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10">𝜎</ci>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12">1</cn>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14">𝑏</ci>
                </apply>
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        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1g.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1h.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1i.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1">
            <and id="p1.1.m1.1.1.3.2.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1">
              <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1">⇒</ci>
              <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19">absent</csymbol>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20">
                <times id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.1"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2">𝑉</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4">𝑡</ci>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1">
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              <share href="#p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.cmml" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21">
                <minus id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.1">
                  <times id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.1.1"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.21.1.2">
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matrix}-\sigma&amp;\sigma&amp;0\\
-z&amp;-1&amp;r-x\\
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A = ( − σ σ 0 − z − 1 r − x y x − b ) ⇒ Λ = t r A = − ( σ + 1 + b ) ⇒ V ( t ) = e − ( σ + 1 + b ) t V 0 − t − > ∞ → 0 {\displaystyle {\begin{aligned}&A=\left({\begin{matrix}-\sigma &\sigma &0\\-z&-1&r-x\\y&x&-b\\\end{matrix}}\right)\\&\Rightarrow \Lambda =trA=-\left(\sigma +1+b\right)\\&\Rightarrow V(t)={{e}^{-\left(\sigma +1+b\right)t}}{{V}_{0}}-t->\infty \to 0\\\end{aligned}}} 
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SVG (16.754 KB / 6.152 KB) :

{\displaystyle {\begin{aligned}&A=\left({\begin{matrix}-\sigma &\sigma &0\\-z&-1&r-x\\y&x&-b\\\end{matrix}}\right)\\&\Rightarrow \Lambda =trA=-\left(\sigma +1+b\right)\\&\Rightarrow V(t)={{e}^{-\left(\sigma +1+b\right)t}}{{V}_{0}}-t->\infty \to 0\\\end{aligned}}}

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