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Display information for equation id:math.2045.49 on revision:2045

* Page found: Stabilität und Langzeitverhalten (eq math.2045.49)

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\begin{align}
  & \bar{\varpi }{{*}^{(3)}}=\left( \begin{matrix}
   0 & 0 & \omega   \\
\end{matrix} \right): \\
 & 0=\det (A-\lambda 1)=\left| \begin{matrix}
   -\lambda  & -{{k}_{1}}\omega  & 0  \\
   {{k}_{2}}\omega  & -\lambda  & {{0}_{{}}}  \\
   0 & 0 & -\lambda   \\
\end{matrix} \right|=-\lambda \left( {{\lambda }^{2}}+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{\omega }^{2}} \right) \\
 & \Rightarrow {{\lambda }_{1}}^{(3)}=0,{{\lambda }_{2/3}}^{(2)}=\pm i\omega \sqrt{{{k}_{1}}{{k}_{2}}} \\
\end{align}

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MathML (34.691 KB / 4.063 KB) :

ϖ ¯ * ( 3 ) = ( 0 0 ω ) : 0 = det ⁡ ( A - λ ⁢ 1 ) = | - λ - k 1 ⁢ ω 0 k 2 ⁢ ω - λ 0 0 0 - λ | = - λ ⁢ ( λ 2 + k 1 ⁢ k 2 ⁢ ω 2 ) ⇒ λ 1 ( 3 ) = 0 , λ 2 / 3 ( 2 ) = ± i ⁢ ω ⁢ k 1 ⁢ k 2 missing-subexpression fragments ¯ italic-ϖ superscript 3 fragments ( 0 0 𝜔 ) : missing-subexpression 0 𝐴 𝜆 1 𝜆 subscript 𝑘 1 𝜔 0 subscript 𝑘 2 𝜔 𝜆 0 0 0 𝜆 𝜆 superscript 𝜆 2 subscript 𝑘 1 subscript 𝑘 2 superscript 𝜔 2 missing-subexpression formulae-sequence ⇒ absent superscript subscript 𝜆 1 3 0 superscript subscript 𝜆 2 3 2 plus-or-minus 𝑖 𝜔 subscript 𝑘 1 subscript 𝑘 2 {\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &\displaystyle\bar{\varpi}{{*}^{(3% )}}=\left(\begin{matrix}0&0&\omega\\ \end{matrix}\right):\\ &\displaystyle 0=\det(A-\lambda 1)=\left|\begin{matrix}-\lambda&-{{k}_{1}}% \omega&0\\ {{k}_{2}}\omega&-\lambda&{{0}}\\ 0&0&-\lambda\\ \end{matrix}\right|=-\lambda\left({{\lambda}^{2}}+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{\omega}^% {2}}\right)\\ &\displaystyle\Rightarrow{{\lambda}_{1}}^{(3)}=0,{{\lambda}_{2/3}}^{(2)}=\pm i% \omega\sqrt{{{k}_{1}}{{k}_{2}}}\\ \end{aligned}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &amp;\displaystyle\bar{\varpi}{{*}^{(3%&#10;)}}=\left(\begin{matrix}0&amp;0&amp;\omega\\&#10;\end{matrix}\right):\\&#10;&amp;\displaystyle 0=\det(A-\lambda 1)=\left|\begin{matrix}-\lambda&amp;-{{k}_{1}}%&#10;\omega&amp;0\\&#10;{{k}_{2}}\omega&amp;-\lambda&amp;{{0}}\\&#10;0&amp;0&amp;-\lambda\\&#10;\end{matrix}\right|=-\lambda\left({{\lambda}^{2}}+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{\omega}^%&#10;{2}}\right)\\&#10;&amp;\displaystyle\Rightarrow{{\lambda}_{1}}^{(3)}=0,{{\lambda}_{2/3}}^{(2)}=\pm i%&#10;\omega\sqrt{{{k}_{1}}{{k}_{2}}}\\&#10;\end{aligned}}}" display="inline">
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        <mtd id="p1.1.m1.1.1b" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">
            <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">ϖ</mi>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">¯</mo>
            </mover>
            <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">*</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">(</mo>
                <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2.cmml">3</mn>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </msup>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml">(</mo>
              <mtable columnspacing="5pt" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">
                <mtr id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">
                  <mtd columnalign="center" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6b" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.1.1.cmml">0</mn>
                  </mtd>
                  <mtd columnalign="center" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6c" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.2.1.cmml">0</mn>
                  </mtd>
                  <mtd columnalign="center" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6d" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.3.1.cmml">ω</mi>
                  </mtd>
                </mtr>
              </mtable>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.cmml">)</mo>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml">:</mo>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1d" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
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          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">
            <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">0</mn>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.cmml">
              <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml">det</mo>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.cmml">⁡</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.1.2.cmml">
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.1.2.cmml">(</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.1.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml">A</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">-</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.1.2.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml">λ</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.1.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml">1</mn>
                  </mrow>
                </mrow>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.1.2.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30.1.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30.1.1.cmml">|</mo>
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                    </mrow>
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                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.2.1.1.cmml">-</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.2.1.5.cmml">
                        <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.2.1.5.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.2.1.5.2.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.2.1.2.cmml">k</mi>
                          <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.2.1.3.1.cmml">1</mn>
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                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.2.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.2.1.5.1.cmml">⁢</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.2.1.4.cmml">ω</mi>
                      </mrow>
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                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.1.1.cmml">k</mi>
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.1.2.1.cmml">2</mn>
                      </msub>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.1.4.cmml">⁢</mo>
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                    </mrow>
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                    <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.3.1.cmml">0</mn>
                  </mtd>
                </mtr>
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                      <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.1.cmml">2</mn>
                    </msup>
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                      </msub>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.2.1.cmml">⁢</mo>
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                      </msub>
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            </apply>
            <eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4"/>
            <cerror id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3">fragments</csymbol>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5">(</ci>
              <matrix id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6">
                <matrixrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6">
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.1.1">0</cn>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.2.1">0</cn>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.3.1">𝜔</ci>
                </matrixrow>
              </matrix>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7">)</ci>
            </cerror>
            <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8">:</ci>
          </cerror>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1e.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1f.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
            <and id="p1.1.m1.1.1.2.2.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2"/>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1">0</cn>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29">
                <determinant id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.1">
                  <minus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5">𝐴</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.1.2.1">
                    <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.1.2.1.1"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7">𝜆</ci>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8">1</cn>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10"/>
              <share href="#p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.cmml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30">
                <abs id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11"/>
                <matrix id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12">
                  <matrixrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12">
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.1.1">
                      <minus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.1.1.1"/>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.1.1.2">𝜆</ci>
                    </apply>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.2.1">
                      <minus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.2.1.1"/>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.2.1.5">
                        <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.2.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.2.1.5.1"/>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.2.1.5.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.2.1.5.2">
                          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.2.1.5.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.2.1.5.2">subscript</csymbol>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.2.1.2">𝑘</ci>
                          <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.2.1.3.1">1</cn>
                        </apply>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.2.1.4">𝜔</ci>
                      </apply>
                    </apply>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.3.1">0</cn>
                  </matrixrow>
                  <matrixrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12">
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.1">
                      <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.1.4"/>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.1.5">
                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.1.5">subscript</csymbol>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.1.1">𝑘</ci>
                        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.1.2.1">2</cn>
                      </apply>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.1.3">𝜔</ci>
                    </apply>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.2.1">
                      <minus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.2.1.1"/>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.2.1.2">𝜆</ci>
                    </apply>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.3.1">0</cn>
                  </matrixrow>
                  <matrixrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12">
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.1.1">0</cn>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.2.1">0</cn>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.3.1">
                      <minus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.3.1.1"/>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.3.1.2">𝜆</ci>
                    </apply>
                  </matrixrow>
                </matrix>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1e.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14"/>
              <share href="#p1.1.m1.1.1.2.2.1.30.cmml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1f.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31">
                <minus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1">
                  <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.1"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16">𝜆</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2">
                    <plus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20"/>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.1">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.1">superscript</csymbol>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18">𝜆</ci>
                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.1">2</cn>
                    </apply>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.2">
                      <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.2.1"/>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.2.2">
                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.2.2">subscript</csymbol>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21">𝑘</ci>
                        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.1">1</cn>
                      </apply>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.2.3">
                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.2.3">subscript</csymbol>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23">𝑘</ci>
                        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24.1">2</cn>
                      </apply>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.2.4">
                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.2.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.2.4">superscript</csymbol>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25">𝜔</ci>
                        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.1">2</cn>
                      </apply>
                    </apply>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1g.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1h.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1i.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7">formulae-sequence</csymbol>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17">
              <and id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17">
                <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1">⇒</ci>
                <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.2">absent</csymbol>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.3">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.3">superscript</csymbol>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.3">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.3">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2">𝜆</ci>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1">1</cn>
                  </apply>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.1.2">3</cn>
                </apply>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17">
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                <share href="#p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.3.cmml" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17"/>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6">0</cn>
              </apply>
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            <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11"/>
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                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.1">superscript</csymbol>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.1">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.1">subscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8">𝜆</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.1">
                    <divide id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.1.2"/>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.1.1">2</cn>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.1.3">3</cn>
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                </apply>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.1.2">2</cn>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.2">
                <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12">plus-or-minus</csymbol>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.2.1">
                  <times id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.2.1.1"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13">𝑖</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14">𝜔</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15">
                    <root id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15"/>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.2">
                      <times id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.2.5"/>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.2.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.2.6">
                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.2.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.2.6">subscript</csymbol>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.2.1">𝑘</ci>
                        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.2.2.1">1</cn>
                      </apply>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.2.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.2.7">
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    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &amp;\displaystyle\bar{\varpi}{{*}^{(3%
)}}=\left(\begin{matrix}0&amp;0&amp;\omega\\
\end{matrix}\right):\\
&amp;\displaystyle 0=\det(A-\lambda 1)=\left|\begin{matrix}-\lambda&amp;-{{k}_{1}}%
\omega&amp;0\\
{{k}_{2}}\omega&amp;-\lambda&amp;{{0}}\\
0&amp;0&amp;-\lambda\\
\end{matrix}\right|=-\lambda\left({{\lambda}^{2}}+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{\omega}^%
{2}}\right)\\
&amp;\displaystyle\Rightarrow{{\lambda}_{1}}^{(3)}=0,{{\lambda}_{2/3}}^{(2)}=\pm i%
\omega\sqrt{{{k}_{1}}{{k}_{2}}}\\
\end{aligned}}}</annotation>
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ϖ ¯ ∗ ( 3 ) = ( 0 0 ω ) : 0 = det ( A − λ 1 ) = | − λ − k 1 ω 0 k 2 ω − λ 0 0 0 − λ | = − λ ( λ 2 + k 1 k 2 ω 2 ) ⇒ λ 1 ( 3 ) = 0 , λ 2 / 3 ( 2 ) = ± i ω k 1 k 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&{\bar {\varpi }}{{*}^{(3)}}=\left({\begin{matrix}0&0&\omega \\\end{matrix}}\right):\\&0=\det(A-\lambda 1)=\left|{\begin{matrix}-\lambda &-{{k}_{1}}\omega &0\\{{k}_{2}}\omega &-\lambda &{{0}_{}}\\0&0&-\lambda \\\end{matrix}}\right|=-\lambda \left({{\lambda }^{2}}+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{\omega }^{2}}\right)\\&\Rightarrow {{\lambda }_{1}}^{(3)}=0,{{\lambda }_{2/3}}^{(2)}=\pm i\omega {\sqrt {{{k}_{1}}{{k}_{2}}}}\\\end{aligned}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}&amp;{\bar {\varpi }}{{*}^{(3)}}=\left({\begin{matrix}0&amp;0&amp;\omega \\\end{matrix}}\right):\\&amp;0=\det(A-\lambda 1)=\left|{\begin{matrix}-\lambda &amp;-{{k}_{1}}\omega &amp;0\\{{k}_{2}}\omega &amp;-\lambda &amp;{{0}_{}}\\0&amp;0&amp;-\lambda \\\end{matrix}}\right|=-\lambda \left({{\lambda }^{2}}+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{\omega }^{2}}\right)\\&amp;\Rightarrow {{\lambda }_{1}}^{(3)}=0,{{\lambda }_{2/3}}^{(2)}=\pm i\omega {\sqrt {{{k}_{1}}{{k}_{2}}}}\\\end{aligned}}}">
  <semantics>
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      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
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                      <mo stretchy="false">&#x00AF;<!-- ¯ --></mo>
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                        <mtd>
                          <mi>&#x03C9;<!-- ω --></mi>
                        </mtd>
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              <mtd />
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                <mo>=</mo>
                <mo movablelimits="true" form="prefix">det</mo>
                <mo stretchy="false">(</mo>
                <mi>A</mi>
                <mo>&#x2212;<!-- − --></mo>
                <mi>&#x03BB;<!-- λ --></mi>
                <mn>1</mn>
                <mo stretchy="false">)</mo>
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                          <mn>0</mn>
                        </mtd>
                      </mtr>
                      <mtr>
                        <mtd>
                          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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                              </mrow>
                            </msub>
                          </mrow>
                          <mi>&#x03C9;<!-- ω --></mi>
                        </mtd>
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                          </mrow>
                        </mtd>
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                    </mtable>
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                  <mo>|</mo>
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                  <mrow>
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                        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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                        </mrow>
                        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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                        </mrow>
                      </msup>
                    </mrow>
                    <mo>+</mo>
                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <msub>
                        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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                        </mrow>
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                        </mrow>
                      </msub>
                    </mrow>
                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <msub>
                        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                          <mi>k</mi>
                        </mrow>
                        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                          <mn>2</mn>
                        </mrow>
                      </msub>
                    </mrow>
                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <msup>
                        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                          <mi>&#x03C9;<!-- ω --></mi>
                        </mrow>
                        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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                        </mrow>
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                    </mrow>
                  </mrow>
                  <mo>)</mo>
                </mrow>
              </mtd>
            </mtr>
            <mtr>
              <mtd />
              <mtd>
                <mi></mi>
                <mo stretchy="false">&#x21D2;<!-- ⇒ --></mo>
                <msup>
                  <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                    <msub>
                      <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                        <mi>&#x03BB;<!-- λ --></mi>
                      </mrow>
                      <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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                      </mrow>
                    </msub>
                  </mrow>
                  <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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                <mo>,</mo>
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                  <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                    <msub>
                      <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                        <mi>&#x03BB;<!-- λ --></mi>
                      </mrow>
                      <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                        <mn>2</mn>
                        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                          <mo>/</mo>
                        </mrow>
                        <mn>3</mn>
                      </mrow>
                    </msub>
                  </mrow>
                  <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                    <mo stretchy="false">(</mo>
                    <mn>2</mn>
                    <mo stretchy="false">)</mo>
                  </mrow>
                </msup>
                <mo>=</mo>
                <mo>&#x00B1;<!-- ± --></mo>
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                <mi>&#x03C9;<!-- ω --></mi>
                <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                  <msqrt>
                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <msub>
                        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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                        </mrow>
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                        </mrow>
                      </msub>
                    </mrow>
                    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                      <msub>
                        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
                          <mi>k</mi>
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                        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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SVG (18.681 KB / 6.165 KB) :

{\displaystyle {\begin{aligned}&{\bar {\varpi }}{{*}^{(3)}}=\left({\begin{matrix}0&0&\omega \\\end{matrix}}\right):\\&0=\det(A-\lambda 1)=\left|{\begin{matrix}-\lambda &-{{k}_{1}}\omega &0\\{{k}_{2}}\omega &-\lambda &{{0}_{}}\\0&0&-\lambda \\\end{matrix}}\right|=-\lambda \left({{\lambda }^{2}}+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{\omega }^{2}}\right)\\&\Rightarrow {{\lambda }_{1}}^{(3)}=0,{{\lambda }_{2/3}}^{(2)}=\pm i\omega {\sqrt {{{k}_{1}}{{k}_{2}}}}\\\end{aligned}}}

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