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* Page found: Vektorfelder als dynamische Systeme (eq math.2031.48)

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Vektorfelder als dynamische Systeme Eq: math.2033.48

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TeX (original user input):

\begin{align}
  & \det (A-\lambda 1)=0\Rightarrow \left| \left( \begin{matrix}
   -\lambda  & \frac{1}{m{{l}^{2}}}  \\
   -mgl & -\lambda -2\gamma   \\
\end{matrix} \right) \right|=0={{\lambda }^{2}}+2\gamma \lambda +\frac{g}{l} \\
 & \frac{g}{l}={{\omega }^{2}} \\
\end{align}

TeX (checked):

{\begin{aligned}&\det(A-\lambda 1)=0\Rightarrow \left|\left({\begin{matrix}-\lambda &{\frac {1}{m{{l}^{2}}}}\\-mgl&-\lambda -2\gamma \\\end{matrix}}\right)\right|=0={{\lambda }^{2}}+2\gamma \lambda +{\frac {g}{l}}\\&{\frac {g}{l}}={{\omega }^{2}}\\\end{aligned}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (19.597 KB / 2.438 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &\displaystyle\det(A-\lambda 1)=0% \Rightarrow\left|\left(\begin{matrix}-\lambda&\frac{1}{m{{l}^{2}}}\\ -mgl&-\lambda-2\gamma\\ \end{matrix}\right)\right|=0={{\lambda}^{2}}+2\gamma\lambda+\frac{g}{l}\\ &\displaystyle\frac{g}{l}={{\omega}^{2}}\\ \end{aligned}}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &amp;\displaystyle\det(A-\lambda 1)=0%&#10;\Rightarrow\left|\left(\begin{matrix}-\lambda&amp;\frac{1}{m{{l}^{2}}}\\&#10;-mgl&amp;-\lambda-2\gamma\\&#10;\end{matrix}\right)\right|=0={{\lambda}^{2}}+2\gamma\lambda+\frac{g}{l}\\&#10;&amp;\displaystyle\frac{g}{l}={{\omega}^{2}}\\&#10;\end{aligned}}}" display="inline">
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                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml">A</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">-</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.2.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml">λ</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">1</mn>
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              </mrow>
            </mrow>
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            <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">0</mn>
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                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.1.1.2.cmml">λ</mi>
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                          </msup>
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                </mfrac>
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            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.2.cmml">g</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.3.cmml">l</mi>
              </mfrac>
            </mstyle>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">=</mo>
            <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml">ω</mi>
              <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.cmml">2</mn>
            </msup>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
    </mtable>
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      <matrix id="p1.1.m1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
            <and id="p1.1.m1.1.1.1.2.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28">
                <determinant id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1">
                  <minus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3">𝐴</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.2.1">
                    <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.2.1.1"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5">𝜆</ci>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6">1</cn>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9">0</cn>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10">⇒</ci>
              <share href="#p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29">
                <abs id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11"/>
                <matrix id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.2">
                  <matrixrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.2">
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.1.1">
                      <minus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.1.1.1"/>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.1.1.2">𝜆</ci>
                    </apply>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2.1">
                      <divide id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2.1"/>
                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2.1.1.2">1</cn>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2.1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2.1.1.3">
                        <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2.1.1.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2.1.1.3.4"/>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2.1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2.1.1.3.1">𝑚</ci>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2.1.1.3.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2.1.1.3.5">
                          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2.1.1.3.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2.1.1.3.5">superscript</csymbol>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2.1.1.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2.1.1.3.2">𝑙</ci>
                          <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2.1.1.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.2.1.1.3.3.1">2</cn>
                        </apply>
                      </apply>
                    </apply>
                  </matrixrow>
                  <matrixrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.2">
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.2.1.1">
                      <minus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.2.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.2.1.1.1"/>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.2.1.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.2.1.1.5">
                        <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.2.1.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.2.1.1.5.1"/>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.2.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.2.1.1.2">𝑚</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.2.1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.2.1.1.3">𝑔</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.2.1.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.2.1.1.4">𝑙</ci>
                      </apply>
                    </apply>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.2.2.1">
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                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.2.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.2.2.1.6">
                        <minus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.2.2.1.1"/>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.2.2.1.2">𝜆</ci>
                      </apply>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.2.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.2.2.1.7">
                        <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.2.2.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.2.2.1.7.1"/>
                        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.2.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.2.2.1.4">2</cn>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.2.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.2.2.1.5">𝛾</ci>
                      </apply>
                    </apply>
                  </matrixrow>
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              </apply>
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              <eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16"/>
              <share href="#p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.cmml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1f.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1"/>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17">0</cn>
            </apply>
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              <eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18"/>
              <share href="#p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.cmml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1h.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1"/>
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                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1">superscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19">𝜆</ci>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1">2</cn>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.2">
                  <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.2.1"/>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22">2</cn>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23">𝛾</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24">𝜆</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26">
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                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.2">𝑔</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.3">𝑙</ci>
                </apply>
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            </apply>
          </apply>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1e.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1f.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
            <eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1">
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              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3">𝜔</ci>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1">2</cn>
            </apply>
          </apply>
        </matrixrow>
      </matrix>
    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &amp;\displaystyle\det(A-\lambda 1)=0%
\Rightarrow\left|\left(\begin{matrix}-\lambda&amp;\frac{1}{m{{l}^{2}}}\\
-mgl&amp;-\lambda-2\gamma\\
\end{matrix}\right)\right|=0={{\lambda}^{2}}+2\gamma\lambda+\frac{g}{l}\\
&amp;\displaystyle\frac{g}{l}={{\omega}^{2}}\\
\end{aligned}}}</annotation>
  </semantics>
</math>

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\begin{aligned} \det (A - λ 1) = 0 \Rightarrow | (\begin{matrix} - λ & \frac{1}{m l^{2}} \\ - m g l & - λ - 2 γ \end{matrix}) | = 0 = λ^{2} + 2 γ λ + \frac{g}{l} \\ \frac{g}{l} = ω^{2} \end{aligned}

<math class="mwe-math-element" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true" rowspacing="3pt"><mtr><mtd></mtd><mtd><mi>det</mi><mo>&#x2061;</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>A</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>&#x03BB;</mi><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>&#x21D2;</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">|</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mtable columnspacing="1em" rowspacing="4pt"><mtr><mtd><mo>&#x2212;</mo><mi>&#x03BB;</mi></mtd><mtd><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>1</mn></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>m</mi><msup><mi>l</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mrow></mfrac></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>&#x2212;</mo><mi>m</mi><mi>g</mi><mi>l</mi></mtd><mtd><mo>&#x2212;</mo><mi>&#x03BB;</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>2</mn><mi>&#x03B3;</mi></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd></mtr></mtable></mrow><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mo data-mjx-texclass="CLOSE">|</mo></mrow><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>=</mo><msup><mi>&#x03BB;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>&#x03B3;</mi><mi>&#x03BB;</mi><mo>+</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>g</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>l</mi></mrow></mfrac></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>g</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>l</mi></mrow></mfrac></mrow><mo>=</mo><msup><mi>&#x03C9;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>2</mn></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow></math>

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