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Display information for equation id:math.1985.32 on revision:1985

* Page found: Hamilton-Jacobische Differenzialgleichung (eq math.1985.32)

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\begin{align}
  & Q=\left( \frac{\partial S(q,P,t)}{\partial \alpha } \right)=-t+\frac{1}{\omega }\int{dq}{{\left( \frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}=\beta  \\
 & Q=\beta =-t+\frac{1}{\omega }\arcsin \left( q\sqrt{\frac{m{{\omega }^{2}}}{2\left| \alpha  \right|}} \right) \\
 & \Rightarrow q=\frac{1}{\omega }\sqrt{\frac{2\alpha }{m}}\sin \left( \omega (t+\beta ) \right) \\
\end{align}

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MathML (33.905 KB / 3.979 KB) :

Q = ( ∂ ⁡ S ⁢ ( q , P , t ) ∂ ⁡ α ) = - t + 1 ω ⁢ ∫ 𝑑 q ⁢ ( 2 ⁢ α m ⁢ ω 2 - q 2 ) - 1 2 = β Q = β = - t + 1 ω ⁢ arcsin ⁡ ( q ⁢ m ⁢ ω 2 2 ⁢ | α | ) ⇒ q = 1 ω ⁢ 2 ⁢ α m ⁢ sin ⁡ ( ω ⁢ ( t + β ) ) missing-subexpression 𝑄 𝑆 𝑞 𝑃 𝑡 𝛼 𝑡 1 𝜔 differential-d 𝑞 superscript 2 𝛼 𝑚 superscript 𝜔 2 superscript 𝑞 2 1 2 𝛽 missing-subexpression 𝑄 𝛽 𝑡 1 𝜔 𝑞 𝑚 superscript 𝜔 2 2 𝛼 missing-subexpression ⇒ absent 𝑞 1 𝜔 2 𝛼 𝑚 𝜔 𝑡 𝛽 {\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &\displaystyle Q=\left(\frac{% \partial S(q,P,t)}{\partial\alpha}\right)=-t+\frac{1}{\omega}\int{dq}{{\left(% \frac{2\alpha}{m{{\omega}^{2}}}-{{q}^{2}}\right)}^{-\frac{1}{2}}}=\beta\\ &\displaystyle Q=\beta=-t+\frac{1}{\omega}\arcsin\left(q\sqrt{\frac{m{{\omega}% ^{2}}}{2\left|\alpha\right|}}\right)\\ &\displaystyle\Rightarrow q=\frac{1}{\omega}\sqrt{\frac{2\alpha}{m}}\sin\left(% \omega(t+\beta)\right)\\ \end{aligned}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &amp;\displaystyle Q=\left(\frac{%&#10;\partial S(q,P,t)}{\partial\alpha}\right)=-t+\frac{1}{\omega}\int{dq}{{\left(%&#10;\frac{2\alpha}{m{{\omega}^{2}}}-{{q}^{2}}\right)}^{-\frac{1}{2}}}=\beta\\&#10;&amp;\displaystyle Q=\beta=-t+\frac{1}{\omega}\arcsin\left(q\sqrt{\frac{m{{\omega}%&#10;^{2}}}{2\left|\alpha\right|}}\right)\\&#10;&amp;\displaystyle\Rightarrow q=\frac{1}{\omega}\sqrt{\frac{2\alpha}{m}}\sin\left(%&#10;\omega(t+\beta)\right)\\&#10;\end{aligned}}}" display="inline">
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        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1c" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">Q</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">(</mo>
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.11.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.1.cmml">∂</mo>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.11a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.11.cmml">⁡</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.2.cmml">S</mi>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.10.cmml">⁢</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.12.1.cmml">
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.12.1.cmml">(</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.4.cmml">q</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.12.1.cmml">,</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.6.cmml">P</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.12.1.cmml">,</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.8.cmml">t</mi>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.12.1.cmml">)</mo>
                    </mrow>
                  </mrow>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.3.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.3.1.cmml">∂</mo>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.3a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.3.cmml">⁡</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.3.2.cmml">α</mi>
                  </mrow>
                </mfrac>
              </mstyle>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">)</mo>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.cmml">-</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml">t</mi>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">+</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.cmml">
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml">
                  <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml">
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.cmml">1</mn>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3.cmml">ω</mi>
                  </mfrac>
                </mstyle>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.cmml">
                    <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.cmml">∫</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.1.cmml">
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.1.2.cmml">
                        <mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml">𝑑</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml">q</mi>
                      </mrow>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                      <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.1.3.cmml">
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                            <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.cmml">
                              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.cmml">
                                <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.1.cmml">2</mn>
                                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.3.cmml">⁢</mo>
                                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.2.cmml">α</mi>
                              </mrow>
                              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3.cmml">
                                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3.1.cmml">m</mi>
                                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3.4.cmml">⁢</mo>
                                <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3.5.cmml">
                                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3.2.cmml">ω</mi>
                                  <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3.3.1.cmml">2</mn>
                                </msup>
                              </mrow>
                            </mfrac>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml">-</mo>
                            <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.1.3.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.1.3.2.2.1.cmml">
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.cmml">q</mi>
                              <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1.cmml">2</mn>
                            </msup>
                          </mrow>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.1.3.2.2.cmml">)</mo>
                        </mrow>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1.cmml">
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1.1.cmml">-</mo>
                          <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1.2.cmml">
                            <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1.2.2.cmml">1</mn>
                            <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1.2.3.cmml">2</mn>
                          </mfrac>
                        </mrow>
                      </msup>
                    </mrow>
                  </mrow>
                </mstyle>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.cmml">=</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.cmml">β</mi>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1d" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1e" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1f" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">Q</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">=</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml">β</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml">-</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">t</mi>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml">+</mo>
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                    <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.2.cmml">1</mn>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.3.cmml">ω</mi>
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                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2.1.cmml">
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                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2.1.cmml">⁡</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2.1.cmml">
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                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2.2.1.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.cmml">q</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
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                                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.2.2.cmml">ω</mi>
                                <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.2.3.1.cmml">2</mn>
                              </msup>
                            </mrow>
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                                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.3.6.1.1.cmml">|</mo>
                                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.3.3.cmml">α</mi>
                                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.3.6.1.1.cmml">|</mo>
                              </mrow>
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                  <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.cmml">1</mn>
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                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.2.cmml">
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                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.2">𝑆</ci>
                  </apply>
                  <vector id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.12">
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.4">𝑞</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.6">𝑃</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.8">𝑡</ci>
                  </vector>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.3">
                  <partialdiff id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.3.1"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.3.2">𝛼</ci>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6"/>
              <share href="#p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.cmml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25">
                <plus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.1">
                  <minus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8">𝑡</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2">
                  <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.1"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10">
                    <divide id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10"/>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.2">1</cn>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.3">𝜔</ci>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2">
                    <int id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11"/>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.1">
                      <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.1.1"/>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.1.2">
                        <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12">differential-d</csymbol>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13">𝑞</ci>
                      </apply>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.1.3">
                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.1.3">superscript</csymbol>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.1.3.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.1.3.2">
                          <minus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16"/>
                          <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15">
                            <divide id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15"/>
                            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2">
                              <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.3"/>
                              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.1">2</cn>
                              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.2.2">𝛼</ci>
                            </apply>
                            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3">
                              <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3.4"/>
                              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3.1">𝑚</ci>
                              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3.5">
                                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3.5">superscript</csymbol>
                                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3.2">𝜔</ci>
                                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.3.3.1">2</cn>
                              </apply>
                            </apply>
                          </apply>
                          <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.1.3.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.1.3.2.2.1">
                            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.1.3.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.2.1.3.2.2.1">superscript</csymbol>
                            <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17">𝑞</ci>
                            <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.1">2</cn>
                          </apply>
                        </apply>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1">
                          <minus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1.1"/>
                          <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1.2">
                            <divide id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1.2"/>
                            <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1.2.2">1</cn>
                            <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1.2.3">2</cn>
                          </apply>
                        </apply>
                      </apply>
                    </apply>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1e.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21"/>
              <share href="#p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.cmml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1f.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22">𝛽</ci>
            </apply>
          </apply>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1e.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1f.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
            <and id="p1.1.m1.1.1.2.2.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1">𝑄</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3">𝛽</ci>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4"/>
              <share href="#p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15">
                <plus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.1">
                  <minus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6">𝑡</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2">
                  <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.1"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8">
                    <divide id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8"/>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.2">1</cn>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.3">𝜔</ci>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2.2">
                    <arcsin id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9"/>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2.2.1">
                      <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.2.2.2.1.1"/>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11">𝑞</ci>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12">
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                        <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2">
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                            <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.2.1">𝑚</ci>
                            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.2.5">
                              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.2.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.2.5">superscript</csymbol>
                              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.2.2">𝜔</ci>
                              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.2.3.1">2</cn>
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                            <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.3.1">2</cn>
                            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.3.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.3.6">
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                              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.3.3">𝛼</ci>
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        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1g.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1h.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1i.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1">
            <and id="p1.1.m1.1.1.3.2.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1">
              <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1">⇒</ci>
              <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16">absent</csymbol>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2">𝑞</ci>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3"/>
              <share href="#p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.cmml" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1"/>
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                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.2">1</cn>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.3">𝜔</ci>
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                <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5">
                  <root id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5"/>
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                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.2.1.2.1">2</cn>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.2.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.2.1.2.2">𝛼</ci>
                    </apply>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.2.1.3">𝑚</ci>
                  </apply>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8">𝜔</ci>
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    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &amp;\displaystyle Q=\left(\frac{%
\partial S(q,P,t)}{\partial\alpha}\right)=-t+\frac{1}{\omega}\int{dq}{{\left(%
\frac{2\alpha}{m{{\omega}^{2}}}-{{q}^{2}}\right)}^{-\frac{1}{2}}}=\beta\\
&amp;\displaystyle Q=\beta=-t+\frac{1}{\omega}\arcsin\left(q\sqrt{\frac{m{{\omega}%
^{2}}}{2\left|\alpha\right|}}\right)\\
&amp;\displaystyle\Rightarrow q=\frac{1}{\omega}\sqrt{\frac{2\alpha}{m}}\sin\left(%
\omega(t+\beta)\right)\\
\end{aligned}}}</annotation>
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Q = ( ∂ S ( q , P , t ) ∂ α ) = − t + 1 ω ∫ d q ( 2 α m ω 2 − q 2 ) − 1 2 = β Q = β = − t + 1 ω arcsin ⁡ ( q m ω 2 2 | α | ) ⇒ q = 1 ω 2 α m sin ⁡ ( ω ( t + β ) ) {\displaystyle {\begin{aligned}&Q=\left({\frac {\partial S(q,P,t)}{\partial \alpha }}\right)=-t+{\frac {1}{\omega }}\int {dq}{{\left({\frac {2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}}-{{q}^{2}}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}}=\beta \\&Q=\beta =-t+{\frac {1}{\omega }}\arcsin \left(q{\sqrt {\frac {m{{\omega }^{2}}}{2\left|\alpha \right|}}}\right)\\&\Rightarrow q={\frac {1}{\omega }}{\sqrt {\frac {2\alpha }{m}}}\sin \left(\omega (t+\beta )\right)\\\end{aligned}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}&amp;Q=\left({\frac {\partial S(q,P,t)}{\partial \alpha }}\right)=-t+{\frac {1}{\omega }}\int {dq}{{\left({\frac {2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}}-{{q}^{2}}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}}=\beta \\&amp;Q=\beta =-t+{\frac {1}{\omega }}\arcsin \left(q{\sqrt {\frac {m{{\omega }^{2}}}{2\left|\alpha \right|}}}\right)\\&amp;\Rightarrow q={\frac {1}{\omega }}{\sqrt {\frac {2\alpha }{m}}}\sin \left(\omega (t+\beta )\right)\\\end{aligned}}}">
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        <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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                        <mi>q</mi>
                        <mo>,</mo>
                        <mi>P</mi>
                        <mo>,</mo>
                        <mi>t</mi>
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                      <mrow>
                        <mi mathvariant="normal">&#x2202;<!-- ∂ --></mi>
                        <mi>&#x03B1;<!-- α --></mi>
                      </mrow>
                    </mfrac>
                  </mrow>
                  <mo>)</mo>
                </mrow>
                <mo>=</mo>
                <mo>&#x2212;<!-- − --></mo>
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                <mo>+</mo>
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                  <mfrac>
                    <mn>1</mn>
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                                <mn>2</mn>
                                <mi>&#x03B1;<!-- α --></mi>
                              </mrow>
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                                <mi>m</mi>
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                                      <mi>&#x03C9;<!-- ω --></mi>
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                                      <mn>2</mn>
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                            </mfrac>
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                          <mo>&#x2212;<!-- − --></mo>
                          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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                                <mi>q</mi>
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                <mo>=</mo>
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            </mtr>
            <mtr>
              <mtd />
              <mtd>
                <mi>Q</mi>
                <mo>=</mo>
                <mi>&#x03B2;<!-- β --></mi>
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                      <mi>m</mi>
                    </mfrac>
                  </msqrt>
                </mrow>
                <mi>sin</mi>
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                <mrow>
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                  </mrow>
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  </semantics>
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SVG (23.649 KB / 8.5 KB) :

{\displaystyle {\begin{aligned}&Q=\left({\frac {\partial S(q,P,t)}{\partial \alpha }}\right)=-t+{\frac {1}{\omega }}\int {dq}{{\left({\frac {2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}}-{{q}^{2}}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}}=\beta \\&Q=\beta =-t+{\frac {1}{\omega }}\arcsin \left(q{\sqrt {\frac {m{{\omega }^{2}}}{2\left|\alpha \right|}}}\right)\\&\Rightarrow q={\frac {1}{\omega }}{\sqrt {\frac {2\alpha }{m}}}\sin \left(\omega (t+\beta )\right)\\\end{aligned}}}

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