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Display information for equation id:math.1732.31 on revision:1732

* Page found: Zeitabhängige Störungsrechnung (eq math.1732.31)

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Zeitabhängige Störungsrechnung Eq: math.1732.31

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TeX (original user input):

\begin{align}

& i\hbar \frac{d}{dt}\left( {{g}_{m}}^{(0)}(t)+\varepsilon {{g}_{m}}^{(1)}(t)+{{\varepsilon }^{2}}{{g}_{m}}^{(2)}(t)+... \right) \\

& =\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left( i\frac{\left( {{E}_{m}}-{{E}_{n}} \right)t}{\hbar } \right)}}\left\langle  m \right|{{{\hat{H}}}^{1}}(t)\left| n \right\rangle \left( {{g}_{n}}^{(0)}(t)+\varepsilon {{g}_{n}}^{(1)}(t)+{{\varepsilon }^{2}}{{g}_{n}}^{(2)}(t)+... \right) \\

\end{align}

TeX (checked):

{\begin{aligned}&i\hbar {\frac {d}{dt}}\left({{g}_{m}}^{(0)}(t)+\varepsilon {{g}_{m}}^{(1)}(t)+{{\varepsilon }^{2}}{{g}_{m}}^{(2)}(t)+...\right)\\&=\sum \limits _{n}{}{{e}^{\left(i{\frac {\left({{E}_{m}}-{{E}_{n}}\right)t}{\hbar }}\right)}}\left\langle m\right|{{\hat {H}}^{1}}(t)\left|n\right\rangle \left({{g}_{n}}^{(0)}(t)+\varepsilon {{g}_{n}}^{(1)}(t)+{{\varepsilon }^{2}}{{g}_{n}}^{(2)}(t)+...\right)\\\end{aligned}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (36.671 KB / 4.011 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&\displaystyle i\hbar\frac{d}{% dt}\left({{g}_{m}}^{(0)}(t)+\varepsilon{{g}_{m}}^{(1)}(t)+{{\varepsilon}^{2}}{% {g}_{m}}^{(2)}(t)+...\right)\\ \par&\displaystyle=\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left(i\frac{\left({{E}_{m}}-{{E}_% {n}}\right)t}{\hbar}\right)}}\left\langle m\right|{{{\hat{H}}}^{1}}(t)\left|n% \right\rangle\left({{g}_{n}}^{(0)}(t)+\varepsilon{{g}_{n}}^{(1)}(t)+{{% \varepsilon}^{2}}{{g}_{n}}^{(2)}(t)+...\right)\\ \par\end{aligned}}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&amp;\displaystyle i\hbar\frac{d}{%&#10;dt}\left({{g}_{m}}^{(0)}(t)+\varepsilon{{g}_{m}}^{(1)}(t)+{{\varepsilon}^{2}}{%&#10;{g}_{m}}^{(2)}(t)+...\right)\\&#10;\par&amp;\displaystyle=\sum\limits_{n}{{}}{{e}^{\left(i\frac{\left({{E}_{m}}-{{E}_%&#10;{n}}\right)t}{\hbar}\right)}}\left\langle m\right|{{{\hat{H}}}^{1}}(t)\left|n%&#10;\right\rangle\left({{g}_{n}}^{(0)}(t)+\varepsilon{{g}_{n}}^{(1)}(t)+{{%&#10;\varepsilon}^{2}}{{g}_{n}}^{(2)}(t)+...\right)\\&#10;\par\end{aligned}}}" display="inline">
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            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">i</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.cmml">⁢</mo>
            <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">ℏ</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.cmml">⁢</mo>
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                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.cmml">d</mi>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.3.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.3.1.cmml">d</mi>
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                </mrow>
              </mfrac>
            </mstyle>
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            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.cmml">(</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.1.cmml">
                  <mmultiscripts id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.1.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml">g</mi>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.cmml">m</mi>
                    <none id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.1.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.1.2.cmml"/>
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                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.1.2.cmml">
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.1.2.cmml">(</mo>
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.2.cmml">0</mn>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.1.2.cmml">)</mo>
                    </mrow>
                  </mmultiscripts>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.1.cmml">
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.1.cmml">(</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">t</mi>
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.1.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.cmml">+</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml">ε</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                  <mmultiscripts id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.2.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml">g</mi>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.cmml">m</mi>
                    <none id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.2.2.cmml"/>
                    <none id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.2.2b" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.2.2.cmml"/>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.2.2.cmml">
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.2.2.cmml">(</mo>
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.1.2.cmml">1</mn>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.2.2.cmml">)</mo>
                    </mrow>
                  </mmultiscripts>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.2.cmml">
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.2.cmml">(</mo>
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                  </mrow>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.cmml">+</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.3.cmml">
                  <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.3.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.cmml">ε</mi>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.1.cmml">2</mn>
                  </msup>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.3.1.cmml">⁢</mo>
                  <mmultiscripts id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.3.3.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.cmml">g</mi>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.1.cmml">m</mi>
                    <none id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.3.3a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.3.3.cmml"/>
                    <none id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.3.3b" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.3.3.cmml"/>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.3.3.cmml">
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.3.3.cmml">(</mo>
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.1.2.cmml">2</mn>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.3.3.cmml">)</mo>
                    </mrow>
                  </mmultiscripts>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.3.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.3.1.cmml">⁢</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.3.cmml">
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.3.cmml">(</mo>
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                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.3.cmml">)</mo>
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                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11b" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.cmml">+</mo>
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              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.cmml">)</mo>
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          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">
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            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">=</mo>
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                </munder>
              </mstyle>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.cmml">
                <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml">e</mi>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.6.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.6.cmml">(</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.6.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.2.cmml">i</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.6.1.cmml">⁢</mo>
                      <mfrac id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.3.cmml">
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.3.2.cmml">
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.3.2.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.3.2.10.2.cmml">
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.3.2.10.2.cmml">(</mo>
                            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.3.2.10.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.3.2.10.2.cmml">
                              <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.3.2.10.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.3.2.10.2.1.cmml">
                                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.3.2.2.cmml">E</mi>
                                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.3.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.3.2.3.1.cmml">m</mi>
                              </msub>
                              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.3.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.3.2.4.cmml">-</mo>
                              <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.3.2.10.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.3.2.10.2.2.cmml">
                                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.3.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.3.2.5.cmml">E</mi>
                                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.3.2.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.3.2.6.1.cmml">n</mi>
                              </msub>
                            </mrow>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.3.2.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.3.2.10.2.cmml">)</mo>
                          </mrow>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.3.2.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.3.2.9.cmml">⁢</mo>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.3.2.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.3.2.8.cmml">t</mi>
                        </mrow>
                        <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.3.3.cmml">ℏ</mi>
                      </mfrac>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.6.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                </msup>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.3.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.3.1.1.cmml">⟨</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml">m</mi>
                  <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.3.1.1.cmml">|</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.3.2.cmml">
                    <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.3.2.2.cmml">
                      <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.cmml">H</mi>
                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.1.cmml">^</mo>
                      </mover>
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1.cmml">1</mn>
                    </msup>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.3.2.1.cmml">⁢</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.3.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.3.2.cmml">
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.3.2.cmml">(</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">t</mi>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.3.2.cmml">)</mo>
                    </mrow>
                  </mrow>
                  <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.3.1.1.cmml">|</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.cmml">n</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.3.1.1.cmml">⟩</mo>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.cmml">(</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.1.cmml">
                      <mmultiscripts id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.1.2.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.cmml">g</mi>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.1.cmml">n</mi>
                        <none id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.1.2a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.1.2.cmml"/>
                        <none id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.1.2b" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.1.2.cmml"/>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.1.2.cmml">
                          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.1.2.cmml">(</mo>
                          <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20.1.2.cmml">0</mn>
                          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.1.2.cmml">)</mo>
                        </mrow>
                      </mmultiscripts>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.1.cmml">
                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.1.cmml">(</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.cmml">t</mi>
                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.1.cmml">)</mo>
                      </mrow>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24.cmml">+</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.cmml">ε</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                      <mmultiscripts id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.2.2.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.cmml">g</mi>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.cmml">n</mi>
                        <none id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.2.2.cmml"/>
                        <none id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.2.2b" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.2.2.cmml"/>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.2.2.cmml">
                          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.2.2.cmml">(</mo>
                          <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.cmml">1</mn>
                          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.2.2.cmml">)</mo>
                        </mrow>
                      </mmultiscripts>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.2.cmml">
                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.2.cmml">(</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30.cmml">t</mi>
                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.2.cmml">)</mo>
                      </mrow>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24.cmml">+</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.3.cmml">
                      <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.3.2.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.33" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.33.cmml">ε</mi>
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34.1.cmml">2</mn>
                      </msup>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.3.1.cmml">⁢</mo>
                      <mmultiscripts id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.3.3.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.35" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.35.cmml">g</mi>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.1.cmml">n</mi>
                        <none id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.3.3a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.3.3.cmml"/>
                        <none id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.3.3b" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.3.3.cmml"/>
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                          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.3.3.cmml">(</mo>
                          <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.1.2.cmml">2</mn>
                          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.3.3.cmml">)</mo>
                        </mrow>
                      </mmultiscripts>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.3.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.3.1.cmml">⁢</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.3.cmml">
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                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.3.cmml">)</mo>
                      </mrow>
                    </mrow>
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                    <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.44" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.44.cmml">…</mi>
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            <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1">𝑖</ci>
            <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2">Planck-constant-over-2-pi</csymbol>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3">
              <divide id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2">𝑑</ci>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.3">
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                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.3.1">𝑑</ci>
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                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.1.2">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5">𝑔</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1">𝑚</ci>
                  </apply>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.2">0</cn>
                </apply>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9">𝑡</ci>
              </apply>
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                <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.2.1"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12">𝜀</ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.2.2">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34.2.2.2">superscript</csymbol>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13">𝑔</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1">𝑚</ci>
                  </apply>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.1.2">1</cn>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20">𝜀</ci>
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                            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.3.2.10.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.3.2.10.2.1">subscript</csymbol>
                            <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.3.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.3.2.2">𝐸</ci>
                            <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.3.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.3.2.3.1">𝑚</ci>
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                            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.3.2.10.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.3.2.10.2.2">subscript</csymbol>
                            <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.3.2.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.3.2.5">𝐸</ci>
                            <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.3.2.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.3.2.6.1">𝑛</ci>
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                        <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.3.2.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.3.2.8">𝑡</ci>
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                      <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.3.3">Planck-constant-over-2-pi</csymbol>
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                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.3.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.3.2.2">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.3.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.3.2.2">superscript</csymbol>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9">
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.1">^</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2">𝐻</ci>
                      </apply>
                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1">1</cn>
                    </apply>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12">𝑡</ci>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15">𝑛</ci>
                </apply>
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                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.1">
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                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.1.2">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.1.2">superscript</csymbol>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.1.2">
                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.1.2">subscript</csymbol>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18">𝑔</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.1">𝑛</ci>
                      </apply>
                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20.1.2">0</cn>
                    </apply>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22">𝑡</ci>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25">𝜀</ci>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.2.2">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.2.2">superscript</csymbol>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.2.2">
                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.2.2">subscript</csymbol>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26">𝑔</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.1">𝑛</ci>
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                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.2">1</cn>
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                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.47.2.4.2.3">
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                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34.1">2</cn>
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                        <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.35.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.35">𝑔</ci>
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                      </apply>
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{n}}\right)t}{\hbar}\right)}}\left\langle m\right|{{{\hat{H}}}^{1}}(t)\left|n%
\right\rangle\left({{g}_{n}}^{(0)}(t)+\varepsilon{{g}_{n}}^{(1)}(t)+{{%
\varepsilon}^{2}}{{g}_{n}}^{(2)}(t)+...\right)\\
\par\end{aligned}}}</annotation>
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\begin{array}{l} i ℏ \frac{d}{d t} ({g_{m}}^{(0)} (t) + ε {g_{m}}^{(1)} (t) + ε^{2} {g_{m}}^{(2)} (t) + . . .) \\ = \sum_{n} e^{(i \frac{(E_{m} - E_{n}) t}{ℏ})} ⟨ m | {\hat{H}}^{1} (t) | n ⟩ ({g_{n}}^{(0)} (t) + ε {g_{n}}^{(1)} (t) + ε^{2} {g_{n}}^{(2)} (t) + . . .) \end{array}

<math class="mwe-math-element" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mtable columnalign="left" columnspacing="0em" displaystyle="true" rowspacing="3pt"><mtr><mtd></mtd><mtd><mi>i</mi><mi data-mjx-alternate="1">&#x210F;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>d</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow></mrow></mfrac></mrow><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><msup><msub><mi>g</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>m</mi></mrow></msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo stretchy="false">(</mo><mn>0</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></msup><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mi>&#x03B5;</mi><msup><msub><mi>g</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>m</mi></mrow></msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo stretchy="false">(</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></msup><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><msup><mi>&#x03B5;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>2</mn></mrow></msup><msup><msub><mi>g</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>m</mi></mrow></msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo stretchy="false">(</mo><mn>2</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></msup><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mo>=</mo><munder><mo form="prefix" texclass="OP">&#x2211;</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>n</mi></mrow></munder><msup><mi>e</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mi>i</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><msub><mi>E</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>m</mi></mrow></msub><mo>&#x2212;</mo><msub><mi>E</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>n</mi></mrow></msub><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mi>t</mi></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi data-mjx-alternate="1">&#x210F;</mi></mrow></mfrac></mrow><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow></mrow></msup><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">&#x27E8;</mo><mi>m</mi><mo data-mjx-texclass="CLOSE">|</mo></mrow><msup><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>H</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>1</mn></mrow></msup><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">|</mo><mi>n</mi><mo data-mjx-texclass="CLOSE">&#x27E9;</mo></mrow><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><msup><msub><mi>g</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>n</mi></mrow></msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo stretchy="false">(</mo><mn>0</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></msup><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mi>&#x03B5;</mi><msup><msub><mi>g</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>n</mi></mrow></msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo stretchy="false">(</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></msup><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><msup><mi>&#x03B5;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>2</mn></mrow></msup><msup><msub><mi>g</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>n</mi></mrow></msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo stretchy="false">(</mo><mn>2</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></msup><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow></math>

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$d$

$d$

$t$

$g_{m}$

$t$

$ε$

$g_{m}$

$t$

$ε$

$g_{m}$

$t$

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$\hat{H}$

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$g_{n}$

$t$

$ε$

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$t$

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$t$

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