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* Page found: Identische Teilchen: Spin und Statistik (eq math.1717.22)

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Identische Teilchen: Spin und Statistik Eq: math.1720.22

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TeX (original user input):

\begin{align}

& {{\left| {{{\hat{p}}}_{\left( ij \right)}}\Psi ({{q}_{1}},{{q}_{2}}...,{{q}_{N}},t) \right|}^{2}}={{\left| \Psi ({{q}_{1}},{{q}_{2}}...,{{q}_{N}},t) \right|}^{2}}=1={{\left| {{\lambda }_{ij}}\Psi ({{q}_{1}},{{q}_{2}}...,{{q}_{N}},t) \right|}^{2}} \\
& \Rightarrow {{\left| {{\lambda }_{ij}} \right|}^{2}}=1 \\
& \Rightarrow {{\lambda }_{ij}}=\pm 1 \\
\end{align}

TeX (checked):

{\begin{aligned}&{{\left|{{\hat {p}}_{\left(ij\right)}}\Psi ({{q}_{1}},{{q}_{2}}...,{{q}_{N}},t)\right|}^{2}}={{\left|\Psi ({{q}_{1}},{{q}_{2}}...,{{q}_{N}},t)\right|}^{2}}=1={{\left|{{\lambda }_{ij}}\Psi ({{q}_{1}},{{q}_{2}}...,{{q}_{N}},t)\right|}^{2}}\\&\Rightarrow {{\left|{{\lambda }_{ij}}\right|}^{2}}=1\\&\Rightarrow {{\lambda }_{ij}}=\pm 1\\\end{aligned}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (31.19 KB / 3.318 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&\displaystyle{{\left|{{{\hat{% p}}}_{\left(ij\right)}}\Psi({{q}_{1}},{{q}_{2}}...,{{q}_{N}},t)\right|}^{2}}={% {\left|\Psi({{q}_{1}},{{q}_{2}}...,{{q}_{N}},t)\right|}^{2}}=1={{\left|{{% \lambda}_{ij}}\Psi({{q}_{1}},{{q}_{2}}...,{{q}_{N}},t)\right|}^{2}}\\ &\displaystyle\Rightarrow{{\left|{{\lambda}_{ij}}\right|}^{2}}=1\\ &\displaystyle\Rightarrow{{\lambda}_{ij}}=\pm 1\\ \end{aligned}}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&amp;\displaystyle{{\left|{{{\hat{%&#10;p}}}_{\left(ij\right)}}\Psi({{q}_{1}},{{q}_{2}}...,{{q}_{N}},t)\right|}^{2}}={%&#10;{\left|\Psi({{q}_{1}},{{q}_{2}}...,{{q}_{N}},t)\right|}^{2}}=1={{\left|{{%&#10;\lambda}_{ij}}\Psi({{q}_{1}},{{q}_{2}}...,{{q}_{N}},t)\right|}^{2}}\\&#10;&amp;\displaystyle\Rightarrow{{\left|{{\lambda}_{ij}}\right|}^{2}}=1\\&#10;&amp;\displaystyle\Rightarrow{{\lambda}_{ij}}=\pm 1\\&#10;\end{aligned}}}" display="inline">
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              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.67.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.67.2.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.67.2.1.1.cmml">|</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.67.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.67.2.2.cmml">
                  <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.67.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.67.2.2.2.cmml">
                    <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.cmml">p</mi>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.cmml">^</mo>
                    </mover>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.6.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.6.cmml">(</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.6.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2.cmml">i</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.6.1.cmml">⁢</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.3.cmml">j</mi>
                      </mrow>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.6.cmml">)</mo>
                    </mrow>
                  </msub>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.67.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.67.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                  <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">Ψ</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.67.2.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.67.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.67.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.67.2.2.3.1.cmml">
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.67.2.2.3.1.cmml">(</mo>
                    <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.67.2.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.67.2.2.3.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">q</mi>
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.1.cmml">1</mn>
                    </msub>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.67.2.2.3.1.cmml">,</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.67.2.2.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.67.2.2.3.3.cmml">
                      <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.67.2.2.3.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.67.2.2.3.3.2.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">q</mi>
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.cmml">2</mn>
                      </msub>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.67.2.2.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.67.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo>
                      <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml">…</mi>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.67.2.2.3.1.cmml">,</mo>
                    <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.67.2.2.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.67.2.2.3.4.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.cmml">q</mi>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.cmml">N</mi>
                    </msub>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.67.2.2.3.1.cmml">,</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml">t</mi>
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.67.2.2.3.1.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.67.2.1.1.cmml">|</mo>
              </mrow>
              <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.1.cmml">2</mn>
            </msup>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.cmml">=</mo>
            <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.2.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.2.1.1.cmml">|</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.2.2.cmml">
                  <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.cmml">Ψ</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.2.2.2.1.cmml">
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.2.2.2.1.cmml">(</mo>
                    <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.2.2.2.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.cmml">q</mi>
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.1.cmml">1</mn>
                    </msub>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.2.2.2.1.cmml">,</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.2.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.2.2.2.3.cmml">
                      <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.2.2.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.2.2.2.3.2.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.cmml">q</mi>
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1.cmml">2</mn>
                      </msub>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.2.2.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.2.2.2.3.1.cmml">⁢</mo>
                      <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.cmml">…</mi>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.2.2.2.1.cmml">,</mo>
                    <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.2.2.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.2.2.2.4.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.35" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.35.cmml">q</mi>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.36.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.36.1.cmml">N</mi>
                    </msub>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.2.2.2.1.cmml">,</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.cmml">t</mi>
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.39" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.2.2.2.1.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.2.1.1.cmml">|</mo>
              </mrow>
              <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.41.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.41.1.cmml">2</mn>
            </msup>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.cmml">=</mo>
            <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43.cmml">1</mn>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.cmml">=</mo>
            <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.45" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.1.1.cmml">|</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.2.cmml">
                  <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.2.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.46" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.46.cmml">λ</mi>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47.1.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47.1.1.cmml">i</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47.1.3.cmml">⁢</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47.1.2.cmml">j</mi>
                    </mrow>
                  </msub>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                  <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.cmml">Ψ</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.2.3.1.cmml">
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.49" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.2.3.1.cmml">(</mo>
                    <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.2.3.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.cmml">q</mi>
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.1.cmml">1</mn>
                    </msub>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.2.3.1.cmml">,</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.2.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.2.3.3.cmml">
                      <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.2.3.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.2.3.3.2.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.cmml">q</mi>
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54.1.cmml">2</mn>
                      </msub>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.2.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.2.3.3.1.cmml">⁢</mo>
                      <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.cmml">…</mi>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.2.3.1.cmml">,</mo>
                    <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.2.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.2.3.4.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.cmml">q</mi>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.60.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.60.1.cmml">N</mi>
                    </msub>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.61" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.2.3.1.cmml">,</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.62" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.62.cmml">t</mi>
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.63" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.2.3.1.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.64" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.1.1.cmml">|</mo>
              </mrow>
              <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.65.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.65.1.cmml">2</mn>
            </msup>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1d" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1e" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1f" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">⇒</mo>
            <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.2.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.2.1.1.cmml">|</mo>
                <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.2.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml">λ</mi>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.1.cmml">i</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.3.cmml">⁢</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.2.cmml">j</mi>
                  </mrow>
                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.2.1.1.cmml">|</mo>
              </mrow>
              <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.cmml">2</mn>
            </msup>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml">=</mo>
            <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml">1</mn>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1g" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1h" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1i" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml">⇒</mo>
            <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.cmml">λ</mi>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.1.cmml">i</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.3.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.2.cmml">j</mi>
              </mrow>
            </msub>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.cmml">±</mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.cmml">1</mn>
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                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.67.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.67.2.2.2">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.67.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.67.2.2.2">subscript</csymbol>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2">
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1">^</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2">𝑝</ci>
                      </apply>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1">
                        <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.6.1"/>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2">𝑖</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.3">𝑗</ci>
                      </apply>
                    </apply>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4">Ψ</ci>
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                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.67.2.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.67.2.2.3.2">
                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.67.2.2.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.67.2.2.3.2">subscript</csymbol>
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                      </apply>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.67.2.2.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.67.2.2.3.3">
                        <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.67.2.2.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.67.2.2.3.3.1"/>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.67.2.2.3.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.67.2.2.3.3.2">
                          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.67.2.2.3.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.67.2.2.3.3.2">subscript</csymbol>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9">𝑞</ci>
                          <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.1">2</cn>
                        </apply>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13">…</ci>
                      </apply>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.67.2.2.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.67.2.2.3.4">
                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.67.2.2.3.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.67.2.2.3.4">subscript</csymbol>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15">𝑞</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1">𝑁</ci>
                      </apply>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18">𝑡</ci>
                    </vector>
                  </apply>
                </apply>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.1">2</cn>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68">superscript</csymbol>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.2">
                  <abs id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.2.2">
                    <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.2.2.1"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24">Ψ</ci>
                    <vector id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.2.2.2">
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.2.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.2.2.2.2">
                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.2.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.2.2.2.2">subscript</csymbol>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26">𝑞</ci>
                        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.1">1</cn>
                      </apply>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.2.2.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.2.2.2.3">
                        <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.2.2.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.2.2.2.3.1"/>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.2.2.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.2.2.2.3.2">
                          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.2.2.2.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.2.2.2.3.2">subscript</csymbol>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29">𝑞</ci>
                          <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1">2</cn>
                        </apply>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33">…</ci>
                      </apply>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.2.2.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.2.2.2.4">
                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.2.2.2.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.2.2.2.4">subscript</csymbol>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.35.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.35">𝑞</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.36.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.36.1">𝑁</ci>
                      </apply>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38">𝑡</ci>
                    </vector>
                  </apply>
                </apply>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.41.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.41.1">2</cn>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42"/>
              <share href="#p1.1.m1.1.1.1.2.1.68.cmml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1"/>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43">1</cn>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1e.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44"/>
              <share href="#p1.1.m1.1.1.1.2.1.43.cmml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1f.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69">superscript</csymbol>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2">
                  <abs id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.45"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.2">
                    <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.2.1"/>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.2.2">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.2.2">subscript</csymbol>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.46.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.46">𝜆</ci>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47.1">
                        <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47.1.3"/>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47.1.1">𝑖</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47.1.2">𝑗</ci>
                      </apply>
                    </apply>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48">Ψ</ci>
                    <vector id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.2.3">
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.2.3.2">
                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.2.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.2.3.2">subscript</csymbol>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50">𝑞</ci>
                        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.1">1</cn>
                      </apply>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.2.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.2.3.3">
                        <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.2.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.2.3.3.1"/>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.2.3.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.2.3.3.2">
                          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.2.3.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.2.3.3.2">subscript</csymbol>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53">𝑞</ci>
                          <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54.1">2</cn>
                        </apply>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57">…</ci>
                      </apply>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.2.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.2.3.4">
                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.2.3.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.69.2.2.3.4">subscript</csymbol>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59">𝑞</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.60.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.60.1">𝑁</ci>
                      </apply>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.62.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.62">𝑡</ci>
                    </vector>
                  </apply>
                </apply>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.65.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.65.1">2</cn>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
            <and id="p1.1.m1.1.1.2.2.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
              <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1">⇒</ci>
              <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10">absent</csymbol>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11">superscript</csymbol>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.2">
                  <abs id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.2.2">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.2.2">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3">𝜆</ci>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1">
                      <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.3"/>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.1">𝑖</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.2">𝑗</ci>
                    </apply>
                  </apply>
                </apply>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1">2</cn>
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            </apply>
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              <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1">⇒</ci>
              <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8">absent</csymbol>
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                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9">subscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2">𝜆</ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1">
                  <times id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.3"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.1">𝑖</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.2">𝑗</ci>
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            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1">
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                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6">1</cn>
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\lambda}_{ij}}\Psi({{q}_{1}},{{q}_{2}}...,{{q}_{N}},t)\right|}^{2}}\\
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\begin{array}{l} {| {\hat{p}}_{(i j)} Ψ (q_{1}, q_{2} . . ., q_{N}, t) |}^{2} = {| Ψ (q_{1}, q_{2} . . ., q_{N}, t) |}^{2} = 1 = {| λ_{i j} Ψ (q_{1}, q_{2} . . ., q_{N}, t) |}^{2} \\ \Rightarrow {| λ_{i j} |}^{2} = 1 \\ \Rightarrow λ_{i j} = \pm 1 \end{array}

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$\hat{p}$

$i$

$j$

$Ψ$

$q_{1}$

$q_{2}$

$q_{N}$

$t$

$Ψ$

$q_{1}$

$q_{2}$

$q_{N}$

$t$

$λ_{i j}$

$Ψ$

$q_{1}$

$q_{2}$

$q_{N}$

$t$

$λ_{i j}$

$λ_{i j}$

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