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Display information for equation id:math.1677.42 on revision:1677

* Page found: Kugelsymmetrische Potentiale (eq math.1677.42)

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H\Psi (r,\vartheta ,\phi )=\frac{{{p}^{2}}}{2m}\Psi (r,\vartheta ,\phi )+V(r)\Psi (r,\vartheta ,\phi )=\frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}\frac{1}{r}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{r}^{2}}}\left( r\Psi  \right)+\left[ \frac{{{L}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}+V(r) \right]\Psi =E\Psi (r,\vartheta ,\phi )

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MathML (21.51 KB / 2.834 KB) :

H ⁢ Ψ ⁢ ( r , ϑ , ϕ ) = p 2 2 ⁢ m ⁢ Ψ ⁢ ( r , ϑ , ϕ ) + V ⁢ ( r ) ⁢ Ψ ⁢ ( r , ϑ , ϕ ) = - ℏ 2 2 ⁢ m ⁢ 1 r ⁢ ∂ 2 ∂ ⁡ r 2 ⁢ ( r ⁢ Ψ ) + [ L 2 2 ⁢ m ⁢ r 2 + V ⁢ ( r ) ] ⁢ Ψ = E ⁢ Ψ ⁢ ( r , ϑ , ϕ ) 𝐻 Ψ 𝑟 italic-ϑ italic-ϕ superscript 𝑝 2 2 𝑚 Ψ 𝑟 italic-ϑ italic-ϕ 𝑉 𝑟 Ψ 𝑟 italic-ϑ italic-ϕ superscript Planck-constant-over-2-pi 2 2 𝑚 1 𝑟 superscript 2 superscript 𝑟 2 𝑟 Ψ delimited-[] superscript 𝐿 2 2 𝑚 superscript 𝑟 2 𝑉 𝑟 Ψ 𝐸 Ψ 𝑟 italic-ϑ italic-ϕ {\displaystyle{\displaystyle H\Psi(r,\vartheta,\phi)=\frac{{{p}^{2}}}{2m}\Psi(% r,\vartheta,\phi)+V(r)\Psi(r,\vartheta,\phi)=\frac{-{{\hbar}^{2}}}{2m}\frac{1}% {r}\frac{{{\partial}^{2}}}{\partial{{r}^{2}}}\left(r\Psi\right)+\left[\frac{{{% L}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}+V(r)\right]\Psi=E\Psi(r,\vartheta,\phi)}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle H\Psi(r,\vartheta,\phi)=\frac{{{p}^{2}}}{2m}\Psi(%&#10;r,\vartheta,\phi)+V(r)\Psi(r,\vartheta,\phi)=\frac{-{{\hbar}^{2}}}{2m}\frac{1}%&#10;{r}\frac{{{\partial}^{2}}}{\partial{{r}^{2}}}\left(r\Psi\right)+\left[\frac{{{%&#10;L}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}+V(r)\right]\Psi=E\Psi(r,\vartheta,\phi)}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.61" xref="p1.1.m1.1.61.cmml">
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        <mi id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">H</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.61.2.1" xref="p1.1.m1.1.61.2.1.cmml">⁢</mo>
        <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">Ψ</mi>
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          <mi id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">ϑ</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.61.2.2.1.cmml">,</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">ϕ</mi>
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          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">
            <mfrac id="p1.1.m1.1.11a" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">
              <msup id="p1.1.m1.1.11.2" xref="p1.1.m1.1.11.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.11.2.1" xref="p1.1.m1.1.11.2.1.cmml">p</mi>
                <mn id="p1.1.m1.1.11.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.11.2.2.1.cmml">2</mn>
              </msup>
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            </mfrac>
          </mstyle>
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            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.61.3.1.2.1.cmml">(</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">r</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.61.3.1.2.1.cmml">,</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">ϑ</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.61.3.1.2.1.cmml">,</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.18.cmml">ϕ</mi>
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.61.3.1.2.1.cmml">)</mo>
          </mrow>
        </mrow>
        <mo id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.20.cmml">+</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.61.3.2" xref="p1.1.m1.1.61.3.2.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.21.cmml">V</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.61.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.61.3.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.61.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.61.3.2.cmml">
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.22" xref="p1.1.m1.1.61.3.2.cmml">(</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.23" xref="p1.1.m1.1.23.cmml">r</mi>
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          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.61.3.2.1a" xref="p1.1.m1.1.61.3.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.25" xref="p1.1.m1.1.25.cmml">Ψ</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.61.3.2.1b" xref="p1.1.m1.1.61.3.2.1.cmml">⁢</mo>
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            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.26" xref="p1.1.m1.1.61.3.2.3.1.cmml">(</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.27" xref="p1.1.m1.1.27.cmml">r</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.28" xref="p1.1.m1.1.61.3.2.3.1.cmml">,</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.29" xref="p1.1.m1.1.29.cmml">ϑ</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.30" xref="p1.1.m1.1.61.3.2.3.1.cmml">,</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.31" xref="p1.1.m1.1.31.cmml">ϕ</mi>
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.32" xref="p1.1.m1.1.61.3.2.3.1.cmml">)</mo>
          </mrow>
        </mrow>
      </mrow>
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          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.34" xref="p1.1.m1.1.34.cmml">
            <mfrac id="p1.1.m1.1.34a" xref="p1.1.m1.1.34.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.34.2" xref="p1.1.m1.1.34.2.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.34.2.1" xref="p1.1.m1.1.34.2.1.cmml">-</mo>
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                  <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.34.2.2" xref="p1.1.m1.1.34.2.2.cmml">ℏ</mi>
                  <mn id="p1.1.m1.1.34.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.34.2.3.1.cmml">2</mn>
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              <mn id="p1.1.m1.1.35.2" xref="p1.1.m1.1.35.2.cmml">1</mn>
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          <mo id="p1.1.m1.1.61.4.1.1a" xref="p1.1.m1.1.61.4.1.1.cmml">⁢</mo>
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.36" xref="p1.1.m1.1.36.cmml">
            <mfrac id="p1.1.m1.1.36a" xref="p1.1.m1.1.36.cmml">
              <msup id="p1.1.m1.1.36.2" xref="p1.1.m1.1.36.2.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.36.2.1" xref="p1.1.m1.1.36.2.1.cmml">∂</mo>
                <mn id="p1.1.m1.1.36.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.36.2.2.1.cmml">2</mn>
              </msup>
              <mrow id="p1.1.m1.1.36.3" xref="p1.1.m1.1.36.3.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.36.3.1" xref="p1.1.m1.1.36.3.1.cmml">∂</mo>
                <mo id="p1.1.m1.1.36.3a" xref="p1.1.m1.1.36.3.cmml">⁡</mo>
                <msup id="p1.1.m1.1.36.3.4" xref="p1.1.m1.1.36.3.4.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.36.3.2" xref="p1.1.m1.1.36.3.2.cmml">r</mi>
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            </mfrac>
          </mstyle>
          <mo id="p1.1.m1.1.61.4.1.1b" xref="p1.1.m1.1.61.4.1.1.cmml">⁢</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.61.4.1.2" xref="p1.1.m1.1.61.4.1.2.2.cmml">
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            <mrow id="p1.1.m1.1.61.4.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.61.4.1.2.2.cmml">
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              <mo id="p1.1.m1.1.61.4.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.61.4.1.2.2.1.cmml">⁢</mo>
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            </mrow>
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          </mrow>
        </mrow>
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            <mrow id="p1.1.m1.1.61.4.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.61.4.2.2.2.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.43" xref="p1.1.m1.1.43.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.43a" xref="p1.1.m1.1.43.cmml">
                  <msup id="p1.1.m1.1.43.2" xref="p1.1.m1.1.43.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.43.2.1" xref="p1.1.m1.1.43.2.1.cmml">L</mi>
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                  <mrow id="p1.1.m1.1.43.3" xref="p1.1.m1.1.43.3.cmml">
                    <mn id="p1.1.m1.1.43.3.1" xref="p1.1.m1.1.43.3.1.cmml">2</mn>
                    <mo id="p1.1.m1.1.43.3.5" xref="p1.1.m1.1.43.3.5.cmml">⁢</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.43.3.2" xref="p1.1.m1.1.43.3.2.cmml">m</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.43.3.5a" xref="p1.1.m1.1.43.3.5.cmml">⁢</mo>
                    <msup id="p1.1.m1.1.43.3.6" xref="p1.1.m1.1.43.3.6.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.43.3.3" xref="p1.1.m1.1.43.3.3.cmml">r</mi>
                      <mn id="p1.1.m1.1.43.3.4.1" xref="p1.1.m1.1.43.3.4.1.cmml">2</mn>
                    </msup>
                  </mrow>
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                <mi id="p1.1.m1.1.45" xref="p1.1.m1.1.45.cmml">V</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.61.4.2.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.61.4.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.61.4.2.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.61.4.2.2.2.1.cmml">
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.46" xref="p1.1.m1.1.61.4.2.2.2.1.cmml">(</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.47" xref="p1.1.m1.1.47.cmml">r</mi>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.48" xref="p1.1.m1.1.61.4.2.2.2.1.cmml">)</mo>
                </mrow>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.49" xref="p1.1.m1.1.61.4.2.2.1.1.cmml">]</mo>
          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.61.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.61.4.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.50" xref="p1.1.m1.1.50.cmml">Ψ</mi>
        </mrow>
      </mrow>
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        <mi id="p1.1.m1.1.52" xref="p1.1.m1.1.52.cmml">E</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.61.5.1" xref="p1.1.m1.1.61.5.1.cmml">⁢</mo>
        <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.53" xref="p1.1.m1.1.53.cmml">Ψ</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.61.5.1a" xref="p1.1.m1.1.61.5.1.cmml">⁢</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.61.5.2" xref="p1.1.m1.1.61.5.2.1.cmml">
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.54" xref="p1.1.m1.1.61.5.2.1.cmml">(</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.55" xref="p1.1.m1.1.55.cmml">r</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.56" xref="p1.1.m1.1.61.5.2.1.cmml">,</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.57" xref="p1.1.m1.1.57.cmml">ϑ</mi>
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            <ci id="p1.1.m1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">𝐻</ci>
            <ci id="p1.1.m1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.2">Ψ</ci>
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              <ci id="p1.1.m1.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.4">𝑟</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.6">italic-ϑ</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.8">italic-ϕ</ci>
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                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.11.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.2">superscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.11.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.2.1">𝑝</ci>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.11.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.2.2.1">2</cn>
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                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.11.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.3.1">2</cn>
                  <ci id="p1.1.m1.1.11.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.3.2">𝑚</ci>
                </apply>
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              <ci id="p1.1.m1.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.12">Ψ</ci>
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                <ci id="p1.1.m1.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.14">𝑟</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.16">italic-ϑ</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.18">italic-ϕ</ci>
              </vector>
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              <ci id="p1.1.m1.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.21">𝑉</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.23.cmml" xref="p1.1.m1.1.23">𝑟</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.25.cmml" xref="p1.1.m1.1.25">Ψ</ci>
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                <ci id="p1.1.m1.1.27.cmml" xref="p1.1.m1.1.27">𝑟</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.29.cmml" xref="p1.1.m1.1.29">italic-ϑ</ci>
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                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.34.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.3.1">2</cn>
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                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.35.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.35.2">1</cn>
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              <ci id="p1.1.m1.1.50.cmml" xref="p1.1.m1.1.50">Ψ</ci>
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            <ci id="p1.1.m1.1.52.cmml" xref="p1.1.m1.1.52">𝐸</ci>
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              <ci id="p1.1.m1.1.55.cmml" xref="p1.1.m1.1.55">𝑟</ci>
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L}^{2}}}{2m{{r}^{2}}}+V(r)\right]\Psi=E\Psi(r,\vartheta,\phi)}}</annotation>
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HΨ(r,ϑ,ϕ)=p22mΨ(r,ϑ,ϕ)+V(r)Ψ(r,ϑ,ϕ)=−ℏ22m1r∂2∂r2(rΨ)+[L22mr2+V(r)]Ψ=EΨ(r,ϑ,ϕ)
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