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Display information for equation id:math.1672.19 on revision:1672

* Page found: Ortsdarstellung des Bahndrehimpulses (eq math.1672.19)

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Hash: eacd9938542276a9c4c6822df74a9ea6

TeX (original user input): 

{{\Psi }_{l,l-1}}(\bar{r})\propto \left\langle  {\bar{r}} \right|{{\hat{L}}_{-}}\left| ll \right\rangle =\hbar {{e}^{i(l-1)\phi }}\left( -\frac{\partial }{\partial \vartheta }-l\cot \vartheta  \right){{f}_{ll}}(r,\vartheta )=\hbar {{e}^{i(l-1)\phi }}{{\left( \sin \vartheta  \right)}^{1-l}}\frac{\partial }{\partial \cos \vartheta }\left[ {{\left( \sin \vartheta  \right)}^{l}}{{f}_{ll}}(r,\vartheta  \right]

TeX (checked): 

{{\Psi }_{l,l-1}}({\bar {r}})\propto \left\langle {\bar {r}}\right|{{\hat {L}}_{-}}\left|ll\right\rangle =\hbar {{e}^{i(l-1)\phi }}\left(-{\frac {\partial }{\partial \vartheta }}-l\cot \vartheta \right){{f}_{ll}}(r,\vartheta )=\hbar {{e}^{i(l-1)\phi }}{{\left(\sin \vartheta \right)}^{1-l}}{\frac {\partial }{\partial \cos \vartheta }}\left[{{\left(\sin \vartheta \right)}^{l}}{{f}_{ll}}(r,\vartheta \right]

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (21.16 KB / 3.12 KB) :

Ψ l , l - 1 ( r ¯ ) ∝ ⟨ r ¯ | L ^ - | l l ⟩ = ℏ e i ⁢ ( l - 1 ) ⁢ ϕ ( - ∂ ∂ ⁡ ϑ - l cot ϑ ) f l ⁢ l ( r , ϑ ) = ℏ e i ⁢ ( l - 1 ) ⁢ ϕ ( sin ϑ ) 1 - l ∂ ∂ ⁡ cos ⁡ ϑ [ ( sin ϑ ) l f l ⁢ l ( r , ϑ ] fragments subscript Ψ 𝑙 𝑙 1 fragments ( ¯ 𝑟 ) proportional-to fragments ⟨ ¯ 𝑟 | subscript ^ 𝐿 | l l ⟩ Planck-constant-over-2-pi superscript 𝑒 𝑖 𝑙 1 italic-ϕ fragments ( italic-ϑ l ϑ ) subscript 𝑓 𝑙 𝑙 fragments ( r , ϑ ) Planck-constant-over-2-pi superscript 𝑒 𝑖 𝑙 1 italic-ϕ superscript fragments ( ϑ ) 1 𝑙 italic-ϑ fragments [ superscript fragments ( ϑ ) 𝑙 subscript 𝑓 𝑙 𝑙 fragments ( r , ϑ ] {\displaystyle{\displaystyle{{\Psi}_{l,l-1}}(\bar{r})\propto\left\langle{\bar{% r}}\right|{{\hat{L}}_{-}}\left|ll\right\rangle=\hbar{{e}^{i(l-1)\phi}}\left(-% \frac{\partial}{\partial\vartheta}-l\cot\vartheta\right){{f}_{ll}}(r,\vartheta% )=\hbar{{e}^{i(l-1)\phi}}{{\left(\sin\vartheta\right)}^{1-l}}\frac{\partial}{% \partial\cos\vartheta}\left[{{\left(\sin\vartheta\right)}^{l}}{{f}_{ll}}(r,% \vartheta\right]}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle{{\Psi}_{l,l-1}}(\bar{r})\propto\left\langle{\bar{%&#10;r}}\right|{{\hat{L}}_{-}}\left|ll\right\rangle=\hbar{{e}^{i(l-1)\phi}}\left(-%&#10;\frac{\partial}{\partial\vartheta}-l\cot\vartheta\right){{f}_{ll}}(r,\vartheta%&#10;)=\hbar{{e}^{i(l-1)\phi}}{{\left(\sin\vartheta\right)}^{1-l}}\frac{\partial}{%&#10;\partial\cos\vartheta}\left[{{\left(\sin\vartheta\right)}^{l}}{{f}_{ll}}(r,%&#10;\vartheta\right]}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1b">
      <msub id="p1.1.m1.1.58" xref="p1.1.m1.1.58.cmml">
        <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">Ψ</mi>
        <mrow id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.6.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.cmml">l</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.1.6.cmml">,</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.2.1.7.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.2.1.3.cmml">l</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.2.1.4.cmml">-</mo>
            <mn id="p1.1.m1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.2.1.5.cmml">1</mn>
          </mrow>
        </mrow>
      </msub>
      <mrow id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">
        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">(</mo>
        <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.4.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.cmml">r</mi>
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.4.1.cmml">¯</mo>
        </mover>
        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">)</mo>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">∝</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">
        <mo id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">⟨</mo>
        <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.8.2" xref="p1.1.m1.1.8.2.cmml">r</mi>
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.cmml">¯</mo>
        </mover>
        <mo id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">|</mo>
        <msub id="p1.1.m1.1.59" xref="p1.1.m1.1.59.cmml">
          <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.10.2" xref="p1.1.m1.1.10.2.cmml">L</mi>
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.10.1.cmml">^</mo>
          </mover>
          <mo id="p1.1.m1.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml">-</mo>
        </msub>
        <mo id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">|</mo>
        <mi id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">l</mi>
        <mi id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">l</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">⟩</mo>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">=</mo>
      <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.17.cmml">ℏ</mi>
      <msup id="p1.1.m1.1.60" xref="p1.1.m1.1.60.cmml">
        <mi id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.18.cmml">e</mi>
        <mrow id="p1.1.m1.1.19.1" xref="p1.1.m1.1.19.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.19.1.1" xref="p1.1.m1.1.19.1.1.cmml">i</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.19.1.8" xref="p1.1.m1.1.19.1.8.cmml">⁢</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.19.1.9" xref="p1.1.m1.1.19.1.9.2.cmml">
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.19.1.2" xref="p1.1.m1.1.19.1.9.2.cmml">(</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.19.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.19.1.9.2.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.19.1.3" xref="p1.1.m1.1.19.1.3.cmml">l</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.19.1.4" xref="p1.1.m1.1.19.1.4.cmml">-</mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.19.1.5" xref="p1.1.m1.1.19.1.5.cmml">1</mn>
            </mrow>
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.19.1.6" xref="p1.1.m1.1.19.1.9.2.cmml">)</mo>
          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.19.1.8a" xref="p1.1.m1.1.19.1.8.cmml">⁢</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.19.1.7" xref="p1.1.m1.1.19.1.7.cmml">ϕ</mi>
        </mrow>
      </msup>
      <mrow id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.19.cmml">
        <mo id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.20.cmml">(</mo>
        <mo id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.21.cmml">-</mo>
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.22" xref="p1.1.m1.1.22.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.22a" xref="p1.1.m1.1.22.cmml">
            <mo id="p1.1.m1.1.22.2" xref="p1.1.m1.1.22.2.cmml">∂</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.22.3" xref="p1.1.m1.1.22.3.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.22.3.1" xref="p1.1.m1.1.22.3.1.cmml">∂</mo>
              <mo id="p1.1.m1.1.22.3a" xref="p1.1.m1.1.22.3.cmml">⁡</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.22.3.2" xref="p1.1.m1.1.22.3.2.cmml">ϑ</mi>
            </mrow>
          </mfrac>
        </mstyle>
        <mo id="p1.1.m1.1.23" xref="p1.1.m1.1.23.cmml">-</mo>
        <mi id="p1.1.m1.1.24" xref="p1.1.m1.1.24.cmml">l</mi>
        <mi id="p1.1.m1.1.25" xref="p1.1.m1.1.25.cmml">cot</mi>
        <mi id="p1.1.m1.1.26" xref="p1.1.m1.1.26.cmml">ϑ</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.27" xref="p1.1.m1.1.27.cmml">)</mo>
      </mrow>
      <msub id="p1.1.m1.1.61" xref="p1.1.m1.1.61.cmml">
        <mi id="p1.1.m1.1.28" xref="p1.1.m1.1.28.cmml">f</mi>
        <mrow id="p1.1.m1.1.29.1" xref="p1.1.m1.1.29.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.29.1.1" xref="p1.1.m1.1.29.1.1.cmml">l</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.29.1.3" xref="p1.1.m1.1.29.1.3.cmml">⁢</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.29.1.2" xref="p1.1.m1.1.29.1.2.cmml">l</mi>
        </mrow>
      </msub>
      <mrow id="p1.1.m1.1.29" xref="p1.1.m1.1.29.cmml">
        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.30" xref="p1.1.m1.1.30.cmml">(</mo>
        <mi id="p1.1.m1.1.31" xref="p1.1.m1.1.31.cmml">r</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.32" xref="p1.1.m1.1.32.cmml">,</mo>
        <mi id="p1.1.m1.1.33" xref="p1.1.m1.1.33.cmml">ϑ</mi>
        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.34" xref="p1.1.m1.1.34.cmml">)</mo>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.35" xref="p1.1.m1.1.35.cmml">=</mo>
      <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.36" xref="p1.1.m1.1.36.cmml">ℏ</mi>
      <msup id="p1.1.m1.1.62" xref="p1.1.m1.1.62.cmml">
        <mi id="p1.1.m1.1.37" xref="p1.1.m1.1.37.cmml">e</mi>
        <mrow id="p1.1.m1.1.38.1" xref="p1.1.m1.1.38.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.38.1.1" xref="p1.1.m1.1.38.1.1.cmml">i</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.38.1.8" xref="p1.1.m1.1.38.1.8.cmml">⁢</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.38.1.9" xref="p1.1.m1.1.38.1.9.2.cmml">
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.38.1.2" xref="p1.1.m1.1.38.1.9.2.cmml">(</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.38.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.38.1.9.2.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.38.1.3" xref="p1.1.m1.1.38.1.3.cmml">l</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.38.1.4" xref="p1.1.m1.1.38.1.4.cmml">-</mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.38.1.5" xref="p1.1.m1.1.38.1.5.cmml">1</mn>
            </mrow>
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.38.1.6" xref="p1.1.m1.1.38.1.9.2.cmml">)</mo>
          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.38.1.8a" xref="p1.1.m1.1.38.1.8.cmml">⁢</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.38.1.7" xref="p1.1.m1.1.38.1.7.cmml">ϕ</mi>
        </mrow>
      </msup>
      <msup id="p1.1.m1.1.63" xref="p1.1.m1.1.63.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.63.2" xref="p1.1.m1.1.63.2.cmml">
          <mo id="p1.1.m1.1.39" xref="p1.1.m1.1.39.cmml">(</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.40" xref="p1.1.m1.1.40.cmml">sin</mi>
          <mi id="p1.1.m1.1.41" xref="p1.1.m1.1.41.cmml">ϑ</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.42" xref="p1.1.m1.1.42.cmml">)</mo>
        </mrow>
        <mrow id="p1.1.m1.1.43.1" xref="p1.1.m1.1.43.1.cmml">
          <mn id="p1.1.m1.1.43.1.1" xref="p1.1.m1.1.43.1.1.cmml">1</mn>
          <mo id="p1.1.m1.1.43.1.2" xref="p1.1.m1.1.43.1.2.cmml">-</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.43.1.3" xref="p1.1.m1.1.43.1.3.cmml">l</mi>
        </mrow>
      </msup>
      <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.44" xref="p1.1.m1.1.44.cmml">
        <mfrac id="p1.1.m1.1.44a" xref="p1.1.m1.1.44.cmml">
          <mo id="p1.1.m1.1.44.2" xref="p1.1.m1.1.44.2.cmml">∂</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.44.3" xref="p1.1.m1.1.44.3.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.44.3.4" xref="p1.1.m1.1.44.3.4.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.44.3.1" xref="p1.1.m1.1.44.3.1.cmml">∂</mo>
              <mo id="p1.1.m1.1.44.3.4a" xref="p1.1.m1.1.44.3.4.cmml">⁡</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.44.3.2" xref="p1.1.m1.1.44.3.2.cmml">cos</mi>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.44.3a" xref="p1.1.m1.1.44.3.cmml">⁡</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.44.3.3" xref="p1.1.m1.1.44.3.3.cmml">ϑ</mi>
          </mrow>
        </mfrac>
      </mstyle>
      <mrow id="p1.1.m1.1.43" xref="p1.1.m1.1.43.cmml">
        <mo id="p1.1.m1.1.45" xref="p1.1.m1.1.45.cmml">[</mo>
        <msup id="p1.1.m1.1.64" xref="p1.1.m1.1.64.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.64.2" xref="p1.1.m1.1.64.2.cmml">
            <mo id="p1.1.m1.1.46" xref="p1.1.m1.1.46.cmml">(</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.47" xref="p1.1.m1.1.47.cmml">sin</mi>
            <mi id="p1.1.m1.1.48" xref="p1.1.m1.1.48.cmml">ϑ</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.49" xref="p1.1.m1.1.49.cmml">)</mo>
          </mrow>
          <mi id="p1.1.m1.1.50.1" xref="p1.1.m1.1.50.1.cmml">l</mi>
        </msup>
        <msub id="p1.1.m1.1.65" xref="p1.1.m1.1.65.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.51" xref="p1.1.m1.1.51.cmml">f</mi>
          <mrow id="p1.1.m1.1.52.1" xref="p1.1.m1.1.52.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.52.1.1" xref="p1.1.m1.1.52.1.1.cmml">l</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.52.1.3" xref="p1.1.m1.1.52.1.3.cmml">⁢</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.52.1.2" xref="p1.1.m1.1.52.1.2.cmml">l</mi>
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          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.53" xref="p1.1.m1.1.53.cmml">(</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.54" xref="p1.1.m1.1.54.cmml">r</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.55" xref="p1.1.m1.1.55.cmml">,</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.56" xref="p1.1.m1.1.56.cmml">ϑ</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.57" xref="p1.1.m1.1.57.cmml">]</mo>
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          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.58.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.58">subscript</csymbol>
          <ci id="p1.1.m1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">Ψ</ci>
          <list id="p1.1.m1.1.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1">
            <ci id="p1.1.m1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1.1">𝑙</ci>
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              <minus id="p1.1.m1.1.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1.4"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1.3">𝑙</ci>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1.5">1</cn>
            </apply>
          </list>
        </apply>
        <cerror id="p1.1.m1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.2">
          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.2a.cmml" xref="p1.1.m1.1.2">fragments</csymbol>
          <ci id="p1.1.m1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3">(</ci>
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            <ci id="p1.1.m1.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.1">¯</ci>
            <ci id="p1.1.m1.1.4.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2">𝑟</ci>
          </apply>
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        </cerror>
        <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.6">proportional-to</csymbol>
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          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.11a.cmml" xref="p1.1.m1.1.11">fragments</csymbol>
          <ci id="p1.1.m1.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.7">⟨</ci>
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            <ci id="p1.1.m1.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1">¯</ci>
            <ci id="p1.1.m1.1.8.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.2">𝑟</ci>
          </apply>
          <ci id="p1.1.m1.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.9">|</ci>
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            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.59.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.59">subscript</csymbol>
            <apply id="p1.1.m1.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.10">
              <ci id="p1.1.m1.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.1">^</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.10.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.10.2">𝐿</ci>
            </apply>
            <minus id="p1.1.m1.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1"/>
          </apply>
          <ci id="p1.1.m1.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.12">|</ci>
          <csymbol cd="unknown" id="p1.1.m1.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.13">l</csymbol>
          <csymbol cd="unknown" id="p1.1.m1.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.14">l</csymbol>
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        </cerror>
        <eq id="p1.1.m1.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.16"/>
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          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.60.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.60">superscript</csymbol>
          <ci id="p1.1.m1.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.18">𝑒</ci>
          <apply id="p1.1.m1.1.19.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.19.1">
            <times id="p1.1.m1.1.19.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.19.1.8"/>
            <ci id="p1.1.m1.1.19.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.19.1.1">𝑖</ci>
            <apply id="p1.1.m1.1.19.1.9.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.19.1.9">
              <minus id="p1.1.m1.1.19.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.19.1.4"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.19.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.19.1.3">𝑙</ci>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.19.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.19.1.5">1</cn>
            </apply>
            <ci id="p1.1.m1.1.19.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.19.1.7">italic-ϕ</ci>
          </apply>
        </apply>
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              <partialdiff id="p1.1.m1.1.22.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.22.3.1"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.22.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.22.3.2">italic-ϑ</ci>
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          </apply>
          <minus id="p1.1.m1.1.23.cmml" xref="p1.1.m1.1.23"/>
          <csymbol cd="unknown" id="p1.1.m1.1.24.cmml" xref="p1.1.m1.1.24">l</csymbol>
          <cot id="p1.1.m1.1.25.cmml" xref="p1.1.m1.1.25"/>
          <csymbol cd="unknown" id="p1.1.m1.1.26.cmml" xref="p1.1.m1.1.26">ϑ</csymbol>
          <ci id="p1.1.m1.1.27.cmml" xref="p1.1.m1.1.27">)</ci>
        </cerror>
        <apply id="p1.1.m1.1.61.cmml" xref="p1.1.m1.1.61">
          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.61.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.61">subscript</csymbol>
          <ci id="p1.1.m1.1.28.cmml" xref="p1.1.m1.1.28">𝑓</ci>
          <apply id="p1.1.m1.1.29.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.29.1">
            <times id="p1.1.m1.1.29.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.29.1.3"/>
            <ci id="p1.1.m1.1.29.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.29.1.1">𝑙</ci>
            <ci id="p1.1.m1.1.29.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.29.1.2">𝑙</ci>
          </apply>
        </apply>
        <cerror id="p1.1.m1.1.29.cmml" xref="p1.1.m1.1.29">
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        </cerror>
        <eq id="p1.1.m1.1.35.cmml" xref="p1.1.m1.1.35"/>
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          <apply id="p1.1.m1.1.38.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.38.1">
            <times id="p1.1.m1.1.38.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.38.1.8"/>
            <ci id="p1.1.m1.1.38.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.38.1.1">𝑖</ci>
            <apply id="p1.1.m1.1.38.1.9.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.38.1.9">
              <minus id="p1.1.m1.1.38.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.38.1.4"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.38.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.38.1.3">𝑙</ci>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.38.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.38.1.5">1</cn>
            </apply>
            <ci id="p1.1.m1.1.38.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.38.1.7">italic-ϕ</ci>
          </apply>
        </apply>
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          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.43.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.43.1">
            <minus id="p1.1.m1.1.43.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.43.1.2"/>
            <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.43.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.43.1.1">1</cn>
            <ci id="p1.1.m1.1.43.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.43.1.3">𝑙</ci>
          </apply>
        </apply>
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          <divide id="p1.1.m1.1.44.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.44"/>
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          <apply id="p1.1.m1.1.44.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.3">
            <apply id="p1.1.m1.1.44.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.3.4">
              <partialdiff id="p1.1.m1.1.44.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.3.1"/>
              <cos id="p1.1.m1.1.44.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.3.2"/>
            </apply>
            <ci id="p1.1.m1.1.44.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.44.3.3">italic-ϑ</ci>
          </apply>
        </apply>
        <cerror id="p1.1.m1.1.43.cmml" xref="p1.1.m1.1.43">
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          <ci id="p1.1.m1.1.45.cmml" xref="p1.1.m1.1.45">[</ci>
          <apply id="p1.1.m1.1.64.cmml" xref="p1.1.m1.1.64">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.64.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.64">superscript</csymbol>
            <cerror id="p1.1.m1.1.64.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.64.2">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.64.2a.cmml" xref="p1.1.m1.1.64.2">fragments</csymbol>
              <ci id="p1.1.m1.1.46.cmml" xref="p1.1.m1.1.46">(</ci>
              <sin id="p1.1.m1.1.47.cmml" xref="p1.1.m1.1.47"/>
              <csymbol cd="unknown" id="p1.1.m1.1.48.cmml" xref="p1.1.m1.1.48">ϑ</csymbol>
              <ci id="p1.1.m1.1.49.cmml" xref="p1.1.m1.1.49">)</ci>
            </cerror>
            <ci id="p1.1.m1.1.50.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.50.1">𝑙</ci>
          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.65.cmml" xref="p1.1.m1.1.65">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.65.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.65">subscript</csymbol>
            <ci id="p1.1.m1.1.51.cmml" xref="p1.1.m1.1.51">𝑓</ci>
            <apply id="p1.1.m1.1.52.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.52.1">
              <times id="p1.1.m1.1.52.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.52.1.3"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.52.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.52.1.1">𝑙</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.52.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.52.1.2">𝑙</ci>
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          </apply>
          <cerror id="p1.1.m1.1.38.cmml" xref="p1.1.m1.1.38">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.38a.cmml" xref="p1.1.m1.1.38">fragments</csymbol>
            <ci id="p1.1.m1.1.53.cmml" xref="p1.1.m1.1.53">(</ci>
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            <ci id="p1.1.m1.1.55.cmml" xref="p1.1.m1.1.55">,</ci>
            <csymbol cd="unknown" id="p1.1.m1.1.56.cmml" xref="p1.1.m1.1.56">ϑ</csymbol>
            <ci id="p1.1.m1.1.57.cmml" xref="p1.1.m1.1.57">]</ci>
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        </cerror>
      </cerror>
    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1f">{\displaystyle{\displaystyle{{\Psi}_{l,l-1}}(\bar{r})\propto\left\langle{\bar{%
r}}\right|{{\hat{L}}_{-}}\left|ll\right\rangle=\hbar{{e}^{i(l-1)\phi}}\left(-%
\frac{\partial}{\partial\vartheta}-l\cot\vartheta\right){{f}_{ll}}(r,\vartheta%
)=\hbar{{e}^{i(l-1)\phi}}{{\left(\sin\vartheta\right)}^{1-l}}\frac{\partial}{%
\partial\cos\vartheta}\left[{{\left(\sin\vartheta\right)}^{l}}{{f}_{ll}}(r,%
\vartheta\right]}}</annotation>
  </semantics>
</math>

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Ψl,l−1(r¯)∝⟨r¯|L^−|ll⟩=ℏei(l−1)ϕ(−∂∂ϑ−lcot⁡ϑ)fll(r,ϑ)=ℏei(l−1)ϕ(sin⁡ϑ)1−l∂∂cos⁡ϑ[(sin⁡ϑ)lfll(r,ϑ]
<math class="mwe-math-element" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><msub><mi mathvariant="normal">&#x03A8;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>l</mi><mo>,</mo><mi>l</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn></mrow></mrow></msub></mstyle><mo stretchy="false">(</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>r</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow><mo stretchy="false">)</mo><mo>&#x221D;</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">&#x27E8;</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>r</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow><mo data-mjx-texclass="CLOSE">|</mo></mrow><msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>L</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>&#x2212;</mo></mrow></msub><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">|</mo><mi>l</mi><mi>l</mi><mo data-mjx-texclass="CLOSE">&#x27E9;</mo></mrow><mo>=</mo><mi data-mjx-alternate="1">&#x210F;</mi><msup><mi>e</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>l</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo><mi>&#x03D5;</mi></mrow></mrow></msup><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mo>&#x2212;</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x2202;</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x2202;</mi><mi>&#x03D1;</mi></mrow></mrow></mfrac></mrow><mo>&#x2212;</mo><mi>l</mi><mi>cot</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>&#x03D1;</mi><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><msub><mi>f</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>l</mi><mi>l</mi></mrow></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>r</mi><mo>,</mo><mi>&#x03D1;</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi data-mjx-alternate="1">&#x210F;</mi><msup><mi>e</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>l</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo><mi>&#x03D5;</mi></mrow></mrow></msup><msup><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mi>sin</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>&#x03D1;</mi><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mi>l</mi></mrow></mrow></msup><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x2202;</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x2202;</mi><mi>cos</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>&#x03D1;</mi></mrow></mrow></mfrac></mrow><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">[</mo><msup><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mi>sin</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>&#x03D1;</mi><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>l</mi></mrow></msup><msub><mi>f</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>l</mi><mi>l</mi></mrow></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>r</mi><mo>,</mo><mi>&#x03D1;</mi><mo data-mjx-texclass="CLOSE">]</mo></mrow></mrow></math>

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Calculated based on the variables occurring on the entire Ortsdarstellung des Bahndrehimpulses page

Identifiers

  • Ψl,l−1
  • r¯
  • r¯
  • L^−
  • l
  • l
  • e
  • i
  • l
  • ϕ
  • ϑ
  • l
  • ϑ
  • fll
  • r
  • ϑ
  • e
  • i
  • l
  • ϕ
  • ϑ
  • l
  • ϑ
  • ϑ
  • l
  • fll
  • r
  • ϑ

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