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Display information for equation id:math.1665.66 on revision:1665

* Page found: Drehimpuls- Eigenzustände (eq math.1665.66)

(force rerendering)

Occurrences on the following pages:

Hash: f8f1e184415df00ded95bcd1e1e38828

TeX (original user input): 

\begin{align}

& {{b}_{\min }}^{2}+2n\hbar {{b}_{\min }}+{{n}^{2}}{{\hbar }^{2}}+\hbar \left( {{b}_{\min }}+n\hbar  \right)={{b}_{\min }}^{2}-\hbar {{b}_{\min }} \\

& 2n\hbar {{b}_{\min }}+{{n}^{2}}{{\hbar }^{2}}+\hbar \left( 2{{b}_{\min }}+n\hbar  \right)=0 \\

& \Rightarrow {{b}_{\min }}=-\frac{n(n+1){{\hbar }^{2}}}{2(n+1)\hbar }=-\frac{n}{2}\hbar =:-l\hbar  \\

\end{align}

TeX (checked): 

{\begin{aligned}&{{b}_{\min }}^{2}+2n\hbar {{b}_{\min }}+{{n}^{2}}{{\hbar }^{2}}+\hbar \left({{b}_{\min }}+n\hbar \right)={{b}_{\min }}^{2}-\hbar {{b}_{\min }}\\&2n\hbar {{b}_{\min }}+{{n}^{2}}{{\hbar }^{2}}+\hbar \left(2{{b}_{\min }}+n\hbar \right)=0\\&\Rightarrow {{b}_{\min }}=-{\frac {n(n+1){{\hbar }^{2}}}{2(n+1)\hbar }}=-{\frac {n}{2}}\hbar =:-l\hbar \\\end{aligned}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (31.715 KB / 3.438 KB) :

b min 2 + 2 ⁢ n ⁢ ℏ ⁢ b min + n 2 ⁢ ℏ 2 + ℏ ⁢ ( b min + n ⁢ ℏ ) = b min 2 - ℏ ⁢ b min 2 ⁢ n ⁢ ℏ ⁢ b min + n 2 ⁢ ℏ 2 + ℏ ⁢ ( 2 ⁢ b min + n ⁢ ℏ ) = 0 ⇒ b min = - n ⁢ ( n + 1 ) ⁢ ℏ 2 2 ⁢ ( n + 1 ) ⁢ ℏ = - n 2 ℏ = : - l ℏ absent superscript subscript 𝑏 2 2 𝑛 Planck-constant-over-2-pi subscript 𝑏 superscript 𝑛 2 superscript Planck-constant-over-2-pi 2 Planck-constant-over-2-pi subscript 𝑏 𝑛 Planck-constant-over-2-pi superscript subscript 𝑏 2 Planck-constant-over-2-pi subscript 𝑏 absent 2 𝑛 Planck-constant-over-2-pi subscript 𝑏 superscript 𝑛 2 superscript Planck-constant-over-2-pi 2 Planck-constant-over-2-pi 2 subscript 𝑏 𝑛 Planck-constant-over-2-pi 0 absent fragments ⇒ subscript 𝑏 𝑛 𝑛 1 superscript Planck-constant-over-2-pi 2 2 𝑛 1 Planck-constant-over-2-pi 𝑛 2 Planck-constant-over-2-pi : l Planck-constant-over-2-pi {\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&\displaystyle{{b}_{\min}}^{2}% +2n\hbar{{b}_{\min}}+{{n}^{2}}{{\hbar}^{2}}+\hbar\left({{b}_{\min}}+n\hbar% \right)={{b}_{\min}}^{2}-\hbar{{b}_{\min}}\\ \par&\displaystyle 2n\hbar{{b}_{\min}}+{{n}^{2}}{{\hbar}^{2}}+\hbar\left(2{{b}% _{\min}}+n\hbar\right)=0\\ \par&\displaystyle\Rightarrow{{b}_{\min}}=-\frac{n(n+1){{\hbar}^{2}}}{2(n+1)% \hbar}=-\frac{n}{2}\hbar=:-l\hbar\\ \par\end{aligned}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&amp;\displaystyle{{b}_{\min}}^{2}%&#10;+2n\hbar{{b}_{\min}}+{{n}^{2}}{{\hbar}^{2}}+\hbar\left({{b}_{\min}}+n\hbar%&#10;\right)={{b}_{\min}}^{2}-\hbar{{b}_{\min}}\\&#10;\par&amp;\displaystyle 2n\hbar{{b}_{\min}}+{{n}^{2}}{{\hbar}^{2}}+\hbar\left(2{{b}%&#10;_{\min}}+n\hbar\right)=0\\&#10;\par&amp;\displaystyle\Rightarrow{{b}_{\min}}=-\frac{n(n+1){{\hbar}^{2}}}{2(n+1)%&#10;\hbar}=-\frac{n}{2}\hbar=:-l\hbar\\&#10;\par\end{aligned}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
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        <mtd id="p1.1.m1.1.1b" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"/>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1c" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.cmml">
              <mmultiscripts id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">b</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.cmml">min</mi>
                <none id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.1.cmml"/>
                <none id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.1b" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.1.cmml"/>
                <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.cmml">2</mn>
              </mmultiscripts>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">+</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.cmml">
                <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml">2</mn>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">n</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.cmml">ℏ</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.1b" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.1.cmml">⁢</mo>
                <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml">b</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.1.cmml">min</mi>
                </msub>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">+</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.3.cmml">
                <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.3.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.cmml">n</mi>
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.1.cmml">2</mn>
                </msup>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.3.1.cmml">⁢</mo>
                <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.3.3.cmml">
                  <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml">ℏ</mi>
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.cmml">2</mn>
                </msup>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4b" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">+</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.4.cmml">
                <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml">ℏ</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.4.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.4.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.4.2.2.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.4.2.2.cmml">(</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.4.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.4.2.2.cmml">
                    <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.4.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.4.2.2.1.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml">b</mi>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1.cmml">min</mi>
                    </msub>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.cmml">+</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.4.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.4.2.2.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.cmml">n</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.4.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.4.2.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                      <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.cmml">ℏ</mi>
                    </mrow>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.4.2.2.cmml">)</mo>
                </mrow>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.cmml">
              <mmultiscripts id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.cmml">b</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.1.cmml">min</mi>
                <none id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1.cmml"/>
                <none id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1b" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1.cmml"/>
                <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.1.cmml">2</mn>
              </mmultiscripts>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.cmml">-</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.cmml">
                <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.cmml">ℏ</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.1.cmml">⁢</mo>
                <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.cmml">b</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.cmml">min</mi>
                </msub>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1d" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1e" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml"/>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1f" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1.cmml">
                <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">2</mn>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1.1.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">n</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1.1.cmml">⁢</mo>
                <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml">ℏ</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1.1b" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1.1.cmml">⁢</mo>
                <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml">b</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.cmml">min</mi>
                </msub>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">+</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.2.cmml">
                <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.2.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml">n</mi>
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.1.cmml">2</mn>
                </msup>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.2.1.cmml">⁢</mo>
                <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.2.3.cmml">
                  <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml">ℏ</mi>
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1.cmml">2</mn>
                </msup>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">+</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.3.cmml">
                <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">ℏ</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.3.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.3.2.2.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.3.2.2.cmml">(</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.3.2.2.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.3.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.3.2.2.1.cmml">
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.cmml">2</mn>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.3.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.3.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                      <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.3.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.3.2.2.1.2.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.cmml">b</mi>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.1.cmml">min</mi>
                      </msub>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.cmml">+</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.3.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.3.2.2.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.cmml">n</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.3.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.3.2.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                      <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.cmml">ℏ</mi>
                    </mrow>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.3.2.2.cmml">)</mo>
                </mrow>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.cmml">=</mo>
            <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.cmml">0</mn>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1g" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1h" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.1.1.cmml"/>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1i" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml">
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml">⇒</mo>
            <msub id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.cmml">b</mi>
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            </msub>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.cmml">=</mo>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.cmml">-</mo>
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.2.1.cmml">n</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.2.9" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.2.9.cmml">⁢</mo>
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                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.2.10.2.cmml">(</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.2.10.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.2.10.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.2.3.cmml">n</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.2.4.cmml">+</mo>
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.2.5.cmml">1</mn>
                    </mrow>
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.2.6" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.2.10.2.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.2.9a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.2.9.cmml">⁢</mo>
                  <msup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.2.11" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.2.11.cmml">
                    <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.2.7" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.2.7.cmml">ℏ</mi>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.2.8.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.2.8.1.cmml">2</mn>
                  </msup>
                </mrow>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.3.cmml">
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.3.1.cmml">2</mn>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.3.8" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.3.8.cmml">⁢</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.3.9" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.3.9.2.cmml">
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.3.9.2.cmml">(</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.3.9.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.3.9.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.3.3.cmml">n</mi>
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                      <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.3.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.3.5.cmml">1</mn>
                    </mrow>
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.3.6" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.3.9.2.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.3.8a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.3.8.cmml">⁢</mo>
                  <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.3.7" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.3.7.cmml">ℏ</mi>
                </mrow>
              </mfrac>
            </mstyle>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.cmml">=</mo>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.cmml">-</mo>
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.2.cmml">n</mi>
                <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.3.cmml">2</mn>
              </mfrac>
            </mstyle>
            <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.cmml">ℏ</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.cmml">=</mo>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.cmml">:</mo>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.cmml">-</mo>
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          </mrow>
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      </mtr>
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                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.3.2">superscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11">𝑛</ci>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.1">2</cn>
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                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.3.3">superscript</csymbol>
                  <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13">Planck-constant-over-2-pi</csymbol>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1">2</cn>
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                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.4.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.4.2.2.1">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18">𝑏</ci>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21">𝑛</ci>
                    <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22">Planck-constant-over-2-pi</csymbol>
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                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1">superscript</csymbol>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1">
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                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25">𝑏</ci>
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                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.1">2</cn>
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              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2">
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                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.2">subscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30">𝑏</ci>
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                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2">𝑛</ci>
                <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3">Planck-constant-over-2-pi</csymbol>
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                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1.2">subscript</csymbol>
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                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.2.2">superscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7">𝑛</ci>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.1">2</cn>
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                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.2.3">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.2.3">superscript</csymbol>
                  <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9">Planck-constant-over-2-pi</csymbol>
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                <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.3.1"/>
                <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12">Planck-constant-over-2-pi</csymbol>
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                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14">2</cn>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.3.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.3.2.2.1.2">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.3.2.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.3.2.2.1.2">subscript</csymbol>
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                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.3.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.3.2.2.2">
                    <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.3.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.3.2.2.2.1"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18">𝑛</ci>
                    <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19">Planck-constant-over-2-pi</csymbol>
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            <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22">0</cn>
          </apply>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.1.1">absent</csymbol>
          <cerror id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1">fragments</csymbol>
            <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1">⇒</ci>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16">subscript</csymbol>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2">𝑏</ci>
              <min id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.1"/>
            </apply>
            <eq id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4"/>
            <minus id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6">
              <divide id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.2">
                <times id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.2.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.2.9"/>
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                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.3.1">2</cn>
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                  <plus id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.3.4"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.3.3">𝑛</ci>
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                <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.3.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.3.7">Planck-constant-over-2-pi</csymbol>
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              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.3">2</cn>
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            <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10">Planck-constant-over-2-pi</csymbol>
            <eq id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11"/>
            <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12">:</ci>
            <minus id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13"/>
            <csymbol cd="unknown" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14">l</csymbol>
            <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15">Planck-constant-over-2-pi</csymbol>
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        </matrixrow>
      </matrix>
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    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&amp;\displaystyle{{b}_{\min}}^{2}%
+2n\hbar{{b}_{\min}}+{{n}^{2}}{{\hbar}^{2}}+\hbar\left({{b}_{\min}}+n\hbar%
\right)={{b}_{\min}}^{2}-\hbar{{b}_{\min}}\\
\par&amp;\displaystyle 2n\hbar{{b}_{\min}}+{{n}^{2}}{{\hbar}^{2}}+\hbar\left(2{{b}%
_{\min}}+n\hbar\right)=0\\
\par&amp;\displaystyle\Rightarrow{{b}_{\min}}=-\frac{n(n+1){{\hbar}^{2}}}{2(n+1)%
\hbar}=-\frac{n}{2}\hbar=:-l\hbar\\
\par\end{aligned}}}</annotation>
  </semantics>
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bmin2+2nℏbmin+n2ℏ2+ℏ(bmin+nℏ)=bmin2−ℏbmin2nℏbmin+n2ℏ2+ℏ(2bmin+nℏ)=0⇒bmin=−n(n+1)ℏ22(n+1)ℏ=−n2ℏ=:−lℏ
<math class="mwe-math-element" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mtable columnalign="left" columnspacing="0em" displaystyle="true" rowspacing="3pt"><mtr><mtd></mtd><mtd><msup><msub><mi>b</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>min</mi></mrow></msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>n</mi><mi data-mjx-alternate="1">&#x210F;</mi><msub><mi>b</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>min</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msup><mi>n</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mi data-mjx-alternate="1">&#x210F;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mi data-mjx-alternate="1">&#x210F;</mi><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><msub><mi>b</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>min</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi>n</mi><mi data-mjx-alternate="1">&#x210F;</mi><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mo>=</mo><msup><msub><mi>b</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>min</mi></mrow></msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>2</mn></mrow></msup><mo>&#x2212;</mo><mi data-mjx-alternate="1">&#x210F;</mi><msub><mi>b</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>min</mi></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mn>2</mn><mi>n</mi><mi data-mjx-alternate="1">&#x210F;</mi><msub><mi>b</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>min</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msup><mi>n</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mi data-mjx-alternate="1">&#x210F;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mi data-mjx-alternate="1">&#x210F;</mi><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mn>2</mn><msub><mi>b</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>min</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi>n</mi><mi data-mjx-alternate="1">&#x210F;</mi><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mo>=</mo><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mo>&#x21D2;</mo><msub><mi>b</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>min</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mo>&#x2212;</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>n</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo><msup><mi data-mjx-alternate="1">&#x210F;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>2</mn><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo><mi data-mjx-alternate="1">&#x210F;</mi></mrow></mrow></mfrac></mrow><mo>=</mo><mo>&#x2212;</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>n</mi></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow><mi data-mjx-alternate="1">&#x210F;</mi><mo>=</mo><mi>:</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>l</mi><mi data-mjx-alternate="1">&#x210F;</mi></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow></math>

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Identifiers

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  • n
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  • n
  • b
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