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Display information for equation id:math.1656.50 on revision:1656

* Page found: Der harmonische Oszillator (eq math.1656.50)

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Hash: af9d76b3364f9d61027f16c7f6483621

TeX (original user input): 

\begin{align}

& 1=!=\left\langle  n | n \right\rangle ={{\left| {{\alpha }_{n}} \right|}^{2}}\left\langle  0 \right|{{a}^{n}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle  \\
& \left\langle  0 \right|{{a}^{n}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle =\left\langle  0 \right|{{a}^{n-1}}\left( {{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a+\left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}} \right] \right)\left| 0 \right\rangle  \\
\end{align}

TeX (checked): 

{\begin{aligned}&1=!=\left\langle n|n\right\rangle ={{\left|{{\alpha }_{n}}\right|}^{2}}\left\langle 0\right|{{a}^{n}}{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}\left|0\right\rangle \\&\left\langle 0\right|{{a}^{n}}{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}\left|0\right\rangle =\left\langle 0\right|{{a}^{n-1}}\left({{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}a+\left[a,{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}\right]\right)\left|0\right\rangle \\\end{aligned}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (22.629 KB / 2.703 KB) :

1 = ! = ⟨ n | n ⟩ = | α n | 2 ⟨ 0 | a n ( a + ) n | 0 ⟩ ⟨ 0 | a n ⁢ ( a + ) n | 0 ⟩ = ⟨ 0 | a n - 1 ⁢ ( ( a + ) n ⁢ a + [ a , ( a + ) n ] ) | 0 ⟩ absent fragments 1 fragments ⟨ n | n ⟩ | subscript 𝛼 𝑛 superscript | 2 fragments ⟨ 0 | superscript 𝑎 𝑛 superscript fragments ( superscript 𝑎 ) 𝑛 | 0 ⟩ missing-subexpression quantum-operator-product 0 superscript 𝑎 𝑛 superscript superscript 𝑎 𝑛 0 quantum-operator-product 0 superscript 𝑎 𝑛 1 superscript superscript 𝑎 𝑛 𝑎 𝑎 superscript superscript 𝑎 𝑛 0 {\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&\displaystyle 1=!=\left% \langle n|n\right\rangle={{\left|{{\alpha}_{n}}\right|}^{2}}\left\langle 0% \right|{{a}^{n}}{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}\left|0\right\rangle\\ &\displaystyle\left\langle 0\right|{{a}^{n}}{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}% \left|0\right\rangle=\left\langle 0\right|{{a}^{n-1}}\left({{\left({{a}^{+}}% \right)}^{n}}a+\left[a,{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}\right]\right)\left|0% \right\rangle\\ \end{aligned}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&amp;\displaystyle 1=!=\left%&#10;\langle n|n\right\rangle={{\left|{{\alpha}_{n}}\right|}^{2}}\left\langle 0%&#10;\right|{{a}^{n}}{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}\left|0\right\rangle\\&#10;&amp;\displaystyle\left\langle 0\right|{{a}^{n}}{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}%&#10;\left|0\right\rangle=\left\langle 0\right|{{a}^{n-1}}\left({{\left({{a}^{+}}%&#10;\right)}^{n}}a+\left[a,{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}\right]\right)\left|0%&#10;\right\rangle\\&#10;\end{aligned}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mtable columnspacing="0pt" rowspacing="0pt" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
      <mtr id="p1.1.m1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1b" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"/>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1c" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">
            <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">1</mn>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">=</mo>
            <mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml">!</mo>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml">⟨</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">n</mi>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.cmml">|</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml">n</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">⟩</mo>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml">=</mo>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.cmml">|</mo>
            <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml">α</mi>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.cmml">n</mi>
            </msub>
            <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.cmml">|</mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.1.cmml">2</mn>
            </msup>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml">⟨</mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.cmml">0</mn>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml">|</mo>
              <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.cmml">a</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1.cmml">n</mi>
              </msup>
              <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.3.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.cmml">(</mo>
                  <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.cmml">a</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.1.cmml">+</mo>
                  </msup>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.cmml">)</mo>
                </mrow>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.1.cmml">n</mi>
              </msup>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.cmml">|</mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.cmml">0</mn>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.cmml">⟩</mo>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1d" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1e" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1f" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1.1.cmml">⟨</mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">0</mn>
              <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1.1.cmml">|</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.2.cmml">
                <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.2.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml">a</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.cmml">n</mi>
                </msup>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.2.1.cmml">⁢</mo>
                <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.2.3.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.2.3.2.2.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.2.3.2.2.cmml">(</mo>
                    <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.2.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.2.3.2.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml">a</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.1.cmml">+</mo>
                    </msup>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.2.3.2.2.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1.cmml">n</mi>
                </msup>
              </mrow>
              <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1.1.cmml">|</mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">0</mn>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1.1.cmml">⟩</mo>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.1.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.1.1.cmml">⟨</mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.cmml">0</mn>
              <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.1.1.cmml">|</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.2.cmml">
                <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.2.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.cmml">a</mi>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.1.1.cmml">n</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.1.2.cmml">-</mo>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.1.3.cmml">1</mn>
                  </mrow>
                </msup>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.2.3.2.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.2.3.2.cmml">(</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.2.3.2.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.2.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.2.3.2.1.cmml">
                      <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.2.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.2.3.2.1.2.cmml">
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.2.3.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.2.3.2.1.2.2.2.cmml">
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.2.3.2.1.2.2.2.cmml">(</mo>
                          <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.2.3.2.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.2.3.2.1.2.2.2.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.cmml">a</mi>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1.cmml">+</mo>
                          </msup>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.2.3.2.1.2.2.2.cmml">)</mo>
                        </mrow>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.1.cmml">n</mi>
                      </msup>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.2.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.2.3.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.cmml">a</mi>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27.cmml">+</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.2.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.2.3.2.2.1.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.2.3.2.2.1.cmml">[</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.cmml">a</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.2.3.2.2.1.cmml">,</mo>
                      <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.2.3.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.2.3.2.2.2.cmml">
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.2.3.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.2.3.2.2.2.2.2.cmml">
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.2.3.2.2.2.2.2.cmml">(</mo>
                          <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.2.3.2.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.2.3.2.2.2.2.2.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.cmml">a</mi>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.33.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.33.1.cmml">+</mo>
                          </msup>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.2.3.2.2.2.2.2.cmml">)</mo>
                        </mrow>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.35.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.35.1.cmml">n</mi>
                      </msup>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.2.3.2.2.1.cmml">]</mo>
                    </mrow>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.2.3.2.cmml">)</mo>
                </mrow>
              </mrow>
              <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.1.1.cmml">|</mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.39" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.39.cmml">0</mn>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.1.1.cmml">⟩</mo>
            </mrow>
          </mrow>
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      </mtr>
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          <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1">absent</csymbol>
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            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">fragments</csymbol>
            <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1">1</cn>
            <eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2"/>
            <factorial id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3"/>
            <eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4"/>
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              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13">fragments</csymbol>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5">⟨</ci>
              <csymbol cd="unknown" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6">n</csymbol>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7">|</ci>
              <csymbol cd="unknown" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8">n</csymbol>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9">⟩</ci>
            </cerror>
            <eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10"/>
            <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11">|</ci>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29">subscript</csymbol>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12">𝛼</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.1">𝑛</ci>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30">superscript</csymbol>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14">|</ci>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.1">2</cn>
            </apply>
            <cerror id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15">fragments</csymbol>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16">⟨</ci>
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              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18">|</ci>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31">superscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19">𝑎</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1">𝑛</ci>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32">superscript</csymbol>
                <cerror id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.3">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.3a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.3">fragments</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21">(</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2">superscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22">𝑎</ci>
                    <plus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.1"/>
                  </apply>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24">)</ci>
                </cerror>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.1">𝑛</ci>
              </apply>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26">|</ci>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27">0</cn>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28">⟩</ci>
            </cerror>
          </cerror>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
            <eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41">
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                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7">𝑎</ci>
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              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12">0</cn>
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              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16">0</cn>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.1.1">𝑛</ci>
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                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.2.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.2.3.2.1">
                    <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.2.3.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.2.3.2.1.1"/>
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                      </apply>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26">𝑎</ci>
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                  <interval closure="closed" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.2.3.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.2.3.2.2">
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                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.2.3.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.2.3.2.2.2">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.2.3.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.2.3.2.2.2">superscript</csymbol>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.2.3.2.2.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.2.3.2.2.2.2">
                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.2.3.2.2.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.42.2.3.2.2.2.2">superscript</csymbol>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32">𝑎</ci>
                        <plus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.33.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.33.1"/>
                      </apply>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.35.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.35.1">𝑛</ci>
                    </apply>
                  </interval>
                </apply>
              </apply>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.39.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.39">0</cn>
            </apply>
          </apply>
        </matrixrow>
      </matrix>
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\langle n|n\right\rangle={{\left|{{\alpha}_{n}}\right|}^{2}}\left\langle 0%
\right|{{a}^{n}}{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}\left|0\right\rangle\\
&amp;\displaystyle\left\langle 0\right|{{a}^{n}}{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}%
\left|0\right\rangle=\left\langle 0\right|{{a}^{n-1}}\left({{\left({{a}^{+}}%
\right)}^{n}}a+\left[a,{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}\right]\right)\left|0%
\right\rangle\\
\end{aligned}}}</annotation>
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1=!=⟨n|n⟩=|αn|2⟨0|an(a+)n|0⟩⟨0|an(a+)n|0⟩=⟨0|an−1((a+)na+[a,(a+)n])|0⟩
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Identifiers

  • n
  • n
  • αn
  • a
  • n
  • a
  • n
  • a
  • n
  • a
  • n
  • a
  • n
  • a
  • n
  • a
  • a
  • a
  • n

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