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Display information for equation id:math.1652.15 on revision:1652

* Page found: Der harmonische Oszillator (eq math.1652.15)

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Occurrences on the following pages:

Hash: d51b13964b9b5f2fc95e5c05e35a977b

TeX (original user input): 

\begin{align}

& \left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}} \right]=a{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}-{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}a=a{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}-{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a{{a}^{+}}+{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a{{a}^{+}}-{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}a \\

& \Rightarrow \left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}} \right]=\left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}} \right]{{a}^{+}}+{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left[ a,{{a}^{+}} \right] \\

& \left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}} \right]=n{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n-1}} \\

& \Rightarrow \left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}} \right]=n{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n-1}}{{a}^{+}}+{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}=\left( n+1 \right){{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}} \\

\end{align}

TeX (checked): 

{\begin{aligned}&\left[a,{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n+1}}\right]=a{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n+1}}-{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n+1}}a=a{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n+1}}-{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}a{{a}^{+}}+{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}a{{a}^{+}}-{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n+1}}a\\&\Rightarrow \left[a,{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n+1}}\right]=\left[a,{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}\right]{{a}^{+}}+{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}\left[a,{{a}^{+}}\right]\\&\left[a,{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}\right]=n{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n-1}}\\&\Rightarrow \left[a,{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n+1}}\right]=n{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n-1}}{{a}^{+}}+{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}=\left(n+1\right){{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}\\\end{aligned}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (56.229 KB / 5.431 KB) :

[ a , ( a + ) n + 1 ] = a ⁢ ( a + ) n + 1 - ( a + ) n + 1 ⁢ a = a ⁢ ( a + ) n + 1 - ( a + ) n ⁢ a ⁢ a + + ( a + ) n ⁢ a ⁢ a + - ( a + ) n + 1 ⁢ a ⇒ [ a , ( a + ) n + 1 ] = [ a , ( a + ) n ] ⁢ a + + ( a + ) n ⁢ [ a , a + ] [ a , ( a + ) n ] = n ⁢ ( a + ) n - 1 ⇒ [ a , ( a + ) n + 1 ] = n ⁢ ( a + ) n - 1 ⁢ a + + ( a + ) n = ( n + 1 ) ⁢ ( a + ) n absent 𝑎 superscript superscript 𝑎 𝑛 1 𝑎 superscript superscript 𝑎 𝑛 1 superscript superscript 𝑎 𝑛 1 𝑎 𝑎 superscript superscript 𝑎 𝑛 1 superscript superscript 𝑎 𝑛 𝑎 superscript 𝑎 superscript superscript 𝑎 𝑛 𝑎 superscript 𝑎 superscript superscript 𝑎 𝑛 1 𝑎 absent ⇒ absent 𝑎 superscript superscript 𝑎 𝑛 1 𝑎 superscript superscript 𝑎 𝑛 superscript 𝑎 superscript superscript 𝑎 𝑛 𝑎 superscript 𝑎 absent 𝑎 superscript superscript 𝑎 𝑛 𝑛 superscript superscript 𝑎 𝑛 1 absent ⇒ absent 𝑎 superscript superscript 𝑎 𝑛 1 𝑛 superscript superscript 𝑎 𝑛 1 superscript 𝑎 superscript superscript 𝑎 𝑛 𝑛 1 superscript superscript 𝑎 𝑛 {\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&\displaystyle\left[a,{{\left(% {{a}^{+}}\right)}^{n+1}}\right]=a{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n+1}}-{{\left({{a}% ^{+}}\right)}^{n+1}}a=a{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n+1}}-{{\left({{a}^{+}}% \right)}^{n}}a{{a}^{+}}+{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}a{{a}^{+}}-{{\left({{a}^% {+}}\right)}^{n+1}}a\\ \par&\displaystyle\Rightarrow\left[a,{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n+1}}\right]=% \left[a,{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}\right]{{a}^{+}}+{{\left({{a}^{+}}\right% )}^{n}}\left[a,{{a}^{+}}\right]\\ \par&\displaystyle\left[a,{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}\right]=n{{\left({{a}^% {+}}\right)}^{n-1}}\\ \par&\displaystyle\Rightarrow\left[a,{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n+1}}\right]=n% {{\left({{a}^{+}}\right)}^{n-1}}{{a}^{+}}+{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}=\left% (n+1\right){{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}\\ \par\end{aligned}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&amp;\displaystyle\left[a,{{\left(%&#10;{{a}^{+}}\right)}^{n+1}}\right]=a{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n+1}}-{{\left({{a}%&#10;^{+}}\right)}^{n+1}}a=a{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n+1}}-{{\left({{a}^{+}}%&#10;\right)}^{n}}a{{a}^{+}}+{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}a{{a}^{+}}-{{\left({{a}^%&#10;{+}}\right)}^{n+1}}a\\&#10;\par&amp;\displaystyle\Rightarrow\left[a,{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n+1}}\right]=%&#10;\left[a,{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}\right]{{a}^{+}}+{{\left({{a}^{+}}\right%&#10;)}^{n}}\left[a,{{a}^{+}}\right]\\&#10;\par&amp;\displaystyle\left[a,{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}\right]=n{{\left({{a}^%&#10;{+}}\right)}^{n-1}}\\&#10;\par&amp;\displaystyle\Rightarrow\left[a,{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n+1}}\right]=n%&#10;{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n-1}}{{a}^{+}}+{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}=\left%&#10;(n+1\right){{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}\\&#10;\par\end{aligned}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mtable columnspacing="0pt" rowspacing="0pt" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
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        <mtd id="p1.1.m1.1.1b" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"/>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.cmml">[</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">a</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.cmml">,</mo>
              <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.2.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.2.2.2.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.2.2.2.cmml">(</mo>
                  <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.2.2.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml">a</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.cmml">+</mo>
                  </msup>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.2.2.2.cmml">)</mo>
                </mrow>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1.1.cmml">n</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1.2.cmml">+</mo>
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.1.3.cmml">1</mn>
                </mrow>
              </msup>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.57.1.cmml">]</mo>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml">=</mo>
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              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.cmml">a</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.1.cmml">⁢</mo>
                <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.2.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.2.cmml">(</mo>
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                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml">a</mi>
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                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.1.2.2.2.cmml">)</mo>
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                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.1.cmml">n</mi>
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                    <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.3.cmml">1</mn>
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              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.2.cmml">
                <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.2.2.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.2.2.2.2.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.2.2.2.2.cmml">(</mo>
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                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.cmml">a</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1.cmml">+</mo>
                    </msup>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.2.2.2.2.cmml">)</mo>
                  </mrow>
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                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.1.1.cmml">n</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.1.2.cmml">+</mo>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.1.3.cmml">1</mn>
                  </mrow>
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                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.58.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.cmml">a</mi>
              </mrow>
            </mrow>
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                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.1.1.2.2.2.cmml">(</mo>
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                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.1.1.2.2.2.cmml">)</mo>
                      </mrow>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1.cmml">
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                        <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1.3.cmml">1</mn>
                      </mrow>
                    </msup>
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                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.35" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.1.2.2.2.2.cmml">)</mo>
                      </mrow>
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                    <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.1.2.3.cmml">
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                  </mrow>
                </mrow>
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                    </mrow>
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                  <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.3.cmml">
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                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.48.1.cmml">+</mo>
                  </msup>
                </mrow>
              </mrow>
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                    </msup>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.53" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.2.2.2.2.cmml">)</mo>
                  </mrow>
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                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54.1.2.cmml">+</mo>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.54.1.3.cmml">1</mn>
                  </mrow>
                </msup>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.2.1.cmml">⁢</mo>
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          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1d" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1e" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml"/>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1f" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">⇒</mo>
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              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.1.cmml">[</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml">a</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.1.cmml">,</mo>
              <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.2.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.2.2.2.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.2.2.2.cmml">(</mo>
                  <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.2.2.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">a</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.1.cmml">+</mo>
                  </msup>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.2.2.2.cmml">)</mo>
                </mrow>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.1.cmml">
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                </mrow>
              </msup>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.1.cmml">]</mo>
            </mrow>
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                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.1.2.1.cmml">[</mo>
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                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.1.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.1.2.2.2.2.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.1.2.2.2.2.cmml">(</mo>
                      <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.1.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.1.2.2.2.2.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.cmml">a</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.1.cmml">+</mo>
                      </msup>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.1.2.2.2.2.cmml">)</mo>
                    </mrow>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.1.cmml">n</mi>
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                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.1.2.1.cmml">]</mo>
                </mrow>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.1.1.cmml">⁢</mo>
                <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.1.3.cmml">
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                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.1.cmml">+</mo>
                </msup>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.cmml">+</mo>
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                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.2.2.2.2.cmml">
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                    <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.2.2.2.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.cmml">a</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.1.cmml">+</mo>
                    </msup>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.2.2.2.2.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.cmml">n</mi>
                </msup>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.2.3.1.cmml">
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                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.2.3.1.cmml">,</mo>
                  <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.2.3.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.cmml">a</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.33.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.33.1.cmml">+</mo>
                  </msup>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.2.3.1.cmml">]</mo>
                </mrow>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1g" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1h" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.1.1.cmml"/>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1i" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml">
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              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.1.cmml">[</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.cmml">a</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.1.cmml">,</mo>
              <msup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.2.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.2.2.2.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.2.2.2.cmml">(</mo>
                  <msup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.2.2.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.cmml">a</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.1.cmml">+</mo>
                  </msup>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.2.2.2.cmml">)</mo>
                </mrow>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.1.cmml">n</mi>
              </msup>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17.1.cmml">]</mo>
            </mrow>
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                  <msup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.2.2.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.cmml">a</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.1.cmml">+</mo>
                  </msup>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.2.2.2.cmml">)</mo>
                </mrow>
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                  <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1.2.cmml">-</mo>
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.1.3.cmml">1</mn>
                </mrow>
              </msup>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1j" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
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        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1l" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.cmml">
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            <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.1.cmml">⇒</mo>
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              <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.39.1.cmml">[</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.3.cmml">a</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.39.1.cmml">,</mo>
              <msup id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.39.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.39.2.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.39.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.39.2.2.2.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.39.2.2.2.cmml">(</mo>
                  <msup id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.39.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.39.2.2.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.6.cmml">a</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.7.1.cmml">+</mo>
                  </msup>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.39.2.2.2.cmml">)</mo>
                </mrow>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.9.1.cmml">
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                </mrow>
              </msup>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.39.1.cmml">]</mo>
            </mrow>
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              <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.40.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.40.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.12.cmml">n</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.40.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.40.1.1.cmml">⁢</mo>
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                    <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.40.1.2.2.2.cmml">(</mo>
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                      <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.14.cmml">a</mi>
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                    </msup>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.40.1.2.2.2.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.17.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.17.1.cmml">
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                    <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.17.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.17.1.2.cmml">-</mo>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.17.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.17.1.3.cmml">1</mn>
                  </mrow>
                </msup>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.40.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.40.1.1.cmml">⁢</mo>
                <msup id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.40.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.40.1.3.cmml">
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                </msup>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.20.cmml">+</mo>
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                    <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.23.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.23.1.cmml">+</mo>
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                  <mo id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.24" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.40.2.2.2.cmml">)</mo>
                </mrow>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.25.1" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.25.1.cmml">n</mi>
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            </mrow>
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                          <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1.3">1</cn>
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                          <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33">𝑎</ci>
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                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.36.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.36.1">𝑛</ci>
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                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37">𝑎</ci>
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                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.1.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.1.2.3">superscript</csymbol>
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                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.2">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.2">superscript</csymbol>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.2.2">
                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.2.2">superscript</csymbol>
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                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.1.2.3">superscript</csymbol>
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                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.2.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.59.2.2.2">
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                    <plus id="p1.1.m1.1.1.4.2.1.34.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.4.2.1.34.1"/>
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{{a}^{+}}\right)}^{n+1}}\right]=a{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n+1}}-{{\left({{a}%
^{+}}\right)}^{n+1}}a=a{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n+1}}-{{\left({{a}^{+}}%
\right)}^{n}}a{{a}^{+}}+{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}a{{a}^{+}}-{{\left({{a}^%
{+}}\right)}^{n+1}}a\\
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\left[a,{{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}\right]{{a}^{+}}+{{\left({{a}^{+}}\right%
)}^{n}}\left[a,{{a}^{+}}\right]\\
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{+}}\right)}^{n-1}}\\
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(n+1\right){{\left({{a}^{+}}\right)}^{n}}\\
\par\end{aligned}}}</annotation>
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[a,(a+)n+1]=a(a+)n+1−(a+)n+1a=a(a+)n+1−(a+)naa++(a+)naa+−(a+)n+1a⇒[a,(a+)n+1]=[a,(a+)n]a++(a+)n[a,a+][a,(a+)n]=n(a+)n−1⇒[a,(a+)n+1]=n(a+)n−1a++(a+)n=(n+1)(a+)n
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