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Display information for equation id:math.1628.1 on revision:1628

* Page found: Eigenwerte und Eigenzustände von hermiteschen Operatoren (eq math.1628.1)

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Hash: 4a48f5d5914837a747af162ac1254831

TeX (original user input): 

\begin{align}

& \left\langle {{\left( \Delta \hat{F} \right)}^{2}} \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\Psi *(\bar{r}){{\left( \Delta \hat{F} \right)}^{2}}\Psi (\bar{r})=}\left\langle {{\left( \hat{F}-\left\langle {\hat{F}} \right\rangle  \right)}^{2}} \right\rangle =\left\langle {{{\hat{F}}}^{2}} \right\rangle -{{\left\langle {\hat{F}} \right\rangle }^{2}} \\

& =\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\Psi *(\bar{r}){{\left( {\hat{F}} \right)}^{2}}\Psi (\bar{r})}-{{\left( \int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\Psi *(\bar{r})\hat{F}\Psi (\bar{r})} \right)}^{2}}=0 \\

& \Leftrightarrow \left\langle  \Psi  \right|{{{\hat{F}}}^{2}}\left| \Psi  \right\rangle =\left\langle  \Psi  \right|\hat{F}{{\left| \Psi  \right\rangle }^{2}} \\

\end{align}

TeX (checked): 

{\begin{aligned}&\left\langle {{\left(\Delta {\hat {F}}\right)}^{2}}\right\rangle =\int _{}^{}{{{d}^{3}}r\Psi *({\bar {r}}){{\left(\Delta {\hat {F}}\right)}^{2}}\Psi ({\bar {r}})=}\left\langle {{\left({\hat {F}}-\left\langle {\hat {F}}\right\rangle \right)}^{2}}\right\rangle =\left\langle {{\hat {F}}^{2}}\right\rangle -{{\left\langle {\hat {F}}\right\rangle }^{2}}\\&=\int _{}^{}{{{d}^{3}}r\Psi *({\bar {r}}){{\left({\hat {F}}\right)}^{2}}\Psi ({\bar {r}})}-{{\left(\int _{}^{}{{{d}^{3}}r\Psi *({\bar {r}}){\hat {F}}\Psi ({\bar {r}})}\right)}^{2}}=0\\&\Leftrightarrow \left\langle \Psi \right|{{\hat {F}}^{2}}\left|\Psi \right\rangle =\left\langle \Psi \right|{\hat {F}}{{\left|\Psi \right\rangle }^{2}}\\\end{aligned}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (43.868 KB / 4.722 KB) :

⟨ ( Δ ⁢ F ^ ) 2 ⟩ = ∫ d 3 ⁢ r ⁢ Ψ * ( r ¯ ) ⁢ ( Δ ⁢ F ^ ) 2 ⁢ Ψ ⁢ ( r ¯ ) = ⟨ ( F ^ - ⟨ F ^ ⟩ ) 2 ⟩ = ⟨ F ^ 2 ⟩ - ⟨ F ^ ⟩ 2 = ∫ d 3 ⁢ r ⁢ Ψ * ( r ¯ ) ⁢ ( F ^ ) 2 ⁢ Ψ ⁢ ( r ¯ ) - ( ∫ d 3 ⁢ r ⁢ Ψ * ( r ¯ ) ⁢ F ^ ⁢ Ψ ⁢ ( r ¯ ) ) 2 = 0 ⇔ ⟨ Ψ | F ^ 2 | Ψ ⟩ = ⟨ Ψ | F ^ | Ψ ⟩ 2 absent delimited-⟨⟩ superscript Δ ^ 𝐹 2 superscript 𝑑 3 𝑟 Ψ ¯ 𝑟 superscript Δ ^ 𝐹 2 Ψ ¯ 𝑟 delimited-⟨⟩ superscript ^ 𝐹 delimited-⟨⟩ ^ 𝐹 2 delimited-⟨⟩ superscript ^ 𝐹 2 superscript delimited-⟨⟩ ^ 𝐹 2 absent absent superscript 𝑑 3 𝑟 Ψ ¯ 𝑟 superscript ^ 𝐹 2 Ψ ¯ 𝑟 superscript superscript 𝑑 3 𝑟 Ψ ¯ 𝑟 ^ 𝐹 Ψ ¯ 𝑟 2 0 absent ⇔ absent quantum-operator-product Ψ superscript ^ 𝐹 2 Ψ superscript quantum-operator-product Ψ ^ 𝐹 Ψ 2 {\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&\displaystyle\left\langle{{% \left(\Delta\hat{F}\right)}^{2}}\right\rangle=\int{{{d}^{3}}r\Psi*(\bar{r}){{% \left(\Delta\hat{F}\right)}^{2}}\Psi(\bar{r})=}\left\langle{{\left(\hat{F}-% \left\langle{\hat{F}}\right\rangle\right)}^{2}}\right\rangle=\left\langle{{{% \hat{F}}}^{2}}\right\rangle-{{\left\langle{\hat{F}}\right\rangle}^{2}}\\ \par&\displaystyle=\int{{{d}^{3}}r\Psi*(\bar{r}){{\left({\hat{F}}\right)}^{2}}% \Psi(\bar{r})}-{{\left(\int{{{d}^{3}}r\Psi*(\bar{r})\hat{F}\Psi(\bar{r})}% \right)}^{2}}=0\\ \par&\displaystyle\Leftrightarrow\left\langle\Psi\right|{{{\hat{F}}}^{2}}\left% |\Psi\right\rangle=\left\langle\Psi\right|\hat{F}{{\left|\Psi\right\rangle}^{2% }}\\ \par\end{aligned}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&amp;\displaystyle\left\langle{{%&#10;\left(\Delta\hat{F}\right)}^{2}}\right\rangle=\int{{{d}^{3}}r\Psi*(\bar{r}){{%&#10;\left(\Delta\hat{F}\right)}^{2}}\Psi(\bar{r})=}\left\langle{{\left(\hat{F}-%&#10;\left\langle{\hat{F}}\right\rangle\right)}^{2}}\right\rangle=\left\langle{{{%&#10;\hat{F}}}^{2}}\right\rangle-{{\left\langle{\hat{F}}\right\rangle}^{2}}\\&#10;\par&amp;\displaystyle=\int{{{d}^{3}}r\Psi*(\bar{r}){{\left({\hat{F}}\right)}^{2}}%&#10;\Psi(\bar{r})}-{{\left(\int{{{d}^{3}}r\Psi*(\bar{r})\hat{F}\Psi(\bar{r})}%&#10;\right)}^{2}}=0\\&#10;\par&amp;\displaystyle\Leftrightarrow\left\langle\Psi\right|{{{\hat{F}}}^{2}}\left%&#10;|\Psi\right\rangle=\left\langle\Psi\right|\hat{F}{{\left|\Psi\right\rangle}^{2%&#10;}}\\&#10;\par\end{aligned}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mtable columnspacing="0pt" rowspacing="0pt" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
      <mtr id="p1.1.m1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1b" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml"/>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1c" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.49" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.49.1.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.49.1.1.cmml">⟨</mo>
              <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.49.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.49.2.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.49.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.49.2.2.2.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.49.2.2.2.cmml">(</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.49.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.49.2.2.2.cmml">
                    <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml">Δ</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.49.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.49.2.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                    <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.cmml">F</mi>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.cmml">^</mo>
                    </mover>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.49.2.2.2.cmml">)</mo>
                </mrow>
                <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.cmml">2</mn>
              </msup>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.49.1.1.cmml">⟩</mo>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml">=</mo>
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.cmml">
                <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">∫</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.1.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.1.2.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.1.2.1.cmml">
                      <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.1.2.1.2.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml">d</mi>
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.1.cmml">3</mn>
                      </msup>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.1.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml">r</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.1.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.1.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                      <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml">Ψ</mi>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.cmml">*</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml">
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml">(</mo>
                      <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.cmml">r</mi>
                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.cmml">¯</mo>
                      </mover>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml">)</mo>
                    </mrow>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.1.1.cmml">⁢</mo>
                  <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.1.3.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.1.3.2.2.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.1.3.2.2.cmml">(</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.1.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.1.3.2.2.cmml">
                        <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.cmml">Δ</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.1.3.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.1.3.2.2.1.cmml">⁢</mo>
                        <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.2.cmml">F</mi>
                          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1.cmml">^</mo>
                        </mover>
                      </mrow>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.1.3.2.2.cmml">)</mo>
                    </mrow>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.1.cmml">2</mn>
                  </msup>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.1.1.cmml">⁢</mo>
                  <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.cmml">Ψ</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.1.1b" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.1.1.cmml">⁢</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.cmml">
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.cmml">(</mo>
                    <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.cmml">r</mi>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.1.cmml">¯</mo>
                    </mover>
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                </mrow>
              </mrow>
            </mstyle>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.1.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.1.1.cmml">⟨</mo>
              <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.2.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.2.2.2.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.29" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.2.2.2.cmml">(</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.2.2.2.cmml">
                    <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.2.cmml">F</mi>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1.cmml">^</mo>
                    </mover>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.cmml">-</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.2.2.2.1.1.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.2.2.2.1.1.1.cmml">⟨</mo>
                      <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.cmml">F</mi>
                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1.cmml">^</mo>
                      </mover>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.34" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.2.2.2.1.1.1.cmml">⟩</mo>
                    </mrow>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.35" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.2.2.2.cmml">)</mo>
                </mrow>
                <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.36.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.36.1.cmml">2</mn>
              </msup>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.37" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.1.1.cmml">⟩</mo>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.1.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.39" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.1.1.1.cmml">⟨</mo>
                <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.1.2.cmml">
                  <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40.2.cmml">F</mi>
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40.1.cmml">^</mo>
                  </mover>
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.41.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.41.1.cmml">2</mn>
                </msup>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.42" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.1.1.1.cmml">⟩</mo>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43.cmml">-</mo>
              <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.2.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.2.2.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.2.2.1.1.cmml">⟨</mo>
                  <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.45" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.45.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.45.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.45.2.cmml">F</mi>
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.45.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.45.1.cmml">^</mo>
                  </mover>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.46" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.2.2.1.1.cmml">⟩</mo>
                </mrow>
                <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47.1.cmml">2</mn>
              </msup>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1d" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1e" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml"/>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1f" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1.cmml">
                  <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">∫</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1.1.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1.1.2.cmml">
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1.1.2.1.cmml">
                        <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1.1.2.1.2.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml">d</mi>
                          <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.cmml">3</mn>
                        </msup>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1.1.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml">r</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1.1.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1.1.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                        <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">Ψ</mi>
                      </mrow>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml">*</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml">
                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml">(</mo>
                        <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.cmml">r</mi>
                          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.1.cmml">¯</mo>
                        </mover>
                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml">)</mo>
                      </mrow>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1.1.1.cmml">⁢</mo>
                    <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1.1.3.cmml">
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">(</mo>
                        <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.cmml">F</mi>
                          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.cmml">^</mo>
                        </mover>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">)</mo>
                      </mrow>
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1.cmml">2</mn>
                    </msup>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1.1.1.cmml">⁢</mo>
                    <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.cmml">Ψ</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1.1.1b" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1.1.1.cmml">⁢</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.cmml">
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.cmml">(</mo>
                      <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.2.cmml">r</mi>
                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.1.cmml">¯</mo>
                      </mover>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.cmml">)</mo>
                    </mrow>
                  </mrow>
                </mrow>
              </mstyle>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.cmml">-</mo>
              <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.2.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.2.2.2.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.2.2.2.cmml">(</mo>
                  <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.2.2.2.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.2.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.2.2.2.cmml">
                      <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.cmml">∫</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.2.2.2.1.cmml">
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.2.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.2.2.2.1.2.cmml">
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.2.2.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.2.2.2.1.2.1.cmml">
                            <msup id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.2.2.2.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.2.2.2.1.2.1.2.cmml">
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.cmml">d</mi>
                              <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1.cmml">3</mn>
                            </msup>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.2.2.2.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.2.2.2.1.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24.cmml">r</mi>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.2.2.2.1.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.2.2.2.1.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                            <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.cmml">Ψ</mi>
                          </mrow>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26.cmml">*</mo>
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.2.2.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.cmml">
                            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.27" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.cmml">(</mo>
                            <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.cmml">
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.2.cmml">r</mi>
                              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.1.cmml">¯</mo>
                            </mover>
                            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.cmml">)</mo>
                          </mrow>
                        </mrow>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.2.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                        <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30.2.cmml">F</mi>
                          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30.1.cmml">^</mo>
                        </mover>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.2.2.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                        <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.cmml">Ψ</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.2.2.2.1.1b" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.2.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.2.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.33.cmml">
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                          <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.33" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.33.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.33.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.33.2.cmml">r</mi>
                            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.33.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.33.1.cmml">¯</mo>
                          </mover>
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                        </mrow>
                      </mrow>
                    </mrow>
                  </mstyle>
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                </mrow>
                <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.1.cmml">2</mn>
              </msup>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.cmml">=</mo>
            <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.cmml">0</mn>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1g" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1h" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.1.1.cmml"/>
        </mtd>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.cmml"/>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml">⇔</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.1.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.1.1.1.cmml">⟨</mo>
                <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.cmml">Ψ</mi>
                <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.1.1.1.cmml">|</mo>
                <msup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.1.2.cmml">
                  <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.2.cmml">F</mi>
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5.1.cmml">^</mo>
                  </mover>
                  <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.1.cmml">2</mn>
                </msup>
                <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.1.1.1.cmml">|</mo>
                <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.cmml">Ψ</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.1.1.1.cmml">⟩</mo>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.cmml">=</mo>
              <msup id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.1.1.cmml">⟨</mo>
                  <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.12.cmml">Ψ</mi>
                  <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.1.1.cmml">|</mo>
                  <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.2.cmml">F</mi>
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.1.cmml">^</mo>
                  </mover>
                  <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.1.1.cmml">|</mo>
                  <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.16.cmml">Ψ</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.2.2.1.1.cmml">⟩</mo>
                </mrow>
                <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.1.cmml">2</mn>
              </msup>
            </mrow>
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                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.49.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.49.2">superscript</csymbol>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.49.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.49.2.2">
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                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3">Δ</ci>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4">
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1">^</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.2">𝐹</ci>
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                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1">2</cn>
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                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.1.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.1.2.1.2">superscript</csymbol>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10">𝑑</ci>
                        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.1">3</cn>
                      </apply>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12">𝑟</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13">Ψ</ci>
                    </apply>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.1.2.2">
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1">¯</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2">𝑟</ci>
                    </apply>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.1.3">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.1.3">superscript</csymbol>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.1.3.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.1.3.2">
                      <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.1.3.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.1.3.2.2.1"/>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19">Δ</ci>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20">
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1">^</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.2">𝐹</ci>
                      </apply>
                    </apply>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.1">2</cn>
                  </apply>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23">Ψ</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.1.4">
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.1">¯</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.2">𝑟</ci>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27"/>
              <share href="#p1.1.m1.1.1.1.2.1.50.cmml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51">
                <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28">delimited-⟨⟩</csymbol>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.2">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.2">superscript</csymbol>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.2.2">
                    <minus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31"/>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30">
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1">^</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.2">𝐹</ci>
                    </apply>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.2.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.2.2.2.1">
                      <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.2.2.2.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32">delimited-⟨⟩</csymbol>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33">
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1">^</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2">𝐹</ci>
                      </apply>
                    </apply>
                  </apply>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.36.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.36.1">2</cn>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1e.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.38"/>
              <share href="#p1.1.m1.1.1.1.2.1.51.cmml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1f.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52">
                <minus id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.43"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.1">
                  <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.39">delimited-⟨⟩</csymbol>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.1.2">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.1.2">superscript</csymbol>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40">
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40.1">^</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.40.2">𝐹</ci>
                    </apply>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.41.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.41.1">2</cn>
                  </apply>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.2">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.2">superscript</csymbol>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.2.2">
                    <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.52.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.44">delimited-⟨⟩</csymbol>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.45.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.45">
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.45.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.45.1">^</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.45.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.45.2">𝐹</ci>
                    </apply>
                  </apply>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.47.1">2</cn>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1">absent</csymbol>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
            <and id="p1.1.m1.1.1.2.2.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1"/>
              <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.40">absent</csymbol>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41">
                <minus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1">
                  <int id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1.1">
                    <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1.1.1"/>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1.1.2">
                      <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7"/>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1.1.2.1">
                        <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1.1.2.1.1"/>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1.1.2.1.2">
                          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1.1.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1.1.2.1.2">superscript</csymbol>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3">𝑑</ci>
                          <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1">3</cn>
                        </apply>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5">𝑟</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6">Ψ</ci>
                      </apply>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1.1.2.2">
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.1">¯</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.2">𝑟</ci>
                      </apply>
                    </apply>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1.1.3">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1.1.3">superscript</csymbol>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1.1.3.2">
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1">^</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2">𝐹</ci>
                      </apply>
                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1">2</cn>
                    </apply>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15">Ψ</ci>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.1.1.4">
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.1">¯</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.2">𝑟</ci>
                    </apply>
                  </apply>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.2">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.2">superscript</csymbol>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.41.2.2">
                    <int id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21"/>
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                <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8">Ψ</ci>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.2">𝐹</ci>
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                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.18.1">2</cn>
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\left(\Delta\hat{F}\right)}^{2}}\right\rangle=\int{{{d}^{3}}r\Psi*(\bar{r}){{%
\left(\Delta\hat{F}\right)}^{2}}\Psi(\bar{r})=}\left\langle{{\left(\hat{F}-%
\left\langle{\hat{F}}\right\rangle\right)}^{2}}\right\rangle=\left\langle{{{%
\hat{F}}}^{2}}\right\rangle-{{\left\langle{\hat{F}}\right\rangle}^{2}}\\
\par&amp;\displaystyle=\int{{{d}^{3}}r\Psi*(\bar{r}){{\left({\hat{F}}\right)}^{2}}%
\Psi(\bar{r})}-{{\left(\int{{{d}^{3}}r\Psi*(\bar{r})\hat{F}\Psi(\bar{r})}%
\right)}^{2}}=0\\
\par&amp;\displaystyle\Leftrightarrow\left\langle\Psi\right|{{{\hat{F}}}^{2}}\left%
|\Psi\right\rangle=\left\langle\Psi\right|\hat{F}{{\left|\Psi\right\rangle}^{2%
}}\\
\par\end{aligned}}}</annotation>
  </semantics>
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⟨(ΔF^)2⟩=∫d3rΨ*(r¯)(ΔF^)2Ψ(r¯)=⟨(F^−⟨F^⟩)2⟩=⟨F^2⟩−⟨F^⟩2=∫d3rΨ*(r¯)(F^)2Ψ(r¯)−(∫d3rΨ*(r¯)F^Ψ(r¯))2=0⇔⟨Ψ|F^2|Ψ⟩=⟨Ψ|F^|Ψ⟩2
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Identifiers

  • Δ
  • F^
  • r
  • Ψ
  • r¯
  • Δ
  • F^
  • Ψ
  • r¯
  • F^
  • F^
  • F^
  • F^
  • r
  • Ψ
  • r¯
  • F^
  • Ψ
  • r¯
  • r
  • Ψ
  • r¯
  • F^
  • Ψ
  • r¯
  • Ψ
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  • F^
  • Ψ

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