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* Page found: Zustandsvektoren im Hilbertraum (eq math.1613.21)

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Zustandsvektoren im Hilbertraum Eq: math.1619.21

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TeX (original user input):

\begin{align}

& \left\langle  {{{\bar{e}}}_{i}} | {\bar{a}} \right\rangle ={{a}_{i}}=\sum\limits_{j}{{}}{{a}_{j}}\left\langle  {{{\bar{e}}}_{i}} | {{{\bar{e}}}_{j}} \right\rangle =\sum\limits_{j}{{{a}_{j}}}{{\delta }_{ij}} \\

& \left\langle  {{{\bar{e}}}_{i}}\acute{\ } | {\bar{a}} \right\rangle ={{a}_{i}}\acute{\ }=\sum\limits_{j}{{}}{{a}_{j}}\acute{\ }\left\langle  {{{\bar{e}}}_{i}}\acute{\ } | {{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ } \right\rangle =\sum\limits_{j}{{{a}_{j}}\acute{\ }}{{\delta }_{ij}} \\

\end{align}

TeX (checked):

{\begin{aligned}&\left\langle {{\bar {e}}_{i}}|{\bar {a}}\right\rangle ={{a}_{i}}=\sum \limits _{j}{}{{a}_{j}}\left\langle {{\bar {e}}_{i}}|{{\bar {e}}_{j}}\right\rangle =\sum \limits _{j}{{a}_{j}}{{\delta }_{ij}}\\&\left\langle {{\bar {e}}_{i}}{\acute {\ }}|{\bar {a}}\right\rangle ={{a}_{i}}{\acute {\ }}=\sum \limits _{j}{}{{a}_{j}}{\acute {\ }}\left\langle {{\bar {e}}_{i}}{\acute {\ }}|{{\bar {e}}_{j}}{\acute {\ }}\right\rangle =\sum \limits _{j}{{{a}_{j}}{\acute {\ }}}{{\delta }_{ij}}\\\end{aligned}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (34.304 KB / 3.718 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&\displaystyle\left\langle{{{% \bar{e}}}_{i}}|{\bar{a}}\right\rangle={{a}_{i}}=\sum\limits_{j}{{}}{{a}_{j}}% \left\langle{{{\bar{e}}}_{i}}|{{{\bar{e}}}_{j}}\right\rangle=\sum\limits_{j}{{% {a}_{j}}}{{\delta}_{ij}}\\ \par&\displaystyle\left\langle{{{\bar{e}}}_{i}}\acute{\ }|{\bar{a}}\right% \rangle={{a}_{i}}\acute{\ }=\sum\limits_{j}{{}}{{a}_{j}}\acute{\ }\left\langle% {{{\bar{e}}}_{i}}\acute{\ }|{{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ }\right\rangle=\sum% \limits_{j}{{{a}_{j}}\acute{\ }}{{\delta}_{ij}}\\ \par\end{aligned}}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&amp;\displaystyle\left\langle{{{%&#10;\bar{e}}}_{i}}|{\bar{a}}\right\rangle={{a}_{i}}=\sum\limits_{j}{{}}{{a}_{j}}%&#10;\left\langle{{{\bar{e}}}_{i}}|{{{\bar{e}}}_{j}}\right\rangle=\sum\limits_{j}{{%&#10;{a}_{j}}}{{\delta}_{ij}}\\&#10;\par&amp;\displaystyle\left\langle{{{\bar{e}}}_{i}}\acute{\ }|{\bar{a}}\right%&#10;\rangle={{a}_{i}}\acute{\ }=\sum\limits_{j}{{}}{{a}_{j}}\acute{\ }\left\langle%&#10;{{{\bar{e}}}_{i}}\acute{\ }|{{{\bar{e}}}_{j}}\acute{\ }\right\rangle=\sum%&#10;\limits_{j}{{{a}_{j}}\acute{\ }}{{\delta}_{ij}}\\&#10;\par\end{aligned}}}" display="inline">
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          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1.1.cmml">⟨</mo>
              <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.2.cmml">
                <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.2.cmml">e</mi>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.1.cmml">¯</mo>
                </mover>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.cmml">i</mi>
              </msub>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1.1.cmml">|</mo>
              <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.2.cmml">a</mi>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.1.cmml">¯</mo>
              </mover>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.30.1.1.cmml">⟩</mo>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.cmml">=</mo>
            <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.31.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml">a</mi>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.1.cmml">i</mi>
            </msub>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.1.cmml">
                <munder id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.1.cmml">
                  <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.cmml">∑</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.1.cmml">j</mi>
                </munder>
              </mstyle>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.cmml">
                <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml">a</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.cmml">j</mi>
                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.3.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.3.1.1.cmml">⟨</mo>
                  <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.3.2.cmml">
                    <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.cmml">e</mi>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.cmml">¯</mo>
                    </mover>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.1.cmml">i</mi>
                  </msub>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.3.1.1.cmml">|</mo>
                  <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.3.3.cmml">
                    <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.cmml">e</mi>
                      <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1.cmml">¯</mo>
                    </mover>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1.cmml">j</mi>
                  </msub>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.3.1.1.cmml">⟩</mo>
                </mrow>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.22.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1.cmml">
                <munder id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1.cmml">
                  <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.cmml">∑</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.1.cmml">j</mi>
                </munder>
              </mstyle>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.cmml">
                <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.cmml">a</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.1.cmml">j</mi>
                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.1.cmml">⁢</mo>
                <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.3.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.cmml">δ</mi>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.1.cmml">i</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.3.cmml">⁢</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.2.cmml">j</mi>
                  </mrow>
                </msub>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1d" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1e" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml"/>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1f" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.1.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.1.1.cmml">⟨</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.cmml">
                <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.cmml">
                  <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.cmml">e</mi>
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.1.cmml">¯</mo>
                  </mover>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.cmml">i</mi>
                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.cmml"/>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.cmml">´</mo>
                </mover>
              </mrow>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.1.1.cmml">|</mo>
              <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.2.cmml">a</mi>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.cmml">¯</mo>
              </mover>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.1.1.cmml">⟩</mo>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.cmml">
              <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml">a</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1.cmml">i</mi>
              </msub>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.1.cmml">⁢</mo>
              <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.2.cmml"/>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.cmml">´</mo>
              </mover>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.1.cmml">
                <munder id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.1.cmml">
                  <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.cmml">∑</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1.cmml">j</mi>
                </munder>
              </mstyle>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.2.cmml">
                <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.2.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.cmml">a</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.1.cmml">j</mi>
                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.2.cmml"/>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.1.cmml">´</mo>
                </mover>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.2.3.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.2.3.1.1.cmml">⟨</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.2.3.2.cmml">
                    <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.2.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.2.3.2.2.cmml">
                      <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.2.cmml">e</mi>
                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.1.cmml">¯</mo>
                      </mover>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20.1.cmml">i</mi>
                    </msub>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.2.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.2.3.2.1.cmml">⁢</mo>
                    <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.2.cmml"/>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.1.cmml">´</mo>
                    </mover>
                  </mrow>
                  <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.2.3.1.1.cmml">|</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.2.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.2.3.3.cmml">
                    <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.2.3.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.2.3.3.2.cmml">
                      <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.2.cmml">e</mi>
                        <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.23.1.cmml">¯</mo>
                      </mover>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24.1.cmml">j</mi>
                    </msub>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.2.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.2.3.3.1.cmml">⁢</mo>
                    <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.2.cmml"/>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.25.1.cmml">´</mo>
                    </mover>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.26" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.2.3.1.1.cmml">⟩</mo>
                </mrow>
              </mrow>
            </mrow>
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            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.39" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.39.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.39.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.39.1.cmml">
                <munder id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.39.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.39.1.cmml">
                  <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.28.cmml">∑</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.1.cmml">j</mi>
                </munder>
              </mstyle>
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                <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.39.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.39.2.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30.cmml">a</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.cmml">j</mi>
                </msub>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.39.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.39.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.2.cmml"/>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.32.1.cmml">´</mo>
                </mover>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.39.2.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.39.2.1.cmml">⁢</mo>
                <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.39.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.39.2.3.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.33" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.33.cmml">δ</mi>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34.1.1.cmml">i</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34.1.3.cmml">⁢</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34.1.2.cmml">j</mi>
                  </mrow>
                </msub>
              </mrow>
            </mrow>
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      </mtr>
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                  </apply>
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                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.1">subscript</csymbol>
                  <sum id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.1">𝑗</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2">
                  <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.1"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.2">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.2">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13">𝑎</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.1">𝑗</ci>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.3">
                    <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.15">inner-product</csymbol>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.3.2">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.3.2">subscript</csymbol>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16">
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1">¯</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.2">𝑒</ci>
                      </apply>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.17.1">𝑖</ci>
                    </apply>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.3.3">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.32.2.3.3">subscript</csymbol>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19">
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.1">¯</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.19.2">𝑒</ci>
                      </apply>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.20.1">𝑗</ci>
                    </apply>
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                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.1">subscript</csymbol>
                  <sum id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.23"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.24.1">𝑗</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2">
                  <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.1"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.2">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.2">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.25">𝑎</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.26.1">𝑗</ci>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.3">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.33.2.3">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.27">𝛿</ci>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1">
                      <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.3"/>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.1">𝑖</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.28.1.2">𝑗</ci>
                    </apply>
                  </apply>
                </apply>
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            </apply>
          </apply>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1">absent</csymbol>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
            <and id="p1.1.m1.1.1.2.2.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8"/>
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                <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1">inner-product</csymbol>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2">
                  <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.1"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.36.2.2">subscript</csymbol>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2">
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.1">¯</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.2">𝑒</ci>
                    </apply>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.1">𝑖</ci>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4">
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.1">´</ci>
                    <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.2">absent</csymbol>
                  </apply>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6">
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.1">¯</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.2">𝑎</ci>
                </apply>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37">
                <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.1"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.2">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.2">subscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9">𝑎</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.1">𝑖</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11">
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.1">´</ci>
                  <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11.2">absent</csymbol>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12"/>
              <share href="#p1.1.m1.1.1.2.2.1.37.cmml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38">
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.1">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.1">subscript</csymbol>
                  <sum id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.13"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.1">𝑗</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.2">
                  <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.2.1"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.2.2">
                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.2.2">subscript</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15">𝑎</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.1">𝑗</ci>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17">
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.1">´</ci>
                    <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.17.2">absent</csymbol>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.2.3">
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                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.2.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.38.2.3.2">
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                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34.1">
                      <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34.1.3"/>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.34.1.1">𝑖</ci>
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\begin{aligned} ⟨ {\bar{e}}_{i} | \bar{a} ⟩ = a_{i} = \sum_{j} a_{j} ⟨ {\bar{e}}_{i} | {\bar{e}}_{j} ⟩ = \sum_{j} a_{j} δ_{i j} \\ ⟨ {\bar{e}}_{i} \overset{´}{} | \bar{a} ⟩ = a_{i} \overset{´}{} = \sum_{j} a_{j} \overset{´}{} ⟨ {\bar{e}}_{i} \overset{´}{} | {\bar{e}}_{j} \overset{´}{} ⟩ = \sum_{j} a_{j} \overset{´}{} δ_{i j} \end{aligned}

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