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\sin \left( x \right)=\frac{{{e}^{xi}}-{{e}^{-xi}}}{2i},\cos (x)=\frac{{{e}^{ix}}+{{e}^{-ix}}}{2}

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sin ⁡ ( x ) = e x ⁢ i - e - x ⁢ i 2 ⁢ i , cos ⁡ ( x ) = e i ⁢ x + e - i ⁢ x 2 formulae-sequence 𝑥 superscript 𝑒 𝑥 𝑖 superscript 𝑒 𝑥 𝑖 2 𝑖 𝑥 superscript 𝑒 𝑖 𝑥 superscript 𝑒 𝑖 𝑥 2 {\displaystyle{\displaystyle\sin\left(x\right)=\frac{{{e}^{xi}}-{{e}^{-xi}}}{2% i},\cos(x)=\frac{{{e}^{ix}}+{{e}^{-ix}}}{2}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\sin\left(x\right)=\frac{{{e}^{xi}}-{{e}^{-xi}}}{2%&#10;i},\cos(x)=\frac{{{e}^{ix}}+{{e}^{-ix}}}{2}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.1.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.14.2" xref="p1.1.m1.1.14.2.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.14.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.14.2.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">sin</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.14.2.1.2a" xref="p1.1.m1.1.14.2.1.1.cmml">⁡</mo>
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            <mi id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">x</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.14.2.1.1.cmml">)</mo>
          </mrow>
        </mrow>
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        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.6a" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.6.2" xref="p1.1.m1.1.6.2.cmml">
              <msup id="p1.1.m1.1.6.2.6" xref="p1.1.m1.1.6.2.6.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.6.2.1" xref="p1.1.m1.1.6.2.1.cmml">e</mi>
                <mrow id="p1.1.m1.1.6.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.6.2.2.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.6.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.6.2.2.1.1.cmml">x</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.6.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.6.2.2.1.3.cmml">⁢</mo>
                  <mi id="p1.1.m1.1.6.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.6.2.2.1.2.cmml">i</mi>
                </mrow>
              </msup>
              <mo id="p1.1.m1.1.6.2.3" xref="p1.1.m1.1.6.2.3.cmml">-</mo>
              <msup id="p1.1.m1.1.6.2.7" xref="p1.1.m1.1.6.2.7.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.6.2.4" xref="p1.1.m1.1.6.2.4.cmml">e</mi>
                <mrow id="p1.1.m1.1.6.2.5.1" xref="p1.1.m1.1.6.2.5.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.6.2.5.1.1" xref="p1.1.m1.1.6.2.5.1.1.cmml">-</mo>
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                    <mi id="p1.1.m1.1.6.2.5.1.2" xref="p1.1.m1.1.6.2.5.1.2.cmml">x</mi>
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                    <mi id="p1.1.m1.1.6.2.5.1.3" xref="p1.1.m1.1.6.2.5.1.3.cmml">i</mi>
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                </mrow>
              </msup>
            </mrow>
            <mrow id="p1.1.m1.1.6.3" xref="p1.1.m1.1.6.3.cmml">
              <mn id="p1.1.m1.1.6.3.1" xref="p1.1.m1.1.6.3.1.cmml">2</mn>
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              <mi id="p1.1.m1.1.6.3.2" xref="p1.1.m1.1.6.3.2.cmml">i</mi>
            </mrow>
          </mfrac>
        </mstyle>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.14.1a.cmml">,</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.14.3" xref="p1.1.m1.1.14.3.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.14.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.14.3.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">cos</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.14.3.1.2a" xref="p1.1.m1.1.14.3.1.1.cmml">⁡</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.14.3.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.14.3.1.1.cmml">
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.14.3.1.1.cmml">(</mo>
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            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.14.3.1.1.cmml">)</mo>
          </mrow>
        </mrow>
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                </mrow>
              </msup>
              <mo id="p1.1.m1.1.13.2.3" xref="p1.1.m1.1.13.2.3.cmml">+</mo>
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                <mi id="p1.1.m1.1.13.2.4" xref="p1.1.m1.1.13.2.4.cmml">e</mi>
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        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.14.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.7">formulae-sequence</csymbol>
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            <ci id="p1.1.m1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3">𝑥</ci>
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              <ci id="p1.1.m1.1.6.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.3.2">𝑖</ci>
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        </apply>
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          <eq id="p1.1.m1.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.12"/>
          <apply id="p1.1.m1.1.14.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.3.1.2">
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            <ci id="p1.1.m1.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.10">𝑥</ci>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.13.2.5.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.13.2.5.1.3">𝑥</ci>
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sin ⁡ ( x ) = e x i − e − x i 2 i , cos ⁡ ( x ) = e i x + e − i x 2 {\displaystyle \sin \left(x\right)={\frac {{{e}^{xi}}-{{e}^{-xi}}}{2i}},\cos(x)={\frac {{{e}^{ix}}+{{e}^{-ix}}}{2}}} 
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{\displaystyle \sin \left(x\right)={\frac {{{e}^{xi}}-{{e}^{-xi}}}{2i}},\cos(x)={\frac {{{e}^{ix}}+{{e}^{-ix}}}{2}}}

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