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Display information for equation id:math.1057.4 on revision:1057

* Page found: Vektorraum (eq math.1057.4)

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Vektorraum Eq: math.1058.4

Hash: 03a3fd12d4c0349b47e5f191659c03c5

TeX (original user input):

\begin{matrix}
  \forall \lambda ,\mu \in K,\forall v,w\in {{V}_{M}}: \\ 
  \left( \begin{align}
  & \left( \lambda +\mu  \right)\centerdot v=\lambda \centerdot v+\mu \centerdot v,\quad \lambda \centerdot \left( v+w \right)=\lambda \centerdot v+\lambda \centerdot w, \\ 
 & \lambda \centerdot \left( \mu \centerdot v \right)=\left( \lambda \centerdot \mu  \right)\centerdot v,\quad \text{f }\!\!\ddot{\mathrm{u}}\!\!\text{ r }1\in K:1\centerdot v=v \\ 
\end{align} \right) \\ 
\end{matrix}

TeX (checked):

{\begin{matrix}\forall \lambda ,\mu \in K,\forall v,w\in {{V}_{M}}:\\\left({\begin{aligned}&\left(\lambda +\mu \right)\centerdot v=\lambda \centerdot v+\mu \centerdot v,\quad \lambda \centerdot \left(v+w\right)=\lambda \centerdot v+\lambda \centerdot w,\\&\lambda \centerdot \left(\mu \centerdot v\right)=\left(\lambda \centerdot \mu \right)\centerdot v,\quad {\text{f }}\!\!{\ddot {\mathrm {u} }}\!\!{\text{ r }}1\in K:1\centerdot v=v\\\end{aligned}}\right)\\\end{matrix}}

LaTeXML (experimental; uses MathML) rendering

MathML (28.187 KB / 2.96 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle\begin{matrix}\forall\lambda,\mu\in K,\forall v,w% \in{{V}_{M}}:\\ \left(\begin{aligned} &\displaystyle\left(\lambda+\mu\right)\centerdot v=% \lambda\centerdot v+\mu\centerdot v,\quad\lambda\centerdot\left(v+w\right)=% \lambda\centerdot v+\lambda\centerdot w,\\ &\displaystyle\lambda\centerdot\left(\mu\centerdot v\right)=\left(\lambda% \centerdot\mu\right)\centerdot v,\quad\text{f }\!\!\ddot{\mathrm{u}}\!\!\text{% r }1\in K:1\centerdot v=v\\ \end{aligned}\right)\\ \end{matrix}}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{matrix}\forall\lambda,\mu\in K,\forall v,w%&#10;\in{{V}_{M}}:\\&#10;\left(\begin{aligned} &amp;\displaystyle\left(\lambda+\mu\right)\centerdot v=%&#10;\lambda\centerdot v+\mu\centerdot v,\quad\lambda\centerdot\left(v+w\right)=%&#10;\lambda\centerdot v+\lambda\centerdot w,\\&#10;&amp;\displaystyle\lambda\centerdot\left(\mu\centerdot v\right)=\left(\lambda%&#10;\centerdot\mu\right)\centerdot v,\quad\text{f }\!\!\ddot{\mathrm{u}}\!\!\text{%&#10; r }1\in K:1\centerdot v=v\\&#10;\end{aligned}\right)\\&#10;\end{matrix}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
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          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.cmml">
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.1.cmml">∀</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.2.cmml">λ</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.3.cmml">,</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.4.cmml">μ</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.5.cmml">∈</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.6.cmml">K</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.7.cmml">,</mo>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.8.cmml">∀</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.9.cmml">v</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.10.cmml">,</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.11.cmml">w</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.12.cmml">∈</mo>
            <msub id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.16.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.13.cmml">V</mi>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.14.1.cmml">M</mi>
            </msub>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.1.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.1.1.1.15.cmml">:</mo>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
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        <mtd columnalign="center" id="p1.1.m1.1.1d" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.cmml">
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.cmml">(</mo>
            <mtable columnspacing="0pt" rowspacing="0pt" id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.cmml">
              <mtr id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2a" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.cmml">
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                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.cmml">
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                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.35.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.35.2.1.cmml">
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.35.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.35.2.1.1.2.cmml">
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.35.2.1.1.2.cmml">(</mo>
                            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.35.2.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.35.2.1.1.2.cmml">
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.2.cmml">λ</mi>
                              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.3.cmml">+</mo>
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.4.cmml">μ</mi>
                            </mrow>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.35.2.1.1.2.cmml">)</mo>
                          </mrow>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.6.cmml">∙</mo>
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.7.cmml">v</mi>
                        </mrow>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.8.cmml">=</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.35.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.35.2.2.cmml">
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.35.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.35.2.2.1.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.9.cmml">λ</mi>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.10.cmml">∙</mo>
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.11.cmml">v</mi>
                          </mrow>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.12.cmml">+</mo>
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.35.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.35.2.2.2.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.13.cmml">μ</mi>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.14.cmml">∙</mo>
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.15.cmml">v</mi>
                          </mrow>
                        </mrow>
                      </mrow>
                      <mo rspace="12.5pt" id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.16" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.35.1a.cmml">,</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.35.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.35.3.cmml">
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.35.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.35.3.1.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.18" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.18.cmml">λ</mi>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.19.cmml">∙</mo>
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.35.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.35.3.1.1.2.cmml">
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.20" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.35.3.1.1.2.cmml">(</mo>
                            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.35.3.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.35.3.1.1.2.cmml">
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.21" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.21.cmml">v</mi>
                              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.22" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.22.cmml">+</mo>
                              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.23" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.23.cmml">w</mi>
                            </mrow>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.24" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.35.3.1.1.2.cmml">)</mo>
                          </mrow>
                        </mrow>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.25" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.25.cmml">=</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.35.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.35.3.2.cmml">
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.35.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.35.3.2.1.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.26" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.26.cmml">λ</mi>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.27" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.27.cmml">∙</mo>
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.28" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.28.cmml">v</mi>
                          </mrow>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.29" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.29.cmml">+</mo>
                          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.35.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.35.3.2.2.cmml">
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.30" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.30.cmml">λ</mi>
                            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.31" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.31.cmml">∙</mo>
                            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.32" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.32.cmml">w</mi>
                          </mrow>
                        </mrow>
                      </mrow>
                    </mrow>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.33" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.cmml">,</mo>
                  </mrow>
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                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.35.2.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.35.2.1.1">
                      <plus id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.3"/>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.2">𝜆</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.4">𝜇</ci>
                    </apply>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.7">𝑣</ci>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.35.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.35.2.2">
                    <plus id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.12"/>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.35.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.35.2.2.1">
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.10">∙</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.9">𝜆</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.11">𝑣</ci>
                    </apply>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.35.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.35.2.2.2">
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.14">∙</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.13">𝜇</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.15">𝑣</ci>
                    </apply>
                  </apply>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.35.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.35.3">
                  <eq id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.25.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.25"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.35.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.35.3.1">
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.19">∙</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.18">𝜆</ci>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.35.3.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.35.3.1.1">
                      <plus id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.22.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.22"/>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.21">𝑣</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.23.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.23">𝑤</ci>
                    </apply>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.35.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.35.3.2">
                    <plus id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.29.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.29"/>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.35.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.35.3.2.1">
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.27.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.27">∙</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.26.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.26">𝜆</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.28.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.28">𝑣</ci>
                    </apply>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.35.3.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.35.3.2.2">
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.31.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.31">∙</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.30.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.30">𝜆</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.32.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.1.2.1.32">𝑤</ci>
                    </apply>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
            </matrixrow>
            <matrixrow id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1">
              <cerror id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2e.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2f.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2b">missing-subexpression</csymbol>
              </cerror>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1">
                <ci id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.28.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.28">:</ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.34.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.34">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.34.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.16">formulae-sequence</csymbol>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.34.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.34.2">
                    <eq id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.8"/>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.34.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.34.2.1">
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.2">∙</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.1">𝜆</ci>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.34.2.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.34.2.1.1">
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.5">∙</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.4">𝜇</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.6">𝑣</ci>
                      </apply>
                    </apply>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.34.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.34.2.2">
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.14">∙</ci>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.34.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.34.2.2.1">
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.11">∙</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.10">𝜆</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.12">𝜇</ci>
                      </apply>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.15">𝑣</ci>
                    </apply>
                  </apply>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.34.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.34.3">
                    <in id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.26.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.26"/>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.34.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.34.3.1">
                      <times id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.34.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.34.3.1.1"/>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.18b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.18">
                        <mpadded width="-3.3pt" id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.18">
                          <mtext id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.18a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.18">f </mtext>
                        </mpadded>
                      </ci>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.21">
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.21.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.21.1">¨</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.21.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.21.2">u</ci>
                      </apply>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.24a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.24">
                        <mtext id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.24.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.24"> r </mtext>
                      </ci>
                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.25.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.25">1</cn>
                    </apply>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.27.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.27">𝐾</ci>
                  </apply>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.35.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.35">
                  <eq id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.32.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.32"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.35.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.35.1">
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.30.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.30">∙</ci>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.29.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.29">1</cn>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.31.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.31">𝑣</ci>
                  </apply>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.33.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.2.2.2.1.33">𝑣</ci>
                </apply>
              </apply>
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      </matrix>
    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle\begin{matrix}\forall\lambda,\mu\in K,\forall v,w%
\in{{V}_{M}}:\\
\left(\begin{aligned} &amp;\displaystyle\left(\lambda+\mu\right)\centerdot v=%
\lambda\centerdot v+\mu\centerdot v,\quad\lambda\centerdot\left(v+w\right)=%
\lambda\centerdot v+\lambda\centerdot w,\\
&amp;\displaystyle\lambda\centerdot\left(\mu\centerdot v\right)=\left(\lambda%
\centerdot\mu\right)\centerdot v,\quad\text{f }\!\!\ddot{\mathrm{u}}\!\!\text{%
 r }1\in K:1\centerdot v=v\\
\end{aligned}\right)\\
\end{matrix}}}</annotation>
  </semantics>
</math>

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\begin{matrix} \forall λ, μ \in K, \forall v, w \in V_{M} : \\ (\begin{aligned} (λ + μ) \cdot v = λ \cdot v + μ \cdot v, λ \cdot (v + w) = λ \cdot v + λ \cdot w, \\ λ \cdot (μ \cdot v) = (λ \cdot μ) \cdot v, f \ddot{u} r 1 \in K : 1 \cdot v = v \end{aligned}) \end{matrix}

<math class="mwe-math-element" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mtable columnspacing="1em" rowspacing="4pt"><mtr><mtd><mi mathvariant="normal">&#x2200;</mi><mi>&#x03BB;</mi><mo>,</mo><mi>&#x03BC;</mi><mo>&#x2208;</mo><mi>K</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">&#x2200;</mi><mi>v</mi><mo>,</mo><mi>w</mi><mo>&#x2208;</mo><msub><mi>V</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>M</mi></mrow></msub><mi>:</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true" rowspacing="3pt"><mtr><mtd></mtd><mtd><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mi>&#x03BB;</mi><mo>+</mo><mi>&#x03BC;</mi><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mo variantform="True">&#x22C5;</mo><mi>v</mi><mo>=</mo><mi>&#x03BB;</mi><mo variantform="True">&#x22C5;</mo><mi>v</mi><mo>+</mo><mi>&#x03BC;</mi><mo variantform="True">&#x22C5;</mo><mi>v</mi><mo>,</mo><mspace width="1em"></mspace><mi>&#x03BB;</mi><mo variantform="True">&#x22C5;</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mi>v</mi><mo>+</mo><mi>w</mi><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mo>=</mo><mi>&#x03BB;</mi><mo variantform="True">&#x22C5;</mo><mi>v</mi><mo>+</mo><mi>&#x03BB;</mi><mo variantform="True">&#x22C5;</mo><mi>w</mi><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mi>&#x03BB;</mi><mo variantform="True">&#x22C5;</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mi>&#x03BC;</mi><mo variantform="True">&#x22C5;</mo><mi>v</mi><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mi>&#x03BB;</mi><mo variantform="True">&#x22C5;</mo><mi>&#x03BC;</mi><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mo variantform="True">&#x22C5;</mo><mi>v</mi><mo>,</mo><mspace width="1em"></mspace><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mtext>f&#xA0;</mtext></mrow><mspace width="-0.167em"></mspace><mspace width="-0.167em"></mspace><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi mathvariant="normal">u</mi></mrow><mo>¨</mo></mover></mrow></mrow><mspace width="-0.167em"></mspace><mspace width="-0.167em"></mspace><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mtext>&#xA0;r&#xA0;</mtext></mrow><mn>1</mn><mo>&#x2208;</mo><mi>K</mi><mi>:</mi><mn>1</mn><mo variantform="True">&#x22C5;</mo><mi>v</mi><mo>=</mo><mi>v</mi></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd></mtr></mtable></mrow><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow></math>

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