Kernkräfte

Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann

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Der Artikel Kernkräfte basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 8.Kapitels (Abschnitt 0) der Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann.

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Wegen $B/A\approx const\to$ Kräfte immer nur zwischen zwei Nukleonen. Einfachste Modellsysteme: a) das Deuteron und b) n-p Streuung

a) Deuteron als einfachstes gebundenes Nukleonensystem mit folgenden Eigenschaften

1) Bindungsenergie $n+P\to d+2,2MeV$

2) Kernspin $I=1$, magn. Kerndipolmoment ${\mu }_I=0,857...{\mu }_K$ (${\mu }_I\approx {\mu }_p+{\mu }_n=0,879...{\mu }_K\to I=\frac{1}{2}+\frac{1}{2},{}^3{S}_l$-Zustand) el. Quadrupolmoment $Q=+2,8610^{-31}{m}^2=2,7$mb, d.h. sehr klein

3) es existiert kein angeregter Zustand, außerdem gibt es kein Diproton oder Dineutron.

Reduktion des Zweikörperproblems durch Relativkoordinate $r=r-r_n$ und red. Masse $\mu =\frac{m_p{m}_n}{m_p+m_n}\approx \frac{1}{2}{m}_p$

Schrödingergleichung $[\frac{-{\hslash }^2}{2\mu }{\mathrm{\nabla }}^2+V]\mathrm{\Psi }=E\mathrm{\Psi }$

Problem $E=-2,2MeV$ bekannt, V unbekannt. Annahme: $V=V(r)$ Zentralpotential. Separationsansatz von Radial- und Winkelteil ${\mathrm{\Psi }}_{nlm}=R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta ,\varphi )$

Radialteil $[-\frac{{\hslash }^2}{2\mu }\frac{d^2}{d{r}^2}+V(r)+\frac{l(l+1){\hslash }^2}{2\mu r^2}]\left(r{R}_{nl}\right)=E_{nl}(r{R}_{nl})$ mit $\frac{l(l+1){\hslash }^2}{2\mu r^2}$ Zentrifugalpotential

Zentrifugalpotential abstoßend --> Grundzustand 1 = 0 (wird durch I = 1 und ${\mu }_I\approx {\mu }_n+{\mu }_p$ unterstützt). $(r{R}_{nl})=(r{R}_{l0})=u$

Erste (grobe) Annahme von V(r): Kastenpotential ($V_0,r_0$ )

miniatur| Trennung der Radialgleichung in Innen (I)- und Außen (II)-Bereich

I $r\le r_0\frac{d^{2}u}{d{r}^2}+\frac{2\mu }{{\hslash }^2}(E-V_0)u=0$ , $K=\sqrt{\frac{2\mu (E-V_0)}{{\hslash }^2}}$

Lösung $u=A\sin Kr+C\cos KrRB:u=A\sin Kr$ RB: $u=0$ für $r\to 0$ wegen u/r endlich C = 0

I $r\ge r_0\frac{d^{2}u}{d{r}^2}+\frac{2\mu }{{\hslash }^2}(E)u=0$ , $k=\sqrt{\frac{2\mu E}{{\hslash }^2}}=[4,310^{-15}m{]}^{-1}$

Lösung $u=B^{\prime }{e}^{-kr}+D{e}^{kr}=B{e}^{-k(r-r_0)}$ RB: u = A \sin Kr</math> RB: $u\to 0$ für $r\to \mathrm{\infty }\to$ D=0

Stetiger Anlschluß von u und \frac{du}{dr} bei $r=r_0$ :

$\begin{array}{llll}A\sin K{r}_0& =BKA\cos K{r}_0& =B(-k)K\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}K{r}_0& =-k\end{array}$

Damit werden die beiden Parameter ($V_0,r_0$ ) des Kastenpotentials miteinander verknüpft, z.B. mögliche Wertepaare $\begin{array}{lll}{r}_0& =1,4\times 10^{-15}m,2\times 10^{-15}m{V}_0& =50MeV,30MeV\end{array}$

miniatur

Da für $I=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$ nur I = 1 existiert, sind die Kernkräfte spinabhängig, wobei nur das Triplettpotential bindend ist. Erklärt auch die Nichtexistenz von $p^2$ und $n^2$ durch das Pauli-Prinzip.

Ailsatz V =V1( r) + v 2 (r)0(s--l+o-s-+2 ) (-5-+1 --+ 1 3 05 2 ) :::} 7[S(S+1) 4 Triplett VT = VI (r) + 4 0 V2 (r) S = 1 1 Singulett Vs = VI (r) - 4 3 0 V2 (r) S = 0

Grobe Abschätzung für Singulett-Potential: Falls V_s gerade nicht mehr bindender, $\sin K{r}_0\approx 1$ senkrecht auf Potentialwand, so daß man keine abnehmende Exponentialfunktion im Außenraum anfügen kann.

$K{r}_0\le \frac{\pi }{2}$ bedeutet in Zahlenwerten $\left|V_0\right|r_0^2\lesssim 100,V_0[MeV],r_0[10^{-15}m]$

Die Existenz des (sehr kleinen) Quadrupolmoments bedeutet einen sehr kleinen Beitrag einer nichtzentralen Kraft, die eine $3^{}{D}_1$-Zumischung ermöglicht.

b) n-p Streuung

Wirkungsquerschnitt $\sigma [m^2]$

$\sigma$ als "Trefferfläche" , z.B. $\sigma (geom.)=\pi R^2\approx 10^{-29}-10^{-28}{m}^2(10^{-28}{m}^2=1b)$. Festkörpertarget $N\approx 10^{22}$ Kerne/cm³, $\sigma \approx 10^{28}{m}^{-3}$, Targetlänge z.B. $1=10^{-2}m\to \sigma Nl\approx 10^{-3}-10^{-2}$ , d.h. "dünnes" Target mit $I=I_0(l-\sigma Nl)$.

Kinematik: $m_p\approx m_n$, "Billardproblem"

$2\to 1$ Körperproblem: Stoß zweier Teilchen gleicher Masse im CM-System ist äquivalent dem Stoß eines Teilchens mit reduzierter Masse $\mu =m/2$ und $E=E_{LAB}/2$ an einem festen Streuzentrum bei $r=r_p-r_p\approx 0$.

Quantenmechanische Formulierung des Streuproblems

differentieller Wirkungsquerschnitt{{#set:Fachbegriff=differentieller Wirkungsquerschnitt|Index=differentieller Wirkungsquerschnitt}} $d\sigma /dn$ in Raumwinkel $d\mathrm{\Omega }$:

$\frac{d\sigma }{dn}=\frac{\text{ Fluss der gestreuten Teilchen in Raumwinkel d}\mathrm{\Omega }\text{(Detektor)}}{\text{Fluss der einlaufenden Teilchen pro Einheitsflaeche}}$

Fluß der einfallenden Teilchen

$|e^{ikz}{|}^{2}v$, $|e^{ikz}{|}^2$ 1 Teilchen pro Raumeinheit

Fluß der gestreuten Teilchen in $d\mathrm{\Omega }:|e^{ikr}f(\theta ){|}^2{r}^{2}v\to$

$\frac{d\sigma }{d\mathrm{\Omega }}=|f(\theta ){|}^2$ Quadrat der Streuamplitude $f(\theta )$

Speziell für isotrope Streuung (f(\sigma) = const.) ist dann der (Gesamt)-Wirkungsquerschnitt $\sigma =4\pi |f{|}^2$ .

Berechnung des Wirkungsquerschnitts:

Zunächst Entwicklung der einlaufenden ebenen Welle nach Kugelwellen. e ikz = eikrcos0 = 1:: i 1 (21+1) jl(kr)"P1(cos0) 1 jl(kr) sphärische Besselfunktionen Sinn: Bei niedrigen Energien (En $ 10 MeV) kann wegen der kurzen Reichweite der Kernkräfte nur der 1 = O-Anteil (S-Wellenl gestreut werden. Teilchen mit 1 t 0 kommen bei diesen Energien nicht nahe genug heran. Quantitativ:

Wegen k = 0,15".J~ELAB[MeV]i"10l5 m- l und r o -~ 10-15 m ist für E LAB $ MeV die Bedingung kro $ 1 erfüllt. 1 2 Der S-Wellenanteil der einlaufenden ebenen Welle lautet mit jo(kr): sin kr _ eikr_e-lkr (S-Wellenanteil) = kr/ 2ikr""'" auslaufende einlaufende Kugelwelle Nach dem "Durchlaufen" des Zentralpotentials V = Ver) bleiben der S-Wellencharakter, der Wellenvektor k und die Teilchenzahl erhalten. Deshalb kann es nur eine Phasenänderung in der auslaufenden Kugelwelle geben. S-Wellenanteil nach Durchlaufen des Streupotentials: e i (kr+20 0 l_e ikr _ iO sin(kr+ool 2ikr = e 0 " kr Die Differenz des S-Wellenanteils vor und. nach der Streuung charakterisiert di~ qestreuten Teilchen, also die gestreute auslaufende el.kl." Kugelwelle --r-- " f(0): eiCkr+ 200 l _eikr sinoo - 2ikr " k Damit gilt für den diff. Wirkungsquerschnitt in Abhängigkeit von Berechnung der Streuphase mit einem Kastenpotential (Va' r o ) über die Schrödingergleichung analog zum Deuteronproblem, jedoch E > O. Innenbereich I Außenbereich 11 2 [-~2 - d2 + V ] U = E " u [_h ~ + 0] U = E • u 2p. dr2 0 2p. dr2 u = Al • sinKr u = A2 " sin(kr+oo ) K = ,; 2fL(E-VQ)' (siehe eiOo"sin(~~+Og) und W ~ u ofi2 r k =j~i 112 Stetige Anpassung für u und du/dr bei r = r o ergibt Al sin Kro = A2 " sin (kro+o o ) = A2k(ro-a) K • Al cos Kro = k • A2 " cos (kro+oo ) = A2k k " K . Im niederenergetischen Bereich mit k " K kann man die Sinusfunktion im Außenbereich durch eine Gerade ersetzen u ~ A2 (kr+o o ) = A2k(r-a) mit 00 = -ka. Die sogenannte Streulänge a ist der Schnittpunkt dieser Geraden mit der r-Achse. Je nachdem (Va' r o ) für E ~ 0 bindend oder nichtbindend ist, ist a positiv oder negativ. Sehr große Werte für die Streulänge erhält man, wenn das Potential gerade noch (VT) oder gerade nicht mehr bindend (Vs ) ist. - 29 eiCkr+ 200 l _eikr sinoo - 2ikr " k Damit gilt für den diff. Wirkungsquerschnitt in Abhängigkeit von der Datei:8.7.Wirkungsquerschnitt.Kasten.QM.png

Wirkungsquerschnitt a = 4~lf(0)12 = 4~.sln Q = 4~a2 unabhängig von E für den Bereich k ({ K mi~2" = -ka und a = 1 0 r o - K tgKro ' In der Streu1änge a sind wieder die beiden Parameter des Kastenpotentials (Vo ' r o) miteinander verknüpft. Experimentell:

Grobe Abschätzung aus Deuteronproblem ergibt für das Triplettpotential a T = 5,7.10-1Sm und damit aT ~ 4,5.10-28m2 . Damit erhält man aus a ~ 20.10-28m2 für a s ~ 68.l0-28m2 und lasl = 23.l0- 28m2 . Das negative Vorzeichen a s < 0 folgt aus Messungen der kohärenten Streuung am Para-Wasserstoff-Molekül. Während der Bereich bis ca. 104 eV vom Si~ulett-Potential beherrscht wird, tritt für den Bereich 104 - 107 eV immer mehr das Triplett-Potential in den Vordergrund. Ab 107 eV müssen verstärkt höhere B'ahndrehimpulsanteile berücksichtigt werden. Bei einer feldtheoretischen Behandlung in Analogie zur Quantenelektrodynamik versucht man die Kernkräfte durch Mesonen-Austauschprozesse zu beschreiben. Dabei wird der "langreichweitige" Teil durch Ein-Pion-Austauschprozesse (Yukawa-Ansatz 1935) und der Bereich mittlerer Reichweite durch Zwei-Pion-Austauschprozesse beschrieben. Der "kurzreichweitige" Teil mit einem stark abstoßenden Anteil (hard core) muß durch den Austausch mehrerer Mesonen behandelt werden. Dabei spielen nicht nur die ~-Mesonen, sondern schwere Mesonen (z.B. das w-Meson mit mc 2 = 783 MeV) wegen ihrer kleinen Compton-Wellenlänge eine besondere Rolle. Da Nukleonen und Mesonen ihrerseits aus Quarks zusammengesetzt sind, die von Gluonen zusammengehalten werden, muß eine genauere Feldtheorie der Kernkräfte auf diesen Teilchen aufbauen.