Formaler Aufbau der Quantenmechanik

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes

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Der Artikel Formaler Aufbau der Quantenmechanik basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 2.Kapitels (Abschnitt 0) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes.

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Ein Anfang der Quantenmechanik ist der Kommutator{{#set:Fachbegriff=Kommutator|Index=Kommutator}}

$[\underset{\_}{x},\underset{\_}{p}]=\mathfrak{i}\hslash$

(2.1)

mit den OperatorenOrtsoperator{{#set:Fachbegriff=Ortsoperator|Index=Ortsoperator}} $\hat{x}$(Ort) $\hat{p}$(ImpulsImpulsoperator{{#set:Fachbegriff=Impulsoperator|Index=Impulsoperator}}), einer Unschärferelation{{#set:Fachbegriff=Unschärferelation|Index=Unschärferelation}}

$\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }p\ge \frac{\hslash }{2}$

(2.2)

und quantenmechanischen Zuständen, die mit Wellenfunktionen, z.B. $\mathrm{\Psi }\left(\underset{\_}{x}\right)$beschrieben werden. Diese Zustände sind Elemente eines Hilbertraums, auf dem die Operatoren der Messgrößen operieren.

Hilbertraum

Definition

(2.3)

Ein Hilbertraum{{#set:Fachbegriff=Hilbertraum|Index=Hilbertraum}} ist ein vollständiger unitärer Raum.

Definition

(2.4)

Ein Vektorraum mit Skalarprodukt $⟨\mathrm{\Phi }|\mathrm{\Psi }⟩$ und (induzierter)

Norm $\Vert \mathrm{\Psi }\Vert :=\sqrt{⟨\mathrm{\Psi }|\mathrm{\Psi }⟩}$ heißt unitärer Raum{{#set:Fachbegriff=unitärer Raum|Index=unitärer Raum}}.

Definition

(2.5)

Eine Norm{{#set:Fachbegriff=Norm|Index=Norm}} eines komplexen Vektorraums V ist ein Abbildung $V\to {\mathbb{ℝ}}^{+}$, so dass für $\mathrm{\Psi },\mathrm{\Phi }\in V$ gilt

1. $\Vert \mathrm{\Psi }\Vert \ge 0,\Vert \mathrm{\Psi }\Vert =0\iff \mathrm{\Psi }=0$
2. $\Vert c\mathrm{\Psi }\Vert =c\Vert \mathrm{\Psi }\Vert ,c\in \mathbb{ℂ}$
3. $\Vert \mathrm{\Psi }+\mathrm{\Phi }\Vert \le \Vert \mathrm{\Psi }\Vert +\Vert \mathrm{\Phi }\Vert$

Definition

(2.6)

Ein Skalarprodukt{{#set:Fachbegriff=Skalarprodukt|Index=Skalarprodukt}} eines Vektorraums V ist eine Abbildung $(V,V)\to \mathbb{ℂ}$, so dass für $\psi ,\varphi ,\chi \in V$gilt:

$\begin{array}{rl}& ⟨\psi |\psi ⟩\ge 0\\ & ⟨\psi +\varphi |\chi ⟩=⟨\psi |\chi ⟩+⟨\varphi |\chi ⟩\\ & ⟨\psi |c\varphi ⟩=c⟨\psi |\varphi ⟩c\in \mathbb{ℂ}\\ & ⟨\psi |\varphi ⟩={⟨\varphi |\psi ⟩}^{*}=\overline{⟨\varphi |\psi ⟩}\\ \end{array}$

Definition

(2.7)

Ein Folge $\left\{{\mathrm{\Psi }}_n\right\}$in einem normierten Raum heißt Cauchy-Folge{{#set:Fachbegriff=Cauchy-Folge|Index=Cauchy-Folge}}, falls $\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }N\left(\epsilon \right)$ ganz so dass $\mathrm{\forall }n,m>N\left(\epsilon \right)\Rightarrow \Vert {\mathrm{\Psi }}_n-{\mathrm{\Psi }}_m\Vert <\epsilon$.

Definition

(2.8)

Ein unitärer Raum, in dem jede Cauchy-Folge konvergiert heißt vollständigvollständiger unitärer Raum{{#set:Fachbegriff=vollständiger unitärer Raum|Index=vollständiger unitärer Raum}}.

Beispiele:

1. Hilbertraum $\mathcal{\mathscr{H}}={\mathbb{ℂ}}^n$, n-dimensionaler komplexer Vektorraum mit Basis Failed to parse (unknown function "\begin{align}"): {\displaystyle {{\underline{e}}_{1}}=\left( \begin{align} # & 1 \\ # & 0 \\ # & \vdots \\ # & 0 \\ # \end{align} \right)\quad {{\underline{e}}_{2}}=\left( \begin{align} # & 0 \\ # & 1 \\ # & \vdots \\ # & 0 \\ # \end{align} \right)\quad ...\quad {{\underline{e}}_{n}}=\left( \begin{align} # & 0 \\ # & 0 \\ # & \vdots \\ # & 1 \\ # \end{align} \right)} .
2. Hilbertraum ${\mathcal{\mathscr{H}}}_L$der quadratintegrierbaren Wellenfunktionen eines Potentialtopfes mit unendlich hohen Wänden in 1 Dimension

$\mathrm{\Psi }\left(\underset{\_}{x}\right)$

auf $x\in [0,L],\mathrm{\Psi }\left(0\right)=\mathrm{\Psi }\left(L\right)=0$

$-\frac{\hslash }{2m}{\mathrm{\Psi }}^{\prime }{\text{'}}_n\left(x\right)=E_n{\mathrm{\Psi }}_n\left(x\right)$

Basis ${\mathrm{\Psi }}_n\left(x\right)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right),E_n=\frac{{\left(\hslash n\pi \right)}^2}{2m{L}^2},n\in \mathbb{\mathbb{N}}$

(2.9)

Skalarprodukt

$\begin{array}{rl}& ⟨\mathrm{\Psi }|\mathrm{\Phi }⟩=\underset{0}{\overset{L}{\int }}{\mathrm{\Psi }}^{*}\left(x\right)\mathrm{\Phi }\left(x\right)dx\\ & ⟨{\mathrm{\Psi }}_n|{\mathrm{\Psi }}_m⟩={\delta }_{mn}\\ \end{array}$

• Vollständigkeit{{#set:Fachbegriff=Vollständigkeit|Index=Vollständigkeit}}: $\mathrm{\Phi }\left(x\right)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\underset{\text{Fourierkoeffizient}}{\underbrace{⟨{\mathrm{\Psi }}_n|\mathrm{\Phi }⟩}}{\mathrm{\Psi }}_n\left(\underset{\_}{x}\right)\mathrm{\forall }\mathrm{\Phi }\in {\mathcal{\mathscr{H}}}_L$

vergleich mit $\underset{\_}{y}=\sum _{n=1}^d⟨{\underset{\_}{e}}_n|\underset{\_}{y}⟩{\underset{\_}{e}}_{n}k\mathrm{\forall }\underset{\_}{y}\in {\mathbb{ℂ}}^n$

(AUFGABE):

1. Definiere $\mathrm{\Phi }\in {\mathcal{\mathscr{H}}}_L$mit $\mathrm{\Phi }\left(x\right)=Nx(L-x)$
2. bestimme N so dass $\Vert \mathrm{\Phi }\Vert =1$
3. Beweise die Formel $\frac{{\pi }^3}{32}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^k}{{(2k+1)}^3}$
4. Beweise die Cauchy-Scharz Ungleichung{{#set:Fachbegriff=Cauchy-Scharz Ungleichung|Index=Cauchy-Scharz Ungleichung}} $\left|⟨\alpha |\beta ⟩\right|\le \Vert \alpha \Vert \Vert b\Vert$für $|\alpha ⟩,|\beta ⟩\in \mathcal{\mathscr{H}}$

Definition: $\left\{{\mathrm{\Psi }}_n\right\}$ vollständiges Orthogonalsystem{{#set:Fachbegriff=vollständiges Orthogonalsystem|Index=vollständiges Orthogonalsystem}} eins HR$\mathcal{\mathscr{H}}$

---

Satz (Parseval)

$\mathrm{\Phi }=\sum _n⟨{\mathrm{\Psi }}_n|\mathrm{\Phi }⟩{\mathrm{\Psi }}_n\iff {\Vert \mathrm{\Phi }\Vert }^2=\sum _n{\left|⟨{\mathrm{\Psi }}_n|\mathrm{\Phi }⟩\right|}^2$

(2.11)

Bemerkung:

• Vollständige „normierte Räume“ heißen BanachräumeBanachraum{{#set:Fachbegriff=Banachraum|Index=Banachraum}} (haben kein Skalarprodukt)
• Mehr Details: Funktionalanalysis z.B. Bornstein/Senendajew Taschenbuch der Mathematik, ergänzende Kapitel

Dirac-Notation

Bequeme Notation für Ψ, Skalarprodukte $⟨\mathrm{\Psi }|\mathrm{\Phi }⟩$etc. eines Hilbertraum $\mathcal{\mathscr{H}}$

1. Skalarprodukt{{#set:Fachbegriff=Skalarprodukt|Index=Skalarprodukt}} von $\mathrm{\Psi }\text{ und }\mathrm{\Phi }\leftrightarrow ⟨\mathrm{\Psi }|\mathrm{\Phi }⟩={⟨\mathrm{\Phi }|\mathrm{\Psi }⟩}^{*}$
2. VollständigkeitsrelationVollständigkeitsrelation{{#set:Fachbegriff=Vollständigkeitsrelation|Index=Vollständigkeitsrelation}} für Basis ${\mathrm{\Psi }}_n\leftrightarrow |n⟩$

$\begin{array}{rl}& |\mathrm{\Phi }⟩=\sum _n⟨n|\mathrm{\Phi }⟩|n⟩\\ & |\mathrm{\Phi }⟩=\sum _n\underset{\underset{\_}{1}}{\underbrace{|n⟩⟨n|}}\mathrm{\Phi }⟩\\ \end{array}$

1. Dualraum{{#set:Fachbegriff=Dualraum|Index=Dualraum}} und Bra-Zustände

Dualraum ${\mathcal{\mathscr{H}}}^{*}$eines Hilbertraum $\mathcal{\mathscr{H}}$: Raum aller linearen Funktionale

$⟨\mathrm{\Psi }|:\mathcal{\mathscr{H}}\to \mathbb{ℂ},|\mathrm{\Phi }⟩\to ⟨\mathrm{\Psi }|\mathrm{\Phi }⟩$

(2.14)

Vektor $|\mathrm{\Psi }⟩$als Funktional $⟨\mathrm{\Psi }|$aufgefasst wie in (2.14) heißt „Dirac-Bra“ oder einfach „Bra“ Name von $\underset{\text{bra}}{\underbrace{⟨\mathrm{\Psi }}}|\underset{\text{ket}}{\underbrace{\mathrm{\Phi }⟩}}$engl. ‚bracket‘ Geometrische Interpretation im ${\mathbb{ℝ}}^3$:

1. $|{\mathrm{\Phi }}_i⟩$alsKet{{#set:Fachbegriff=Ket|Index=Ket}}s: normale Vektoren
2. $⟨{\mathrm{\Phi }}_i|$alsBra{{#set:Fachbegriff=Bra|Index=Bra}}s: als Abbildung, z.B. $⟨{\mathrm{\Phi }}_3|:\underset{\in {\mathbb{ℝ}}^3}{\underbrace{|\mathrm{\Phi }⟩}}\to \underset{\in \mathbb{ℝ}}{\underbrace{⟨{\mathrm{\Phi }}_3|\mathrm{\Phi }⟩}}$Projektion auf 3-Achse $⟨{\mathrm{\Phi }}_1|,⟨{\mathrm{\Phi }}_2|,⟨{\mathrm{\Phi }}_3|$ Basis für Dualraum ${\mathbb{ℝ}}^3$, d.h. jedes Funktional $⟨f|$ (Projektion) als Linearkombination $c_1⟨{\mathrm{\Phi }}_1|+c_2⟨{\mathrm{\Phi }}_2|+c_3⟨{\mathrm{\Phi }}_3|\equiv ⟨f|$
3. „Tricks“: Dirac-Notation sehr flexibel, z.B.
4. ${\Vert \mathrm{\Phi }\Vert }^2=⟨\mathrm{\Phi }|\mathrm{\Phi }⟩=⟨\mathrm{\Phi }\left|\underset{\_}{1}\right|\mathrm{\Phi }⟩=\sum _n⟨\mathrm{\Phi }|n⟩⟨n|\mathrm{\Phi }⟩={\sum _n\left|⟨n|\mathrm{\Phi }⟩\right|}^2$
5. „Einschieben der Eins{{#set:Fachbegriff=Einschieben der Eins|Index=Einschieben der Eins}}“

Operatoren in der Quantenmechanik

Definition: Ein linearer Operator{{#set:Fachbegriff=linearer Operator|Index=linearer Operator}} $\hat{A}:\mathcal{\mathscr{H}}\to \mathcal{\mathscr{H}}$ ($\mathcal{\mathscr{H}}$ Hilbertraum), erfüllt

$\hat{A}(|\mathrm{\Psi }⟩+c|\mathrm{\Phi }⟩)=\hat{A}|\mathrm{\Psi }⟩+c\hat{A}|\mathrm{\Phi }⟩$

(2.15)

Beispiele:

1. Ortsoperator{{#set:Fachbegriff=Ortsoperator|Index=Ortsoperator}}$\hat{x}$ Impulsoperator{{#set:Fachbegriff=Impulsoperator|Index=Impulsoperator}} $\hat{p}=\frac{\hslash }{\mathfrak{i}}\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}$

für $\mathcal{\mathscr{H}}={\mathcal{\mathscr{H}}}_L:\hat{x}:\mathrm{\Psi }\left(x\right)\to x\mathrm{\Psi }\left(x\right)\hat{p}:\mathrm{\Psi }\left(x\right)\to \frac{\hslash }{\mathfrak{i}}{\mathrm{\Psi }}^{\prime }\left(x\right)$

1. n x n-Matrizen auf ${\mathbb{ℂ}}^2$

${\mathbb{ℂ}}^2$ist in der Tat der einfachste nichttriviale Hilbertraum, auf dem sich Quantenmechanik machen lässt! Beispiel Spin ½ , Pauli-Matrizen. Definition Der Erwartungswert{{#set:Fachbegriff=Erwartungswert|Index=Erwartungswert}} eines Operators $\hat{A}$im Zustand $|\mathrm{\Psi }⟩$ist

${⟨\hat{A}⟩}_{\mathrm{\Psi }}:=\frac{⟨\mathrm{\Psi }|\hat{A}\mathrm{\Psi }⟩}{⟨\mathrm{\Psi }|\mathrm{\Psi }⟩}:=\frac{⟨\mathrm{\Psi }\left|\hat{A}\right|\mathrm{\Psi }⟩}{⟨\mathrm{\Psi }|\mathrm{\Psi }⟩}$

(2.16)

Definition

(2.17)

Matrixelement{{#set:Fachbegriff=Matrixelement|Index=Matrixelement}} eines Operators $⟨n\left|\hat{A}\right|m⟩$

Beispiele $|n⟩\to {\mathrm{\Psi }}_n\left(x\right)$Wellenfunktion des eindimensionalen Oszillators, normiert.

$\hat{A}={\hat{x}}^2$ Dann ist ${⟨\hat{x}⟩}_n=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{{\mathrm{\Psi }}_n}^{*}\left(x\right)x^2{\mathrm{\Psi }}_n\left(x\right)dx=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^2\underset{\text{Wahrscheinlichkeitsdichte}}{\underbrace{{\left|\mathrm{\Psi }\left(x\right)\right|}^2}}dx$

Definition

(2.18)

Der zu einem linearen Hilbertraum-Operator A adjungierte Operatoradjungierter Operator{{#set:Fachbegriff=adjungierter Operator|Index=adjungierter Operator}} A⁺ ist definiert durch

$⟨\mathrm{\Psi }|A\mathrm{\Phi }⟩=⟨A^{+}\mathrm{\Psi }|\mathrm{\Phi }⟩\mathrm{\forall }\mathrm{\Psi },\mathrm{\Phi }\in \mathcal{\mathscr{H}}$

Definition

(2.19)

Ein linearer Operator heißt hermitesch{{#set:Fachbegriff=hermitesch|Index=hermitesch}} (selbstadjungiert{{#set:Fachbegriff=selbstadjungiert|Index=selbstadjungiert}}), $A^{+}=A$ wenn

$⟨\mathrm{\Psi }|A\mathrm{\Phi }⟩=⟨A\mathrm{\Psi }|\mathrm{\Phi }⟩\mathrm{\forall }\mathrm{\Psi },\mathrm{\Phi }\in \mathcal{\mathscr{H}}$

Axiom: In der Quantenmechanik werden physikalische Messgrößen als Observable bezeichnet und durch selbstadjungierte Operatoren auf einem Hilbertraum dargestellt.

• Energie $\mathcal{\mathscr{H}}$Hamiltonoperator

$\hat{H}=\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+V\left(\underset{\_}{r}\right)$

(2.20)

für nichtrelativistische Teilchen der Masse

• Ort $\hat{r}$, Impuls $\hat{p}=\frac{\hslash }{\mathfrak{i}}\underset{\_}{\mathrm{\nabla }}$, DrehimpulsDrehimpuls{{#set:Fachbegriff=Drehimpuls|Index=Drehimpuls}} $\hat{L}=\hat{r}\times \hat{p}$
• Spin ½ (Helizität) in Richtung $\hat{n}$für Dirac-Teilchen,

$\frac{1}{2}\hat{n}\mathrm{\Sigma }=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}\hat{n}\underset{\_}{\sigma }& 0\\ 0& \hat{n}\underset{\_}{\sigma }\\ \end{array}\right)$ vgl. Satz: Die Eigenwerte selbstadjungierter Operatoren sind reell die Eigenkets sind orthogonal. Damit erhält man die Spektralzerlegung{{#set:Fachbegriff=Spektralzerlegung|Index=Spektralzerlegung}} von Operatoren $\hat{A}$nach seinen Eigenzuständen, d.h.

$\hat{A}|n⟩=a_n|n⟩\Rightarrow \hat{A}=\sum _n{a}_n{\hat{P}}_n$

(2.21)

mit ${\hat{P}}_n$dem orthogonalen Projektor auf Unterraum der von den Eigenvektoren zum Eigenwert a_n aufgespannt wird. Falls a_n nicht entartet, gilt ${\hat{P}}_n=|n⟩⟨n|$ ,$|n⟩$normiert. Axiom: Die möglichen Messwerte einer Observablen  im Zustand $|\mathrm{\Psi }⟩$ sind die Eigenwerte a_n, die mit Wahrscheinlichkeit

$prob\left(a_n\right)=\frac{⟨\mathrm{\Psi }\left|{\hat{P}}_n\right|\mathrm{\Psi }⟩}{⟨\mathrm{\Psi }|\mathrm{\Psi }⟩}$

(2.22)

auftreten. Wird a_n gemessen, so geht $|\mathrm{\Psi }⟩$instantan in $\frac{P_n|\mathrm{\Psi }⟩}{\sqrt{⟨\mathrm{\Psi }\left|P_n\right|\mathrm{\Psi }⟩}}$ über („Kopenhagener Deutung“, „Reduktion des Wellenpakets“).

Das Zweiniveausystem als einfachstes Quantensystem

Wir betrachten ein Teilchen, das zwischen zwei Potentialmulden (L links) und (R rechts) hin und her-tunnelt. In grober Vereinfachung betrachten wir nur die Energie der tiefsten Zustände links und rechts ${\epsilon }_L$und ${\epsilon }_R$

Ohne tunneln wäre der Hamiltonoperator für dieses vereinfachte System

${\hat{H}}_0={\epsilon }_L|L⟩⟨L|+{\epsilon }_R|R⟩⟨R|$

(2.23)

Im Matrix- Schreibweise als Qubit{{#set:Fachbegriff=Qubit|Index=Qubit}} im Hilbertraum $\mathcal{\mathscr{H}}={\mathbb{ℂ}}^2$

$|L⟩=\left(\begin{array}{rl}& 1\\ & 0\\ \end{array}\right);|R⟩=\left(\begin{array}{rl}& 0\\ & 1\\ \end{array}\right);{\hat{H}}_0=\left(\begin{array}{cc}{\epsilon }_L& 0\\ 0& {\epsilon }_R\\ \end{array}\right)$

(2.24)

Den (komplizierten) Tunneleffekt{{#set:Fachbegriff=Tunneleffekt|Index=Tunneleffekt}} bestreiben wir vereinfacht durch ein „effektives Potential{{#set:Fachbegriff=effektives Potential|Index=effektives Potential}}“ $\hat{V}$in $\mathcal{\mathscr{H}}$, d.h. durch den

Tunnel-Operator{{#set:Fachbegriff=Tunnel-Operator|Index=Tunnel-Operator}} $\hat{V}=T_c\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\\ \end{array}\right)=T_c{\sigma }_x$

(2.25)

Den Gesamt-Hamilton-Operator beschreiben wir durch die Summe

$\hat{H}={\hat{H}}_0+\hat{V}$

(2.26)

AUFGABEN…

Zeitentwicklung in der Quantenmechanik

Ausgangspunkt: Bewegungsgleichung (Schrödinger, Dirac) der Form

$\mathfrak{i}{\partial }_t|\mathrm{\Psi }\left(t\right)⟩=\hat{H}\left(t\right)|\mathrm{\Psi }\left(t\right)⟩$

(2.27)

Hier ist $|\mathrm{\Psi }\left(t\right)⟩$ zeitabhängig und auch der Hamiltonian $\hat{H}\left(t\right)$ kann zeitabhängig sein, z.B. $\hat{H}=\frac{p^2}{2m}+V(x,t)$ (zeitabhängiges Potential)

Zeitunabhängiger Hamiltonian

In diesem Fall formale Lösung von (2.27) durch

$|\mathrm{\Psi }\left(t\right)⟩=e^{-i\hat{H}(t-t_0)}|\mathrm{\Psi }\left(t_0\right)⟩,t>t_0$

(2.28)

als Anfangswertproblem{{#set:Fachbegriff=Anfangswertproblem|Index=Anfangswertproblem}} mit dem

$\hat{U}(t,t_0)=e^{i\hat{H}(t-t_0)}t>t_0$

(2.29)

Û ist unitär, ${\hat{U}}^{-1}={\hat{U}}^{+}$, denn $\hat{H}={\hat{H}}^{+}$ist selbstadjungiert Die Zeitentwicklung{{#set:Fachbegriff=Zeitentwicklung|Index=Zeitentwicklung}} $|\mathrm{\Psi }\left(t\right)⟩=\hat{U}(t,t_0)|\mathrm{\Psi }\left(t_0\right)⟩$ ist eine unitäre Transformation. Erwartungswerte von der Observabelen Â

${⟨\hat{A}⟩}_0:={⟨\hat{A}⟩}_{|\mathrm{\Psi }\left(0\right)⟩}=⟨\mathrm{\Psi }\left(0\right)\left|\hat{A}\right|\mathrm{\Psi }\left(0\right)⟩$

zur Zeit $t_0=0$ ($|\mathrm{\Psi }\left(0\right)⟩$ normiert.)

${⟨\hat{A}⟩}_t:={⟨\hat{A}⟩}_{|\mathrm{\Psi }\left(t\right)⟩}=⟨\mathrm{\Psi }\left(t\right)\left|\hat{A}\right|\mathrm{\Psi }\left(t\right)⟩$

zur Zeit $t_0>0$

Wir haben

Failed to parse (syntax error): {\displaystyle {{\left\langle {\hat{A}} \right\rangle }_{t}}=\left\langle \Psi \left( 0 \right){{e}^{\mathfrak{i} \hat{H}t}}\,\left| \hat{A}\, \right|\,{{e}^{-\mathfrak{i} \hat{H}t}}\Psi \left( 0 \right) \right\rangle =\left\langle \Psi \left( 0 \right)\,\underbrace{\left| {{e}^{\mathfrak{i} \hat{H}t}}\hat{A}{{e}^{-\mathfrak{i} \hat{H}t}} \right|}_{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{A}}}\,\Psi \left( 0 \right) \right\rangle } also

Failed to parse (syntax error): {\displaystyle \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{A}\left( t \right):={{e}^{-\mathfrak{i} \hat{H}t}}\hat{A}{{e}^{-\mathfrak{i} \hat{H}t}}} (Zeitentwicklung von Operator $\hat{A}$ im Heisenbergbild)

Bemerkung: $\text{Ket}\hat{B}|\mathrm{\Psi }⟩\mapsto ⟨\mathrm{\Psi }|{\hat{B}}^{+}Bra$ Skalarprodukt: Mathematiker: $(|\mathrm{\Psi }⟩,|\mathrm{\Phi }⟩)\equiv ⟨\mathrm{\Psi }|\mathrm{\Phi }⟩$

Physiker-Notation

Es gibt also zwei unitär Äquivalente Arten der Zeitentwicklung

1. „Schrödinger-Bild{{#set:Fachbegriff=Schrödinger-Bild|Index=Schrödinger-Bild}}“ Operatoren $\hat{A}$fest, Zustände zeitabhängig
2. $|\mathrm{\Psi }\left(t\right)⟩=\hat{U}(t,t_0)|\mathrm{\Psi }\left(t_0\right)⟩$
4. „Heisenberg-Bild{{#set:Fachbegriff=Heisenberg-Bild|Index=Heisenberg-Bild}}“ Zustand $|\mathrm{\Psi }\left(t_0\right)⟩$fest (Anfangszustand), Operatoren zeitabhängig$\hat{A}\left(t\right)={\hat{U}}^{+}(t,t_0)\hat{A}\hat{U}(t,t_0)$

Im Heisenberg-Bild hat man die Bewegungsgleichung

Heisenberg-BewegungsgleichungBewegungsgleichung:Heisenberg{{#set:Fachbegriff=Bewegungsgleichung:Heisenberg|Index=Bewegungsgleichung:Heisenberg}} $d_t\hat{A}\left(t\right)=\mathfrak{i}[\hat{H},\hat{A}\left(t\right)]$

(2.31)

Häufig schreibt man${\hat{A}}_H\left(t\right)$, falls die Operatoren $\hat{A}$bereits im Schrödinger-Bild eine intrinsische Zeitabhängigkeit haben, z.B. durch zeitabhängige äußere Felder, d.h.

$\hat{A}=\hat{A}\left(t\right)\Rightarrow {⟨\hat{A}⟩}_t=⟨\mathrm{\Psi }\left(t\right)\underset{\text{Intrinsisch}}{\underbrace{\left|\hat{A}\left(t\right)\right|}}\mathrm{\Psi }\left(t\right)⟩=⟨\mathrm{\Psi }\left(0\right)\underset{{\hat{A}}_H\left(t\right)}{\underbrace{\left|e^{\mathfrak{i}\hat{H}t}\hat{A}{e}^{-\mathfrak{i}\hat{H}t}\right|}}\mathrm{\Psi }\left(0\right)⟩$

(2.32)

so dass (CHECK)

$d_t{\hat{A}}_H\left(t\right)=i[\hat{H},\hat{A}\left(t\right)]+e^{\mathfrak{i}\hat{H}t}\underset{\text{intrinsisch}}{\underbrace{d_t\hat{A}\left(t\right)}}{e}^{-\mathfrak{i}\hat{H}t}$

(2.33)

Zeitabhängiger Hamiltonian: Spin ½, 2 Niveausystem, NMR

Die meisten Fälle mit zeitabhängigem $\hat{H}\left(t\right)$sind exakt nicht mehr lösbar. Hier betrachten wir

$\hat{H}\left(t\right)=\underset{\_}{B}\left(t\right)\underset{\_}{\sigma }=\left(\begin{array}{cc}{B}_z\left(t\right)& B_{\left|\right|}^{*}\left(t\right)\\ B_{\left|\right|}^{*}\left(t\right)& -B_z\left(t\right)\\ \end{array}\right)B_{\left|\right|}\left(t\right)=B_x\left(t\right)+\mathfrak{i}{B}_y\left(t\right)$

(2.34)

zum Beispiel für einen Spin ½, beschrieben durch den $\underset{\_}{\sigma }$-Vektor der Pauli-Matrizen, in einem zeitabhängigen B-Feld

• Hilbertraum hier ${\mathcal{\mathscr{H}}}_{Spin}={\mathbb{ℂ}}^2$
• (2.34) einfaches Modell für Spin ½ Freiheitsgrad z.B. ein Elektron in der Pauli-Gleichung $i{\partial }_t\phi =[\frac{1}{2m}{(\underset{\_}{p}-e\underset{\_}{A})}^2-\underset{\text{Pauli-Term}}{\underbrace{\frac{e\hslash }{2m}\underset{\_}{\sigma }.\underset{\_}{B}}}+e\varphi ]\phi$
• (1.44)

mit Konstante $-\frac{e\hslash }{2m}\to 1$ und Separation des Ortes (x) und Spin Freiheitsgrade

$\phi (\underset{\_}{x},t)=\underset{\text{Orts-WF}}{\underbrace{\mathrm{\Psi }(\underset{\_}{x},t)}}\underset{\text{Spin-WF}}{\underbrace{\left(\begin{array}{rl}& {\chi }_1\left(t\right)\\ & {\chi }_2\left(t\right)\\ \end{array}\right)}}$

(2.35)

in Dirac-Schreibweise

$\begin{array}{rl}& |\phi \left(t\right)⟩=|\mathrm{\Psi }\left(t\right)⟩\otimes |\chi \left(t\right)⟩\\ & \mathcal{\mathscr{H}}={\mathcal{\mathscr{H}}}_{Ort}\otimes {\mathcal{\mathscr{H}}}_{Spin}\\ \end{array}$

(2.36)

mit ${\mathcal{\mathscr{H}}}_{Ort}=L^2\left({\mathbb{ℝ}}^3\right)$ (Hilbertraum der Quadratintegrabelen Funktionen auf ${\mathbb{ℝ}}^3$) und ${\mathcal{\mathscr{H}}}_{Spin}={\mathbb{ℂ}}^2$. Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung für (2.34)

$\begin{array}{rl}& \mathfrak{i}{\partial }_t|\chi \left(t\right)⟩=\hat{H}\left(t\right)|\chi \left(t\right)⟩\\ & \iff \begin{array}{cc}\begin{array}{rl}& \mathfrak{i}{\dot{\chi }}_1=B_z{\chi }_1-B_{\left|\right|}^{*}{\chi }_2\\ & \mathfrak{i}{\dot{\chi }}_2=B_{\left|\right|}^{}{\chi }_1-B_z{\chi }_2\\ \end{array}& \\ \end{array}\\ \end{array}$

(2.37)

kann für zeitabhängige $B_{\left|\right|},B_z$ i.A. nur numerische gelöst werden. AUFGABE: schreiben Sie eine Code, der (2.37) löst, und diskutiere die Physik die damit beschrieben wird. Spezialfälle von (2.37) können analytisch gelöst werden

1. $\underset{\_}{B}=\text{const}\Rightarrow$quantenmechanische Ozillatoren

Eigenwerte von $\hat{H}$ sind ${\epsilon }_{\pm }=\pm \left|\underset{\_}{B}\right|\left|\underset{\_}{B}\right|=\sqrt{B_z^2+{\left|B_{\left|\right|}\right|}^2}$ (CHECK)  Zeitentwicklung $U(t,0)=e^{-i\hat{H}t}=S{e}^{-iDt}{S}^{-1}$mit $D=diag({\epsilon }_{+},{\epsilon }_{-})$ Alternativer Lösungsweg: Ansatz ${\chi }_j\left(t\right)=c_j{e}^{izt}$ in (siehe b)

1. Rotierende B-Feld  Rabi-Oszillationen

Hier

$\begin{array}{rl}& B_z=B_0=\text{const}\\ & B_{\left|\right|}=B_1{e}^{\mathfrak{i}\omega t}=\underset{B_x}{\underbrace{B_1\cos \omega t}}+\mathfrak{i}\underset{B_y}{\underbrace{B_1\sin \omega t}}{B}_1\in \mathbb{ℝ}\\ \end{array}$

(2.38)

$B_{\left|\right|}$ rotiert in x-y-Ebene „Drehwellenmodelle“

$\begin{array}{rl}& {\chi }_1=c_1{e}^{\mathfrak{i}zt-\mathfrak{i}\frac{\omega }{2}t}(z+\frac{\omega }{2})c_1=B_0{c}_1+B_1{c}_2\\ & {\chi }_2=c_2{e}^{\mathfrak{i}zt+\mathfrak{i}\frac{\omega }{2}t}(z-\frac{\omega }{2})c_1=B_1{c}_1-B_0{c}_2\\ \end{array}$

(2.39)

Nichttriviale Lösung von (2.39) für

$0=\left|\begin{array}{cc}z+\frac{\omega }{2}-B_0& -B_1\\ -B_1& z-\frac{\omega }{2}+B_0\\ \end{array}\right|=z^2-{(B_0-\frac{\omega }{2})}^2-B_1^2\Rightarrow z_{\pm }=\pm \sqrt{{(B_0-\frac{\omega }{2})}^2+B_1^2}=\pm \frac{1}{2}{\mathrm{\Omega }}_R$

mit

${\mathrm{\Omega }}_R:=\sqrt{{(2B_0-\omega )}^2+4B_1^2}$

(2.40)

Damit zwei linear unabhängige Lösungen für ${\chi }_2\left(t\right),{\chi }_1\left(t\right)$

$\begin{array}{rl}& {\chi }_2\left(t\right)=c_{+}{e}^{\mathfrak{i}(\frac{\omega }{2}+\frac{{\mathrm{\Omega }}_R}{2})t}+c_{-}{e}^{\mathfrak{i}(\frac{\omega }{2}-\frac{{\mathrm{\Omega }}_R}{2})t}{c}_{\pm }\in \mathbb{ℂ}\\ & =e^{\mathfrak{i}\omega t}\{\alpha \cos \frac{{\mathrm{\Omega }}_R}{2}+\beta \sin \frac{{\mathrm{\Omega }}_R}{2}\}\alpha ,\beta \in \mathbb{ℂ}\end{array}$

(2.41)

für ${\chi }_1\left(t\right)$ entsprechen: Koeffizienten für ${\chi }_2\left(t\right),{\chi }_1\left(t\right)$ hängen über (2.37) zusammen. Aufgabe: 1 Fall b) lösen für ${\chi }_1\left(0\right)=0,{\chi }_2\left(0\right)=1$ und diskutieren.